Teorem NU4 Lineer Kombinasyonlar ‘de lineer bağımsız bir küme Tanıt tanıt tamamlandı Bu durumda tanıtlanması gereken Varsayalım ki dizisi oluşturulsun

. Her j için sınırlı bir dizi Weierstrass-Bolzano Teoremi Her sınırlı dizinin yakınsak bir alt dizisi vardır Hatırlatma yakınsak bir alt dizisi var ‘de ‘in bu diziye karşılık düşen altserisi olsun. ‘de ‘in bu diziye karşılık düşen altserisi olsun. . ‘de ‘in bu diziye karşılık düşen altserisi olsun. yeni bir dizi oluşturuldu

tüm ‘ler sıfır değil Çelişki !!! lineer bağımsız Varsayalım ki dizisi oluşturulsun ‘in alt dizisi

‘nın ‘deki tümleyeni açık ise Kapalı kümedir. X=(X,d) metrik uzay Tekrar Açık Yuvar Kapalı Yuvar Açık kümedir ‘nın ‘deki tümleyeni açık ise Kapalı kümedir. ‘nin yığılma noktası ise ‘nun her komşuluğunda en az bir vardır ve ‘ in yığılma noktalarını içeren küme ‘nin kapanışıdır. için noktasında süreklidir için sürekli ise süreklidir

ve kümeleri arasında birebir ve üzerine bir dönüşüm varsa bu iki küme Tekrar ve kümeleri arasında birebir ve üzerine bir dönüşüm varsa bu iki küme birbirine sayısal olarak eşdeğerdir. Sayısal olarak doğal sayılar kümesine eşdeğer olan bir kümesine numara- lanabilir denir. Sonlu ya da numaralanabilir bir kümeye sayılabilir adı verilir. ‘de yoğundur ‘in sayılabilir, ‘de yoğun alt kümesi varsa ayrılabilirdir. ise yakınsaktır. Cauchy’dir tamdır ‘deki her Cauchy dizisi yakınsaktır.

‘nın ‘deki tümleyeni açık ise Kapalı kümedir. X=(X,d) metrik uzay Tekrar Açık kümedir ‘nın ‘deki tümleyeni açık ise Kapalı kümedir. normlu uzay ‘de kapalı ‘in kapalı alt uzayı alt uzay Bancah uzayı ‘in alt uzayı , normlu uzay ‘in alt uzayıdır. Tam olmayabilir X=(X,d) metrik uzay ‘de yoğundur ‘in sayılabilir, ‘de yoğun alt kümesi varsa ayrılabilirdir. normlu uzay ayrılabilir

Teorem NU5 Tamlık ‘in alt uzayı, Tamdır. *Her sonlu boyutlu normlu uzay tamdır. Teorem NU6 Kapalılık ‘in alt uzayı, ‘de kapalıdır. *Normlu uzayın her sonlu boyutlu altuzayı, normlu uzayda kapalıdır. Eşdeğer Normlar ‘de tanımlı normlar Teorem NU7 Eşdeğer Normlar Sonlu boyutlu vektör uzayında tanımlı herhangi bir norm, herhangi bir başka norma eşdeğerdir. *Sonlu boyutlu vektör uzayında her normbir başka norma eşdeğerdir.

Kompaklık kompaktır ’de yakınsak altdizi kompaktır ’de yakınsak altdizi Teorem NU8 Kompaklık kompak kapalı ve sınırlı. Teorem NU9 Kompaklık kompak kapalı ve sınırlı. *Sonlu boyutlu normlu uzayın herhangi bir alt kümesinin kompak olması için gerek ve yeter koşul alt kümenin kapalı ve sınırlı olmasıdır.

Riesz’in Lemması Boyut ile ilgili bir kısıtlama yok. ve ‘in alt uzayları, kapalı ve ‘nin uygun alt kümesi Teorem NU10 Sonlu Boyut Kapalı birim yuvar ‘de kompak sonlu boyutlu Teorem NU11 Sürekli Dönüşüm sürekli kompak ‘nin altındaki görüntüsü kompaktır Sonuç Teorem Maksimum ve Minumum sürekli kompak ‘de maksimum ve minimumlarına erişir