FRAKTALLAR

İçindekiler Fraktal Nedir? Fraktalın Tarihi Neler Fraktal Belirtir? Çeşitli Fraktal Örnekleri Neler Fraktal Belirtmez? Fraktal Olmayan Şekiller Bazı Çıkmış Sorular ve Çözüm Yöntemleri İlginç Bilgiler

Fraktal Nedir? Fraktal bir şeklin orantılı olarak küçültülmüş ya da büyütülmüş hallerinden bir araya getirilmesiyle oluşan örüntülerdir.

Fraktalın Tarihi İlk matematiksel fraktal kavramı 1861 de keşfedildi.Matematik anlamındada ilk çalışılan fraktal, Cantor Cümlesidir. Cantor (1845) Halle Üniversitesi'ndeyken matematiğin temel konularından olan ve günümüzde Cümle Teorisi olarak adlandırılan alanı kuran bir Alman matematikçidir. Fraktalların tarihi gelişiminde Cantor, Sierpinski, Von Koch, Peano gibi matematikçiler tarafından oluşturulan fraktallar matematiksel canavarlar olarak adlandırılır. Matematiksel canavarların bahçesinde veya ilk fraktalların ortaya çıktığı zamanlarda Cantor cümlesi görünüş açısından diğerlerinden daha az gösterişli olmasına ve diğerlerine göre doğal yoruma daha uzak olmasına rağmen oldukça önemlidir

Neler Fraktal Belirtir? 1.Adım 2.Adım 3.Adım 4.Adım Bir eşkenar üçgenin kenarlarının ½ oranında küçültülmesiyle oluşan fraktalın çizgi modeli yukarıdaki gibidir. Bu fraktalın herhangi bir parçasını büyültüp veya küçülttüğümüzde başka bir adımı elde ederiz.O yüzden bu bir fraktaldır.

Çeşitli Fraktal Örnekleri

Neler Fraktal Belirtmez? 1.Adım 2.Adım 3.Adım 4.Adım Yukarıdaki örüntünün fraktal belirtmez. Örüntünün herhangi bir parçasını küçülttüğümüzde veya büyüttüğümüzde örüntünün diğer parçasını elde edemeyiz.

Fraktal Olmayan Şekiller 1.Adım 2.Adım 3.Adım 4.Adım 5.Adım Altıgenin köşelerinin çizildiği örüntünün herhangi bir parçası küçültüldüğünde ya da büyütüldüğünde örüntünün diğer parçaları elde edilmediğinden verilen örüntü fraktal belirtmez. 6.Adım

Bazı Çıkmış Sorular ve Çözüm Yöntemleri Ör:Aşağıdaki verilen fraktalın 5. adımındaki üçgen sayısını bulunuz? 3.adım 2.adım 1.adım 1.adım 1 üçgen 5.Adımda 121 üçgen vardır. 2.adım 1 + 3= 4 üçgen 3.adım 1 + 3 + 9 = 13 üçgen 4.adım 1 + 3 + 9 + 27 = 40 üçgen 5.adım 1 + 3 + 9 + 27 + 81 = 121 üçgen

Ör 2:Aşağıda verilen “Y” şeklindeki fraktalların 5 Ör 2:Aşağıda verilen “Y” şeklindeki fraktalların 5. şekil üzerinde kaç tane “Y” harfi bulunur? 1.adım 2.adım 3.adım 1.adım 1 “Y” harfi 2.adım 1 + 2= 3 “Y” harfi 5.Adımda 31 “Y” harfi vardır. 3.adım 1 + 2 + 4 = 7 “Y” harfi 4.adım 1 + 2 + 4 + 8 = 15 “Y” harfi 5.adım 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31 “Y” harfi

Ör 3:Aşağıda şekil dizilerinden hangisi fraktal belirtir? Doğru Cevap “C” şıkkıdır.Çünkü bir tanesini küçülttüğümüzde veya büyülttüğümüzde öbür adımı elde ederiz. B) C) D)

Ör 4:Aşağıdaki verilen fraktalın 3. şeklinde kaç adet nokta vardır? 1.Şekil 2.Şekil 3.Şekil 1.adım 5 nokta 3.Şekilde 155 nokta bulunur. 2.adım 5 + 25 = 30 nokta 3.adım 5 + 25 + 125 = 155 nokta

İlginç Bilgiler 1,3,6,10,15…. üçgen sayılardır. 1’den başlayarak ardışık sayıların toplamı biçiminde yazılan sayılardır. Biliyor musunuz? 1=1 3=1+2 6=1+2+3 10=1+2+3+4 15=1+2+3+4+5 1,3,6,10,15…. üçgen sayılardır. Üçgen sayılar 2,4,7 veya 9 ile bitmez.

İplik Yumağının Boyutu Biliyor musunuz? İplik Yumağının Boyutu Fraktallar üzerine teoriler geliştiren Mandelbrot’un en ünlü çalışması Mandelbrot kümesidir.Mandelbrot bir birim cinsinden ölçülemez olan cisimlerin bir pütürlük derecesine sahip olduğunu,bunu ölçmenin yolunu bulmuştur.Pütürlük derecesine fraktal boyut,pütürlük özelliği gösteren cisimlere fraktal adını vermiştir.Mandelbrot’u fraktal geometride başarıya götüren olaylardan biri de “Bir iplik yumağının boyutu nedir?”sorusuna verdiği yanıttır.Uzaktan bakıldığında bir nokta gibi görülen yumağın daha yakından bakıldığında yüzeyinde küreler,daha da yakından bakıldığına tek boyutlu ayrık ipliklerden oluştuğunu gözlemlemiştir.Bu sebeple yumağın boyutsuz olduğunu söylemiştir.

Mandelbrot Teorisinin Gelişimi Fraktal (büyütüldü) Fraktal Fraktal (bir daha büyütüldü)