X-IŞINLARI KRİSTALOGRAFİSİ “ÖRGÜ” Prof. Dr. Ayhan ELMALI

Düzlemsel Örgü Tipleri Buraya kadar çizilen ve anlatılan örgü örnekleri paralel kenar yüzlü örgülerdir. Bu genel örgüden başka yüzleri kare, dikdörtgen, vb. olabilen ve köşelerinden başka yerlerinde de örgü noktası içerebilen on iki çeşit uzay örgü tipi vardır. Bunları çıkarmak için önce öteleme ve ayna simetrisinin örgüye etkisini ve bunlara bağlı olarak düzlemsel örgüyü inceleyeceğiz. Bir kristalin eksenlerinden birine dik bir düzlem üzerindeki izdüşümü bir tek türlüdür. Kristalin üç boyutlu örgüsü de bu izdüşümle uyuşan düzlemsel örgünün t3 ötelemeleri ile elde edilir. O nedenle önce iki boyutlu örgünün şekillerini bulalım.

Ötelemelerin Eksen Simetrisine Getirdiği Sınırlama Kristallerde sadece 1, 2, 3, 4 ve 6’lı eksenlerin var olduğunu görelim. A bir örgü noktası olsun ve bu noktadan kağıt düzlemine dik bir Aα ekseni geçsin.t1 ötelemesi, A noktasını B, C, D,…noktalarına taşır. Bu nedenle B, C, D… noktalarından da Aα ekseni geçer. B deki Aα ekseni C yi α kadar sola döndürerek C‘ ye, C deki Aα ekseni B yi α kadar sağa döndürerek B‘ ye getirir. C‘B‘ uzunluğu 0, t1, 2t1,…,mt1 kadar olmalıdır. Yoksa örgü paralel kenar olma özelliğini yitirir.

C'B‘ = mt1 = t1 – 2 t1 cosα cosα = 1-m 2 1-m = M (tam sayı) diyelim. Cosα = M/2; -1 ile +1 arasında bir sayı olduğu takdirde α geçerli bir dönmedir ve kristallerde hangi eksenlerin bulunabileceğini gösterir. Öteleme ile dönme etkileşimi C’ mt1 B’ t1 t1 t1  t1 t1 A B C D

Kristalografik Dönme Eksenleri Cosα = M/2 α n = 360/α C‘B‘=mt1 = (1-m)t1 -3 -3/2>-1 - -2 -1 180º 2 3t1 -1/2 120º 3 2t1 90º 4 t1 1 ½ 60º 6 -t1 3/2 >1

Düzlemsel Örgü Tipleri Şimdi bu beş çeşit eksen türü ile uyuşan düzlemsel örgü tiplerini bulalım. 1’li eksen örgüye bir koşul ve özellik getirmez. t1 ve t2 genel bir paralel kenar meydana getirir. Örgü noktalarında 2’li eksen olunca, c noktası A noktasına, B noktası D noktasına gider. AD uzaklığı t2 ötelemesine bir sınırlama getirmiyor. t2 yi istediğimiz doğrultu ve büyüklükte seçeriz. Örgü yine paralel kenar olur. b = t1 O a = t2 C’’ B’ C’ B’’ A B t1 C D a) 1’li ve 2’li eksenle uyuşan Paralel kenar örgü

c) 4’lü eksenle uyuşan kare örgü a2 = t1 b) 3’lü 6’lı eksenle uyuşan eşkenar üçgen örgü O a2 = t1 a1=t2 120° C’ B’ C’’ B t2 B t1 C c) 4’lü eksenle uyuşan kare örgü a2 = t1 a1=t2 C’ B’ A B C D

d) m simetrisiyle uyuşan dikdörtgen örgü b a A’ B’ C’ D’ A B C D e) m simetriyle uyuşan elmas ya da merkezli dikdörtgen örgü a1 a2 b’ a’

m Ayna Düzleminin Ötelemeye Getirdiği Sınırlama A örgü noktası ile t1 ötelemesi verilmiş olsun. t1 ötelemesine dik bir m yansıma düzlemi varsa dikdörtgen örgü elde edilir. m m m m A’ B’ C’ D’ t2 A t1 B C D

m m m A’ B’ C’ M N P t2 A t1 B C m simetrisiyle uyuşan bir örgü tipi daha vardır. Eğer t1 in orta noktasından t2/2 dik uzaklığında bir m örgü noktası daha varsa, bu durumda merkezli dikdörtgen örgü oluşur.

Uzay Örgü Tipleri Düzlemsel örgünün bir t3 vektörü ile periyodik olarak ötelemeleri sonunda uzay örgüsü elde edilir. Dönme Ekseni İle Ötelemenin Bileşimi t3 ötelemeleri sırasında düzlem örgünün bütün noktalarının düzlem örgüden yükselen dönme eksenlerinin üzerine gelmesi zorunludur. Bu nedenle önce düzlem örgünün nerelerinden düzleme dik dönme eksenleri geçtiğini bulmamız gerekmektedir.

t1 ötelemelerini ve örgü düzlemine dik Aα eksenini göz önüne alalım t1 ötelemelerini ve örgü düzlemine dik Aα eksenini göz önüne alalım.( Aynı örgü noktasından geçsinler.) Bα P h Aα t1 t1 t1 A B C D

t1 ötelemesi Aα eksenini B, C, D,… örgü noktalarına taşır t1 ötelemesi Aα eksenini B, C, D,… örgü noktalarına taşır. Aα kağıt düzlemine diktir. Bu takdirde kağıt düzleminde başka bir P noktasından da Aα ya da ona paralel bir Bα ekseni geçer. Sembolik olarak; Aα . t1 = Bα Bα ekseni, kağıt düzleminde ortasından çıkılan dikme üzerinde, h = t1 cot α uzaklıktadır. 2 2 Formül çıkarılışı: M. G. Buerger ‘Elemantary Crystallography’

