Öğr. Elemanı: Dr. M. Cumhur AKBULUT Ünite 6: Sınıflandırılmış Verilerde Merkezi Eğilim Ölçülerinin Hesaplanması Öğr. Elemanı: Dr. M. Cumhur AKBULUT

Ünitede Ele Alınan Konular Sınıflandırılmış Verilerde Merkezi Eğilim Ölçülerinin Hesaplanması Ünitede Ele Alınan Konular 6. Sınıflandırılmış Verilerde Merkezi Eğilim Ölçülerinin Hesaplanması 6.1. Aritmetik Ortalamanın Hesaplanması 6.2. Ortanca değerin Hesaplanması 6.3. Tepe değerinin Hesaplanması

Sınıflandırılmış Verilerde Merkezi Eğilim Ölçülerinin Hesaplanması Üçüncü ünitede basit serilerde merkezi eğilim ölçülerinin hesaplanmasına ilişkin formüller verilmiş ve bir seride ortalamaların nasıl hesaplanacağı anlatılmıştı. Bu ünitede ise frekans dağılım tablosu üzerinden merkezi eğilim ölçülerinin daha açık bir ifadeyle Aritmetik ortalama, ortanca ve tepe değerinin nasıl hesaplanacağı anlatılacaktır.

Aritmetik Ortalamanın Hesaplanması Sınıflandırılmış Verilerde Merkezi Eğilim Ölçülerinin Hesaplanması Aritmetik Ortalamanın Hesaplanması Değerler toplamının değer sayısına oranı şeklinde tanımlanan aritmetik ortalama en çok kullanılan merkezi eğilim ölçüsüdür. Basit serilerde direk değerler üzerinden hesaplanan aritmetik ortalama Sınıflandırılmış verilerde ise Tartılı Ortalama yöntemi kullanılarak hesaplanır. Daha açık bir ifadeyle her bir sınıfın frekansı ile sınıf değerinin çarpımlar toplamının, toplam frekansa bölünmesi ile bulunur. Matematiksel ifade ile Aritmetik ortalama; fi = i’inci sınıfın frekansı k= Sınıf Sayısı Xi= i’nci sınıfın Sınıf Değeri

Örnek 1 Soru 6-1 Bir bankanın havale servisine herhangi bir günde gelen müşterilerin işlemlerini bitirme süreleri dakika olarak ölçülmüştür. Sınıf sayısını 6 alarak verilerin frekans dağılım tablosu oluşturulmuştur. Tablodan faydalanarak havale işlemine ilişkin ortalamayı bulunuz. k Sınıflar Frekans (fi) Sınıf Değeri(Xi) Oransal Frekans(%f) A.S Ü.S 1 1,8 2,0 2 1,9 4,0% 2,1 2,3 8 2,2 16,0% 3 2,4 2,6 6 2,5 12,0% 4 2,7 2,9 10 2,8 20,0% 5 3,0 3,2 13 3,1 26,0% 3,3 3,5 11 3,4 22,0% Σfi=50 100,0%

Çözüm 6-1 Verilenler: k= 6 ∑fi= 50 fi = i’inci sınıfın frekansı Örnek 1 Çözüm 6-1 Verilenler: k= 6 ∑fi= 50 k Sınıflar Frekans (fi) Sınıf Değeri(Xi) A.S Ü.S 1 1,8 2,0 2 1,9 2,1 2,3 8 2,2 3 2,4 2,6 6 2,5 4 2,7 2,9 10 2,8 5 3,0 3,2 13 3,1 3,3 3,5 11 3,4 Σfi=50 fi = i’inci sınıfın frekansı k= Sınıf Sayısı Xi= i’nci sınıfın Sınıf Değeri

Ortalamayı Grafik üzerinde gösterelim. Örnek 1 k Sınıflar Frekans (fi) Sınıf Değeri(Xi) A.S Ü.S 1 1,8 2,0 2 1,9 2,1 2,3 8 2,2 3 2,4 2,6 6 2,5 4 2,7 2,9 10 2,8 5 3,0 3,2 13 3,1 3,3 3,5 11 3,4 Σfi=50 Ortalamayı Grafik üzerinde gösterelim. 2,35 2,65 2,95 3,25 3,55 2,05 1,75 2,842

