Doğrusal Programlama (DP) Yrd. Doç. Dr. KENAN GENÇOL Hitit Üniversitesi

Doğrusal Programlama Doğrusal programlama yaklaşımı, doğrusal yapıdaki kısıtları ihmal etmeden, doğrusal formdaki amaç fonksiyonunu en iyilemeyi (maksimize ya da minimize etmeyi) sağlayan, bu en iyileme (optimizasyon) sonucunda karar değişkenlerinin aldıkları değerleri bulan bir yaklaşımdır.

Doğrusal Programlama Her doğrusal programlama modelinin üç temel bileşeni vardır: karar değişkenleri, amaç fonksiyonu ve kısıtlar.

Doğrusal Programlama 𝑧 𝑚𝑎𝑘𝑠/𝑚𝑖𝑛 = 𝑗=1 𝑛 𝑐 𝑗 𝑥 𝑗 Amaç fonksiyonu: Karar değişkenlerinden ve bu değişkenlerin parametrelerinden oluşan en iyi çözümün (maksimum ya da minimum) oluşmasını sağlayan doğrusal bir fonksiyondur. 𝑧 𝑚𝑎𝑘𝑠/𝑚𝑖𝑛 = 𝑗=1 𝑛 𝑐 𝑗 𝑥 𝑗

Doğrusal Programlama Kısıtlar: Bir modeldeki karar değişkenleri ile parametreler arasındaki zorunlu ilişkilerin her birine “kısıt” adı verilir. 𝑗=1 𝑛 𝑎 𝑖𝑗 𝑥 𝑗 ≤ 𝑏 𝑖 𝑖=1,2, …, 𝑀 𝑥 𝑗 ≥0

Doğrusal Programlama Örnek: Maksimizasyon amaçlı ve 2x2 boyutlu bir DP problemi 𝑧 𝑚𝑎𝑘𝑠 = 𝑐 1 𝑥 1 + 𝑐 2 𝑥 2 𝑎 11 𝑥 1 + 𝑎 12 𝑥 2 ≤ 𝑏 1 𝑎 21 𝑥 1 + 𝑎 22 𝑥 2 ≤ 𝑏 2 𝑥 1 , 𝑥 2 ≥0

Doğrusal Programlama Optimal çözüm: Bir DP modelinin karar değişkenlerinin, mevcut kısıtlar altında amaç fonksiyonunun en iyilenmesi (optimum kılınması) sonucunda aldığı değerler “optimal çözüm” olarak adlandırılır.

DP’nin Özellikleri Değişkenler arası ilişkiler doğrusaldır (birinci dereceden). Modelin bütün matematik ifadeleri doğrusal eşitlik veya eşitsizliklerden oluşur. DP problemlerinde uygun çözüm birden çoktur. Fakat optimum çözüm bir tanedir. (problemin doğasına göre alternatif çözüm de olabilir) Her DP problemi analitik düzlemde konveks bir çözüm kümesi ortaya çıkarır. Optimum çözüm konveks çözüm kümesinin uç noktalarından bir tanesinde bulunur. Karar değişkenleri (xj) negatif olmamalıdır.

Problem Bir işletme, bir ürünün iki farklı çeşidini (X ve Y) çıkarmakta ve toptan satmaktadır. Her bir ürün çeşidi için farklı karışımlarda iki temel hammadde (A ve B) kullanılmaktadır. Tedarik farklılıkları nedeniyle A maddesinin 1 günde depoda bulundurulabilecek maksimum miktarı 6 ton iken, B maddesinin 8 tondur. X ürün çeşidinin üretiminde A maddesinden 1 ton/gün ve B maddesinden 2 ton/gün kullanılırken, Y ürün çeşidinin üretiminde A maddesinden 2 ton/gün ve B maddesinden 1 ton/gün kullanılmaktadır.

Problem (devamı) Yapılan bir pazar araştırması, Y ürün çeşidine gelen günlük talebin X ürün çeşidine gelen talebi 1 ton’dan fazla geçmediğini ortaya çıkarmıştır. Araştırma aynı zamanda Y ürün çeşidine gelen günlük talebin en fazla 2 ton ile sınırlı kaldığını göstermiştir. Ton başına toptan satış fiyatı X ürün çeşidi için 3 pbr, Y ürün çeşidi için 2 pbr’dir (pbr: Parabirimi). Kazancını maksimize etmek için işletmenin günlük üretmesi gereken X ve Y ürün çeşidi ne kadardır?

DP Formülasyonu Değişkenler: X1, X2 Kısıtlar: X1 + 2X2 <= 6 Amaç fonksiyonu: Maks Z = 3X1 + 2X2

Problem Bir işletmede A ve B ürünleri üretilmektedir. Bu üretim üç farklı atölyede gerçekleşmektedir (I,II,III). Atölyelerin günlük kullanım süreleri sırasıyla 16, 14 ve 18 saatdir. Birim miktar A üretimi için atölyelerde sırasıyla 1,2,4 saat iş gücü gerekirken, birim miktar B üretimi için 2,3,1 saat iş gücü gereklidir. Birim maliyetler sırasıyla 3 ve 4 dolardır. Buna göre, işletmenin minimum maliyetle üretim yapabilmesi için günlük ne kadar A ve B ürünü üretmesi gerekir?

DP Formülasyonu Değişkenler: X1, X2 Kısıtlar: X1 + 2X2 <= 16 Amaç fonksiyonu: Min Z = 3X1 + 4X2