DOĞAL SAYILAR TAM SAYILAR Öğr. Gör. Mehmet Ali ZENGİN

KONU BAŞLIKLARI 2.1. Doğal Sayılar 1. TEMEL KAVRAMLAR 2. SAYILARIN SINIFLANDIRILMASI 2.1. Doğal Sayılar 2.2. Tam Sayılar 2.2.1. Çift ve Tek Sayılar 2.2.2. Pozitif ve Negatif Sayılar 2.2.3. Ardışık Sayılar 3. FAKTÖRİYEL KAVRAMI

1. Temel Kavramlar Rakam Sayı 1 ve 8 hem birer rakam hem de birer sayıdır. Buna sayıları ifade etmek için kullanılan sembollere rakam denir. {0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} kümesinin elemanları onluk sayma sisteminde kullanılan rakamlardır. Sayı Rakamların bir çokluk belirtecek şekilde bir araya ge­tirilmesiyle oluşturulan ifadelere sayı denir. Uyarı: Tüm rakamlar birer sayıdır. Fakat her sayı bir rakam değildir!!! 1 ve 8 hem birer rakam hem de birer sayıdır. Buna karşılık 18 bir sayıdır, fakat rakam değildir.

2. Sayıların Sınıflandırılması 2.1. Doğal Sayılar Doğal sayılar kümesi N harfi ile gösterilir. N = {0, 1,2, 3, ...} kümesinin elemanlarının her biri birer doğal sayıdır. Sıfır haricindeki doğal sayılara pozitif doğal sayılar ya da sayma sayıları denir. N+ sembolü ile gösterilir. N+ = {1,2, 3, ...} kümesinin elemanlarının her biri birer sayma sayısıdır. Örnek Soru 1: a ve b birer rakam olmak üzere, 𝑎+ 10 𝑏 =12 olduğuna gore, a nın alabileceği değerlerin toplamı kaçtır? A) 7 B) 9 C) 13 D) 19 E) 30

2. Sayıların Sınıflandırılması 2.1. Doğal Sayılar Örnek Soru Çözümü : Bu eşitlikte a bir rakam olduğundan 𝟏𝟎 𝐛 bir doğal sayı olmalıdır. Bunun için, b rakamı 1,2, 5 olabi­lir. b = 1 için 𝑎+ 10 1 =12  a = 2 b = 2 için 𝑎+ 10 2 =12  a = 7 b = 5 için 𝑎+ 10 5 =12  a = 10 olduğundan a bir rakam değildir. Buna gore, a nın alabileceği değerlerin toplamı 2 + 7 = 9 bulunur.

2. Sayıların Sınıflandırılması 2.1. Doğal Sayılar Örnek Soru 2: a ile b sayma sayısı olmak üzere, a + b = 13 olduğuna göre, a.b çarpımının en büyük ve en küçük değerlerinin toplamı kaçtır? A) 42 B) 45 C) 51 D) 54 E) 56

2. Sayıların Sınıflandırılması 2.1. Doğal Sayılar Örnek Soru 2 Çözüm: a + b = 13 eşitliğinde a ile b birbirine yaklaştıkça çarpımları büyür ve birbirinden uzaklaştıkça çar­pımları küçülür. 7 + 6 = 13 için a.b = 7.6 = 42 12 + 1 = 13 için a.b = 12.1 = 12 olur. Buna göre, a.b çarpımının en büyük değeri 42 ve en küçük değeri 12 olduğundan, bu değerlerin toplamı 42 + 12 = 54 bulunur.

2. Sayıların Sınıflandırılması 2.1. Doğal Sayılar Örnek Soru 3: a ile b doğal sayı olmak üzere, 4a + 5b = 50 olduğuna göre, a sayısı kaç farklı değer alabilir? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

2. Sayıların Sınıflandırılması 2.1. Doğal Sayılar Örnek Soru 3 Çözüm: Önce a = 0 için b = 10 bulunur. Daha sonra a nın değerleri b nin katsayısı kadar artırılırsa b nin değerleri de a nın katsayıları kadar azalır. 4a + 5b = 50 ↓ ↓ 0 10 5 6 10 2 15 –2 ∉ N olduğundan a sayısı 3 farklı değer alır.

2. Sayıların Sınıflandırılması 2.2. Tam Sayılar Tam sayılar kümesi Z harfi ile gösterilir. Z = {…, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, …} kümesinin elemanlarının her biri birer tam sayıdır. Tam sayılar kümesi; negatif tam sayılar, pozitif tam sayılar ve sıfırın birleşim kümesine eşittir. Negatif tam sayılar: 𝑍 − = {…, –2, –1} Pozitif tam sayılar: 𝑍 + = {1, 2, …} Buna gore, Z = 𝒁 − ∪ 𝒁 + ∪ {0} dır. Uyarı : Sıfır bir tam sayıdır, ancak pozitif veya negatif değildir.

