5.1 POLİNOMİNAL REGRESSİYON Olarak bir dizin verisi için en iyi bir doğruyu bulmaya çalışırız. (5.1) . (5.1) denklemindeki 1 polinomun derecesini göstermektedir.
(5.2) “0” sıfır dereceli bir polinomda { yi , i = 1, 2, 3, … , n} dizin verisinin istatistiksel bir ortalamasına eşittir. Şekil 5.1 Veri noktalarını, model çizgileri ve bunlar arasındaki sapmalarını gösterir. { * işareti: pi =(x i, yi) veri noktalarını göstersin, pi =(x i, yi), i = 1, 2, 3, …, n} = D Hataların Kareleri Toplamı: “Sum Squares Errors(Sse)” En iyi çizgi: y1 (x) = a0 + a 1 x, denklemiyle y’in kesme noktası = a0, & eğim=a1. 0 dereceli polinomun en uygun verisi y0(x) = y0 dir.
Her bir {xi, i = 1, 2, 3, … , n}: dizi elemanı için ei ; i nci hata farkıdır. (5.3) Her bir {xi, i = 1, 2, 3, … , n} dizin verileri için: Burada e I‘ i nci “ortalama hata” olarak adlandırılır.
(5.7) (5.8)
(5.9) y 2 (x) = a0 + a1 x +a2 x2 Buradaki örnek veri için: X = [ 1, 2, 3, 4], Y = [ 2, 4, 2, 6] , n=4, veya D ={ (1,2), (2,4), (3,2), (4,6)} olduğunu kabul edelim. Bu noktalar için en iyi doğru ve polinomu uydurmak için (5.8) ve (5.9) eşitliklerini çözelim.
i xi yi xi^2 xi^ 3 xi^ 4 xi yi xi^2 yi 1 1 2 1 1 1 2 2 2 2 4 4 8 16 8 16 3 3 2 9 27 81 6 18 4 4 6 16 64 256 24 96 ∑ 10 14 30 100 354 40 132
m=1 ile dört veri noktasının en iyi uyumlu en küçük kare örneği; m=1 olan doğrusal regressiyonu çözmek üzere (5.8) eşitliğini kullanarak 2x2 sistemi ele alalım: Bilinen matris ve vektör kullanılarak bilinmeyen a0 ve a1 ler hesaplanır. a0 = 1 ve a1 = 1 y1 (x) = 1 + 1 x.
m=2 ile dört veri noktasının en iyi uyumlu en küçük kare örneği; m=2 olan doğrusal regressiyonu çözmek üzere (5.9) eşitliğini kullanarak 3x3 sistemi ele alalım: Bilinen matris ve vektör kullanılarak bilinmeyen a0 ve a1 ler hesaplanır. a0 = 3.5 a1 = -1.5 ve a2 = 0.5 y 2 (x) = 3.5 + -1.5 x + .5 x 2
Genel Durum: n veri noktasına m dereceli en küçük kareler ile en iyi uyumlu polinomu bulma. { (xi, yi), i = 1, 2, 3, … , n ) } n>= m (m-adet bilinmeyenli n-adet denklem) olduğunda çözüm mümkündür.
C a = r
Ortalama y değeri: (5.10) (5.11) y değerinin varyansı: Varyansın karekök değeri: (5.12) Modelimizdeki y değerinin varyansı: (5.13)
SSE= (5.14) (5.15) (5.16)
(5.17) (5.18) (5.19)