Soru 6-2 k Alt Sınırlar Üst Sınırlar f 1 65 78 14 2 79 92 13 3 93 106 Örnek 2 Soru 6-2 Bir bölgede faaliyet gösteren bilgisayar donanım ve yazılım şirketlerinin ciroları ile ilgili bir araştırmada, 40 firmanın bir önceki yıla ait gelirleri (1000 TL) elde edilmiş ve verilerin Frekans Dağılım Tablosu aşağıda verilmiştir. Bu tablodan faydalanarak ortalamayı hesaplayınız. k Alt Sınırlar Üst Sınırlar f 1 65 78 14 2 79 92 13 3 93 106 10 4 107 120 5 121 134

Çözüm 6-2 Verilenler: k= 5 ∑fi= 40 fi = i’inci sınıfın frekansı Örnek 2 Çözüm 6-2 Verilenler: k= 5 ∑fi= 40 k Alt Sınırlar Üst Sınırlar fi 1 65 78 14 2 79 92 13 3 93 106 10 4 107 120 5 121 134 ∑fi = 40 Sınıf Değerleri (Xi) 71,5 85,5 99,5 113,5 127,5 fi = i’inci sınıfın frekansı k= Sınıf Sayısı Xi= i’nci sınıfın Sınıf Değeri

Ortalamayı Grafik üzerinde gösterecek olursak Örnek 2 k Alt Sınırlar Üst Sınırlar fi Sınıf Değerleri (Xi) 1 65 78 14 71,5 2 79 92 13 85,5 3 93 106 10 99,5 4 107 120 113,5 5 121 134 127,5 ∑fi = 40 Ortalamayı Grafik üzerinde gösterecek olursak 78,5 92,5 106,5 120,5 134,5 64,5 50,5 86,55

Ortanca Değerin Hesaplanması Sınıflandırılmış Verilerde Merkezi Eğilim Ölçülerinin Hesaplanması Ortanca Değerin Hesaplanması Ortanca değer sıralanmış bir veri grubunda en ortada kalan terimin değeri olarak tanımlanır. Sınıflandırılmış veriler zaten küçükten büyüğe doğru sıralandığından en ortada kalan değeri yani ortanca değeri aşağıdaki formül yardımıyla bulabiliriz. L1= Ortanca Değerin içinde bulunduğu sınıfın Alt Gerçek Sınırı c= Sınıf Aralığı n= Gözlem Sayısı m= Ortancanın İçinde Bulunduğu sınıf fod= Ortancanın İçinde Bulunduğu sınıfın Frekansı

Örnek 3 Soru 6-3 Örnek 6–1’de verilen bir banka şubesinin havale servisine gelen müşterilerin işlemlerini bitirme sürelerine ilişkin frekans dağılım tablosunu kullanarak Ortanca değeri hesaplayınız. k Sınıflar Frekans (fi) Sınıf Değeri(Xi) A.S Ü.S 1 1,8 2,0 2 1,9 2,1 2,3 8 2,2 3 2,4 2,6 6 2,5 4 2,7 2,9 10 2,8 5 3,0 3,2 13 3,1 3,3 3,5 11 3,4 Σfi=50

Çözüm 6-3 Tablodan Bulunacak Değerler m= 4 olarak bulunur. fod= 10 Örnek 3 Çözüm 6-3 Tablodan Bulunacak Değerler k Sınıflar Frekans (fi) Sınıf Değeri(Xi) A.S Ü.S 1 1,8 2,0 2 1,9 2,1 2,3 8 2,2 3 2,4 2,6 6 2,5 4 2,7 2,9 10 2,8 5 3,0 3,2 13 3,1 3,3 3,5 11 3,4 Σfi=50 n 2 = 50 2 =25. değer hangi s𝚤n𝚤fta yer almaktad𝚤r? m= 4 olarak bulunur. fod= 10 L1=2,65 u=1 m−1 f u = u=1 4−1 f u = u=1 3 f u = f 1 + f 2 + f 3 Verilenler: k= 6 ∑fi= n= 50 c= 0,3 i=1 3 f u =2+8+6=16

Ortancayı Grafik üzerinde gösterelim. Örnek 1 k Sınıflar Frekans (fi) Sınıf Değeri(Xi) A.S Ü.S 1 1,8 2,0 2 1,9 2,1 2,3 8 2,2 3 2,4 2,6 6 2,5 4 2,7 2,9 10 2,8 5 3,0 3,2 13 3,1 3,3 3,5 11 3,4 Σfi=50 Ortanca Değer = 2,92 Dakika Ortancayı Grafik üzerinde gösterelim. 2,35 2,65 2,95 3,25 3,55 2,05 1,75 % 50 % 50 2,842 2,92