2. Sayıların Sınıflandırılması 2.2. Tam Sayılar Örnek Soru 1: a ile b tam sayı olmak üzere; b ∈ 𝒁 + ve 𝐛= 𝟐𝐚−𝟓 𝐚 olduğuna göre, kaç farklı a sayısı vardır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

2. Sayıların Sınıflandırılması 2.2. Tam Sayılar Örnek Soru 1 Çözüm: 𝐛= 2𝑎−5 𝑎 = 2𝑎 𝑎 − 5 𝑎 =2− 5 𝑎 a=1 için b = 2− 5 1 = 2-5=-3 ∉ 𝒁 + a=5 için b = 2− 5 5 = 2-1=1 ∈ 𝒁 + a=-1 için b = 2− 5 −1 = 2+5=7 ∈ 𝒁 + a=-5 için b = 2− 5 −5 = 2+1=3 ∈ 𝒁 + olduğundan 3 farklı a sayısı vardır.

2. Sayıların Sınıflandırılması 2.2. Tam Sayılar Örnek Soru 2: Rakamları farklı üç basamaklı en büyük negatif tam sayı ile iki basamaklı rakamları farklı en küçük tam sayının toplamı kaçtır? A) –200 B) –201 C) –202 D) –203 E) –204 Çözüm: (–102) + (–98) = –200 olur.

2. Sayıların Sınıflandırılması 2.2. Tam Sayılar Örnek Soru 3: a, b ve c negatif tam sayı olmak üzere, 2a = 3b ve 4b = 5c olduğuna göre, a + b + c toplamının en büyük değeri kaçtır? A) –20 B) –23 C) –27 D) –33 E) –42

2. Sayıların Sınıflandırılması 2.2. Tam Sayılar Örnek Soru 3 Çözüm: 2a = 3b ve 4b = 5c olduğundan, 8a = 12b = 15c olur. Burada a = –15, b = –10 ve c = –8 değerini aldığında a + b + c toplamı en çok: (–15) + (–10) + (–8) = –33 bulunur.

2.2 Tam Sayı Çeşitleri 2.2.1. Çift ve Tek Sayılar Birler basamağı {0, 2, 4, 6, 8} rakamlarından biri olan tam sayılara çift sayı, {1, 3, 5, 7, 9} rakamlarından biri olan sayılara tek sayı denir. Ç çift bir sayıyı, T tek bir sayıyı göstermek üzere; Ç ± Ç = Ç Ç.Ç = Ç Ç 𝑛 = Ç (n ∈ N+) T ± T = Ç T.T = T 𝑇 𝑛 = T (n ∈ N+) Ç ± T = T Ç.T = Ç Örnek Soru 1 : Aşağıdaki sayıların hangisi bir tek sayıdır? A) 2009 4 – 1979 B) 9 23 + 13 9 C) 7. 4 3 D) 2 8 + 3 9 + 5 10 E) 5( 4 5 – 5 4 )

2.2 Tam Sayı Çeşitleri 2.2.1. Çift ve Tek Sayılar Örnek Soru Çözüm 1 : A) 2009 4 → T ve 1979 → T ⇒ T – T = Ç B) 9 23 → T ve 13 9 → T ⇒ T + T = Ç C) 7 → T ve 4 3 → Ç ⇒ T.Ç= Ç D) 2 8 → Ç, 3 9 → T ve 5 10 → T ⇒ Ç+ T + T = Ç E) 5 → T, 4 5 → Ç, 5 4 → T ⇒ T(Ç – T)⇒ T.T = T olur.

2.2 Tam Sayı Çeşitleri 2.2.1. Çift ve Tek Sayılar Örnek Soru 2 : a, b ve c birer tam sayı olmak üzere, 3(a.b) + 5a = 4c + 1 olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) a çift, b tek sayıdır. B) a ve b tek sayıdır. C) a ve b çift sayıdır. D) a tek, b çift sayıdır. E) a + b çift sayıdır.

2.2 Tam Sayı Çeşitleri 2.2.1. Çift ve Tek Sayılar Örnek Soru Çözüm 2 : 3.a.b + 5a = 4c + 1 ⇒ a(3b + 5) = 4c + 1 olur. 4c + 1 daima tek sayı olduğundan, a ve (3b + 5) sayılarının her ikisinin de tek olması gerekir. 3b + 5 tek sayı ise b cift sayıdır. Buna gore, a tek, b çift sayı olmalıdır.