Örnek olarak Aα ekseni bir ikili eksense α = 180º dir. h = t1 cot90º = 0 2 Bu durumda, Bα t1 in orta noktasındadır. Genel olarak; n 1 2 3 4 6  360º 180º 120º 90º 60º h  t1 /2(3)½ t1/2 t1((3)½/2)

α = 180º durumunu inceleyelim. AΠ (1) numaralı molekülü (2)’ye götürür. t1 ise (1) i (3) e ve (2) yi (4) e taşır. (1) ile (4) ün t1 in ortasındaki bir BΠ ikili eksenine göre simetrik olduğu görülür. Yani t1 ile AΠ nin bileşimi sonucunda bir BΠ ekseni elde edilmiştir. Benzer olarak t2 ile AΠ CΠ yi ve t1 + t2 ile AΠ nin bileşimi DΠ yi verir.

İkili Eksenle Ötelemenin Bileşimi Düzlem örgü üzerindeki dik izdüşümü 6 t1 6 9 9 t2 CΠ DΠ t1 + t2 6 6 9 AΠ BΠ 9 Eksenlerin perspektif görünüşü

Paralel kenar örgünün 1’li ve 2’li eksenlerle uyuştuğunu, eşkenar üçgen örgünün 3’lü ve 6’lı eksenlerle uyuştuğunu göz önüne alarak aşağıdaki şekillerde düzlemsel örgülerin sadece birim hücrelerinin içerdiği eksenler gösterilmiştir.

Düzlemsel örgü ile uyuşan ve örgüye dik simetri eksenlerinin örgüdeki konumları p1 p2 p3 p4 p6 pm pmm

Uzay Örgü Tiplerinin (Bravais Örgüleri) Çıkarılışı Uzay örgü tiplerini çıkaralım: P1 örgüsünün örgü noktalarından t3 vektörleri çıkarılarak elde edilecek noktalar bu düzlemsel örgünün t3 kadar kaydırılmasıdır. P1 in noktalarından sadece 1’li eksenler geçmektedir. 1’li eksen ‘her doğrultuda bir eksen var’ demektir; dolayısıyla t3 herhangi bir doğrultuda bir öteleme anlamına gelir. Sadece köşelerde örgü noktası vardır.

Monoklinik P Örgü Tipi t1 = a, t2 = b, t3= c ötelemeleri birim hücre ya da örgü parametreleri olsun. ABCD düzlemsel örgü b ötelemesi ile A’B’C’D’ ye gelir. Düzlemsel örgünün noktaları b kadar yukarı kayar. b bir çok kez uygulanarak uzay örgünün tamamı elde edilir. A’ D’ b B’ C’ A c D a B C

Monoklinik C Örgü Tipi t3 ötelemesi öyle seçilmelidir ki ucu daima bir dönme ekseni üzerinde kalsın. Bir olasılık olarak t3=a+b alalım. Bu takdirde; 2 A1 A’1 A2 A’2 A3 A’3 A4 A’4 ,vb. B1 B’1 B2 B’2 B3 B’3 B4 B’4 ,vb. b A’’1 A’’2 A1 A’1 A’2 B’1 A2 A3 A4 c b/2 B1 a/2 B2 B3 B4

A’1 A’2 …ve B’1 B’2 … noktaları a nın ortasından çıkan dikmeler üzerinde olduğundan birer 2’li eksen üzerindedir. Bulunan noktalara tekrar t3 = a+b/2 ötelemesi uygulanırsa A’’1 A’’2 …vb. B’’1 B’’2…vb. noktalarını elde ederiz. Elde edilen üç boyutlu örgü A2B2B3A3A’’1B’’1B’’2 A’’2 prizmasıdır. Bu prizmanın ön ve arka yüzlerinin merkezinde bir örgü noktası vardır. Bu örgüye C yüz merkezli örgü denir. Not: Kristalin birim hücresinin a, b yüzü C; a, c yüzü B; b,c yüzü A olarak adlandırılır.

Ödev: t3 = a+b+c /2 alınırsa ilk örgü noktası cisim merkezine gider Ödev: t3 = a+b+c /2 alınırsa ilk örgü noktası cisim merkezine gider. Ondan sonraki ötelemeler sırası ile birinci, ikinci,…tabakalara ve merkezlere gider. Sonuçta cisim merkezli birim hücreler elde ederiz. Fakat, b’ = b, a’=a+c ve c’= -a örgü dönüşümü yaparak C yüz merkezli örgüye dönüşür. Bunu gösteriniz. Bütün yüzlerin merkezinde bir örgü noktası varsa, F yüz merkezli denir. Eğer birim hücrenin uzay köşegenlerinin kesim noktasında bir örgü noktası daha varsa o zaman cisim merkezli deyimi kullanılır. Ve I ile gösterilir. Sadece köşelerinde örgü noktası bulunan örgüye primitif veya yalın denir ve P ile simgelenir. Ötelemesi t3 =b+c/2 alınsaydı C yüz merkezlinin aynı olurdu, sadece A merkezli olarak değişirdi.

Uzay örgü tipleri ya da Bravais Örgü Tipleri Trikilinik Monokilinik Ortorombik

tetragonal Trigonal Heksagonal kübik