Örnek 4 Soru 6-4 Örnek 6–2’de verilen işletmelerin yıllık cirolarına ilişkin frekans dağılım tablosunu kullanarak Ortanca değeri hesaplayınız. k Alt Sınırlar Üst Sınırlar fi Sınıf Değeri (Xi) 1 65 78 14 71,5 2 79 92 13 85,5 3 93 106 10 99,5 4 107 120 113,5 5 121 134 127,5 ∑fi=40

Çözüm 6-4 Tablodan Bulunacak Değerler 27 m= 2 olarak bulunur. fod= 13 Örnek 4 Çözüm 6-4 Tablodan Bulunacak Değerler k Sınıflar Frekans (fi) Sınıf Değeri(Xi) A.S Ü.S 1 65 78 14 71,5 2 79 92 13 85,5 3 93 106 10 99,5 4 107 120 113,5 5 121 134 127,5 Σfi=40 n 2 = 40 2 =20. değer hangi s𝚤n𝚤fta yer almaktad𝚤r? 27 m= 2 olarak bulunur. fod= 13 L1=78,5 u=1 m−1 f u = u=1 2−1 f u = u=1 1 f u = f 1 Verilenler: k= 5 ∑fi= n= 40 c= 14 i=1 1 f u =14

Ortanca Değer = 84,96 (bin) TL Örnek 4 Ortanca Değer = 84,96 (bin) TL k Alt Sınırlar Üst Sınırlar fi Sınıf Değerleri (Xi) 1 65 78 14 71,5 2 79 92 13 85,5 3 93 106 10 99,5 4 107 120 113,5 5 121 134 127,5 ∑fi = 40 Ortancayı Grafik üzerinde gösterecek olursak 78,5 92,5 106,5 120,5 134,5 64,5 50,5 % 50 % 50 84,96 86,55

Tepe değerinin Hesaplanması Sınıflandırılmış Verilerde Merkezi Eğilim Ölçülerinin Hesaplanması Tepe değerinin Hesaplanması Tepe değeri basit serilerde en sık tekrarlanan değer olarak tanımlanır. Sınıflandırılmış verilerde daha açık bir ifadeyle frekans dağılım tablolarını kullanarak tepe değeri aşağıdaki formül ile hesaplanır. L2= En yüksek frekansa sahip sınıfın Alt Gerçek Sınırı c= Sınıf Aralığı d1= En yüksek frekansa sahip sınıfın frekansı ile bir önceki sınıfın frekansı arasındaki fark d1= En yüksek frekansa sahip sınıfın frekansı ile bir sonraki sınıfın frekansı arasındaki fark

Örnek 5 Soru 6-5 Örnek 6–1’de verilen bir banka şubesinin havale servisine gelen müşterilerin işlemlerini bitirme sürelerine ilişkin frekans dağılım tablosunu kullanarak Tepe değerini hesaplayınız. k Sınıflar Frekans (fi) A.S Ü.S 1 1,8 2,0 2 2,1 2,3 8 3 2,4 2,6 6 4 2,7 2,9 10 5 3,0 3,2 13 3,3 3,5 11 Σfi=50

Çözüm 6-5 Tablodan Bulunacak Değerler Örnek 5 Çözüm 6-5 Tablodan Bulunacak Değerler k Sınıflar Frekans (fi) A.S Ü.S 1 1,8 2,0 2 2,1 2,3 8 3 2,4 2,6 6 4 2,7 2,9 10 5 3,0 3,2 13 3,3 3,5 11 Σfi=50 Frekans dağılım tablosunda en yüksek frekans 13 ‘tür ve 5. Sınıfın frekansıdır. L2=2,95 d1= 13-10 =3 d2= 13-11 =2 Tepe Değeri= L 2 + d 1 d 1 + d 2 ∗c Verilenler: k= 6 ∑fi= n= 50 c= 0,3 Tepe Değeri=2,95+ 3 3+2 ∗0,3 Tepe Değeri=2,95+ 3 5 ∗0,3=2,95+ 0,9 5 Tepe Değeri=2,95+0,18 Tepe Değeri=3,13 dakika

Tepe Değerini Grafik üzerinde gösterelim. Örnek 5 k Sınıflar Frekans (fi) Sınıf Değeri(Xi) A.S Ü.S 1 1,8 2,0 2 1,9 2,1 2,3 8 2,2 3 2,4 2,6 6 2,5 4 2,7 2,9 10 2,8 5 3,0 3,2 13 3,1 3,3 3,5 11 3,4 Σfi=50 Ortanca Değer = 2,92 Dakika Tepe Değeri = 3,13 Dakika Tepe Değerini Grafik üzerinde gösterelim. 2,35 2,65 2,95 3,25 3,55 2,05 1,75 2,842 2,92 3,13