2.2 Tam Sayı Çeşitleri 2.2.2. Pozitif ve Negatif Sayılar Sayı doğrusu üzerinde sıfırın sağında kalan sayılara pozitif sayılar, solunda kalan sayılara negatif sayılar denir. (+) pozitif bir sayıyı, (–) negatif bir sayıyı ve n bir tam sayıyı göstermek üzere, (+) . (+) = (+) (–) . (–) = (+) (–) . (+) = (–) (+) . (–) = (–) olur. (+) (+) = + , (−) (−) =(+), (+) (−) =(−), (−) (+) =(−) (+) n =(+), (−) 2n =(+), (−) 2n−1 =(-)

2.2 Tam Sayı Çeşitleri 2.2.2. Pozitif ve Negatif Sayılar İşlem önceliği ; Üslü Nicelikler Parantez İçi Çarpma ve Bölme Toplama ve Çıkarma Not : Aynı öncelikli işlemler varsa soldan sağa doğru işlem yapılır.

2.2 Tam Sayı Çeşitleri 2.2.2. Pozitif ve Negatif Sayılar Örnek Soru 1 : 9 + 6 : (–3) – [–7 – (–2 + 1)] işleminin sonucu kaçtır? A) –6 B) –3 C) 0 D) 6 E) 13

2.2 Tam Sayı Çeşitleri 2.2.2. Pozitif ve Negatif Sayılar Örnek Soru Çözüm 1 : 9 + 6 : (–3) – [–7 – (–2 + 1)] = 9 + 6 : (–3) – (–7 + 1) = 9 + 6 : (–3) + 6 = 9 -2+6 =7+6 =13

2.2 Tam Sayı Çeşitleri 2.2.2. Pozitif ve Negatif Sayılar Örnek Soru 2 : –2 – 24 : [6 + 3.1 – 3:1] – 5 işleminin sonucu kaçtır? A) –11 B) –9 C) –7 D) –5 E) –4

2.2 Tam Sayı Çeşitleri 2.2.2. Pozitif ve Negatif Sayılar Örnek Soru Çözüm 2 : –2 – 24 : [6 + 3.1 – 3:1] – 5 = –2 – 24 : (6 + 3 – 3) – 5 = –2 – 24 : 6 – 5 = –2 – 4 – 5 = – 6 – 5 = –11

2.2 Tam Sayı Çeşitleri 2.2.2. Pozitif ve Negatif Sayılar Örnek Soru 3 : 18 – [8 + (–19 : (–1))] : (–9) işleminin sonucu kaçtır? A) 15 B) 18 C) 21 D) 24 E) 27

2.2 Tam Sayı Çeşitleri 2.2.2. Pozitif ve Negatif Sayılar Örnek Soru Çözüm 3 : 18 – [8 + (–19 : (–1))] : (–9) = 18 - [8 + 19] : (-9) = 18 – 27 : (-9) = 18 + 3 = 21

2.2 Tam Sayı Çeşitleri 2.2.3. Ardışık Sayılar Belli bir kurala göre aynı miktarda artan veya azalan sayı dizilerine ardışık sayılar denir. n bir tam sayı olmak üzere; Ardışık tam sayılar n, n + 1, n + 2, … Ardışık çift sayılar 2n, 2n + 2, 2n + 4, … Ardışık tek sayılar 2n – 1, 2n + 1, 2n + 3, … 5 in katı olan a rdışık sayılar 5n, 5n + 5, 5n + 10, … şeklinde gösterilebilir.

2.2 Tam Sayı Çeşitleri 𝑆𝑜𝑛 𝑇𝑒𝑟𝑖𝑚−İ𝑙𝑘 𝑇𝑒𝑟𝑖𝑚 𝐴𝑟𝑡𝚤ş 𝑀𝑖𝑘𝑡𝑎𝑟𝚤 + 1 2.2.3. Ardışık Sayılar Ardışık sayılar dizisinin terim sayısı, 𝑆𝑜𝑛 𝑇𝑒𝑟𝑖𝑚−İ𝑙𝑘 𝑇𝑒𝑟𝑖𝑚 𝐴𝑟𝑡𝚤ş 𝑀𝑖𝑘𝑡𝑎𝑟𝚤 + 1 Örnek Soru : 33, 37, 41, … , 97 dizisinin kac terimi vardır? 15 B) 16 C) 17 D) 18 E) 19 𝑆𝑜𝑛 𝑇𝑒𝑟𝑖𝑚−İ𝑙𝑘 𝑇𝑒𝑟𝑖𝑚 𝐴𝑟𝑡𝚤ş 𝑀𝑖𝑘𝑡𝑎𝑟𝚤 + 1  97−33 4 + 1 = 17

2.2 Tam Sayı Çeşitleri 2.2.3. Ardışık Sayılar Sonlu ardışık pozitif tam sayıların toplamı T olsun. T = (Terim Sayısı). ( 𝑆𝑜𝑛 𝑡𝑒𝑟𝑖𝑚+İ𝑙𝑘 𝑡𝑒𝑟𝑖𝑚 2 ) Örnek Soru : 4 + 7 + 10 + … + 28 toplamının sonucu kaçtır? 124 B) 130 C) 134 D) 140 E) 144 T= ( 𝑆𝑜𝑛 𝑇𝑒𝑟𝑖𝑚−İ𝑙𝑘 𝑇𝑒𝑟𝑖𝑚 𝐴𝑟𝑡𝚤ş 𝑀𝑖𝑘𝑡𝑎𝑟𝚤 + 1 ) . ( 𝑆𝑜𝑛 𝑡𝑒𝑟𝑖𝑚+İ𝑙𝑘 𝑡𝑒𝑟𝑖𝑚 2 ) = ( 28−4 3 + 1 ) . ( 28+4 2 ) = 9.16 = 144

2.2 Tam Sayı Çeşitleri 2.2.3. Ardışık Sayılar Örnek Soru 1 : Ardışık üç pozitif çift sayının toplamı 54 tür. Bu sayıların en büyüğü kaçtır? A) 16 B) 18 C) 20 D) 22 E) 24

2.2 Tam Sayı Çeşitleri 2.2.3. Ardışık Sayılar Örnek Soru Çözüm 1 : En küçük sayı 2n olsun. 2n + (2n + 2) + (2n + 4) = 54 6n + 6 = 54 6n = 48 ⇒ n = 8 olduğundan en büyük, 2n+4 = 16 + 4 = 20 bulunur.

2.2 Tam Sayı Çeşitleri 2.2.3. Ardışık Sayılar Örnek Soru 2 : (a + 5) ve (2a – 3) ardışık iki tek sayı olduğuna göre, a nın alabileceği değerlerin toplamı kactır? A) 15 B) 16 C) 17 D) 18 E) 19

2.2 Tam Sayı Çeşitleri 2.2.3. Ardışık Sayılar Örnek Soru Çözüm 2 : Ardışık iki tek sayı arasındaki fark 2 olduğundan; (a + 5) – (2a – 3) = 2 veya (2a – 3) – (a + 5) = 2 olmalıdır. (a + 5) – (2a – 3) = 2 ⇒ a + 5 – 2a + 3 = 2 ⇒ a = 6 (2a – 3) – (a + 5) = 2 ⇒ 2a – 3 – a – 5 = 2 ⇒ a = 10 olduğundan, a nın alabileceği değerlerin toplamı: 6 + 10 = 16 bulunur.

3. Faktöriyel Kavramı 1 den n ye kadar olan doğal sayıların çarpımına n faktöriyel denir ve n! şeklinde gösterilir. n! = n.(n – 1).(n – 2). …… 0! = 1 olarak tanımlanır. 1! = 1 2! = 2.1 = 2 3! = 3.2.1 = 6 4! = 4.3.2.1 = 24 n! = n(n – 1)! 6! = 6.5.4.3.2.1 olarak yazılabildiği gibi 6! = 6.5! veya 6! = 6.5.4! olarak da yazılabilir.

3. Faktöriyel Kavramı Örnek Soru 1 : 14!−13! 12!+11! işleminin sonucu kaçtır? A) 126 B) 132 C) 144 D) 152 E) 156

3. Faktöriyel Kavramı Örnek Soru Çözüm 1 : 14!−13! 12!+11! = 14.13!−13! 12.11!+11! = 13!(14−1) 11!(12+1) = 13!.13 11!.13 = 13! 11! = 13.12.11! 11! = 13.12 = 156

3. Faktöriyel Kavramı Örnek Soru 2 : 0! + 1! + 2! + 3! + … + 28! toplamının birler basamağındaki rakam kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

3. Faktöriyel Kavramı Örnek Soru Çözüm 1 : Toplamın birler basamağı sorulduğundan birler basamağı “0” olan sayı bulunduktan sonra diğerlerine bakmaya gerek yoktur. Cunku diğer sayıların da birler basamağı sıfır olacaktır. 0! = 1 1! = 1 2! = 2 3! = 6 4! = 24 5! = 120 6! = 720 1 + 1 + 2 + 6 + 24 = 34 Elde edilen toplamın birler basamağı 4 olduğundan sorulan toplamın da birler basamağı 4 tür.

4. KAYNAKLAR 1. " Sosyal Bilimler MYO için Temel Matematik" , Prof. Dr. Mustafa SEVÜKTEKİN, Dora Basım Yayın Dağıtım, 2015 2. " YGS Temel Matematik", Aydın Basın Yayın Matbaa Sanayi ve Ticaret Ltd. Şti., 2012 3. " ÖSS Matematik ", Mustafa YAĞCI, 2009 4. " Temel Matematik", Prof.Dr. Mahmut KARTAL, Nobel Yayın Dağıtım, 2009 5. " Temel Matematik ", Doç.Dr. İrfan ERTUĞRUL, Ekin Basım Yayın Dağıtım, 2012