İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER Öğr. Gör. Mehmet Ali ZENGİN

KONU BAŞLIKLARI İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER 1.1. Tanım İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLERİN ÇÖZÜMÜ 2.1. Çarpanlara Ayırarak Denklemi Çözme 2.2. Diskriminant (Δ) Yöntemiyle Denklemi Çözme İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLERİN KÖKLERİ İLE KATSAYILARI ARASINDAKİ BAĞINTILAR KÖKLERİ VERİLEN İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMİ YAZMAK

1. İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER Tanım: a, b, c reel sayı ve a≠0 olmak üzere, ax2 + bx + c = 0 ifadesine ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Denklemi sağlayan x değerlerine de denklemin kökleri denir.

Örnek 1 4.x8-m + (m+2) x + 6 = 0 denklemi ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem olduğuna göre, m kaçtır?

Çözüm 1 8 - m = 2 olması gerektiğinden m = 6 dır.

2. İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLERİN ÇÖZÜMÜ 2.1. Çarpanlara Ayırarak Denklemi Çözme: ax2 + bx + c = 0 ifadesi çarpanlarına ayrılıyorsa her çarpan sıfıra eşitle­nerek kökler bulunur.

Örnek 2 x2 - 25 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulalım.

Çözüm 2 x2 - 25 = 0 => (x - 5). (x + 5) = 0 x-5 = 0 veya x + 5 = 0=>x = 5 veya x = -5 olduğundan Ç .K = {-5, 5} bulunur.

Örnek 3 3x2 + x - 10 = 0 denkleminin küçük kökü kaçtır?

Çözüm 3 3x2 + x -10 = 0 => (3x - 5). (x + 2) = 0 3x - 5 = 0 veya x + 2 = 0 x = 5 3 veya x = -2 olduğundan küçük kök x = -2 bulunur.

Örnek 4 5x+1 = 7 − x denkleminin çözüm kümesi nedir?

Çözüm 4 Her iki tarafında karesini alalım, 5x+1 2 = 7 − x 2 => 5x+1 = 49 - 14x + x2 x2- 19x + 48 = 0 (x-3) (x-16) = 0 => x = 3 veya x = 16 olur. 5x+1 = 7 − x de bulunan değerleri yerine yazar­sak x = 3 sağlar x = 16 sağlamaz. Ç.K={3} tür.

Örnek 5 x2 - |x| - 6 = 0

Çözüm 5 x2 = |x|2 olduğundan Buradan |x|2 - |x| - 6 = 0 => (|x| - 3)(|x| + 2) = 0 => |x| = 3 veya |x| = -2 => |x| = 3 => x = ± 3 |x| = -2 çözüm yoktur. Buradan Ç.K= {-3, 3} tür.

Örnek 6 x 2 −4x+3 x 2 +x−2 =0 denkleminin çözüm kümesi nedir?

Çözüm 6 x 2 −4x+3 x 2 +x−2 =0 şeklindeki ifadelerde x 2 −4x+3=0 ve x 2 +x−2≠0 olmalıdır. (x-1) (x-3) = 0 ve (x + 2) (x- 1) ≠0 x = 1 veya x = 3 ve x ≠ -2 veya x ≠ 1 olur. Sonuç olarak Ç.K = {3} olur.

2. İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLERİN ÇÖZÜMÜ 2.1. Diskriminant (Δ) Yöntemiyle Denklemi Çözme: ax2 + bx + c = 0 denklemi çarpanlarına kolayca ayrılamıyorsa çözüm kümesini bul­mak için diskriminant yöntemiyle kökler bulunur. ax2 + bx + c = 0 olmak üzere, b2 - 4ac sayısına diskriminant denir ve Δ (Delta) ile gös­terilir. Δ = b2- 4ac dir.

2. İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLERİN ÇÖZÜMÜ Δ>0 ise denklemin iki farklı reel kökü vardır. Bu kökler x 1 = −b+ ∆ 2a ve x 2 = −b− ∆ 2a olur. Δ = 0 ise denklemin eşit, çakışık, çift katlı iki reel kökü vardır. Bu kökler x1= x2=− b 2a Aynı zamanda bu denklem tam karedir. Yani (mx + n)2 = 0 şeklindedir. Δ < 0 ise denklemin reel kökü yoktur. Kökler kar­maşık sayıdır.

Örnek 7 3x2 + 2x + 1 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulalım.

Çözüm 7 Δ = b2 - 4ac = (2)2 - 4.3.1 = -8 < 0 olduğundan reel kök yoktur. Ç.K = { } veya Ç.K = Ø dir.

Örnek 8 2x2 + 4x + m-1 = 0 denkleminin birbirinden farklı iki reel kökünün olması için, m ne olmalıdır?

Çözüm 8 Δ > 0 olmalı Δ = b2 - 4ac = 16 - 4.2(m -1) > 0 => 16-8(m-1)> 2-m + 1>0=> 3>m olmalıdır.

3. İkinci Dereceden Denklemlerin Kökleriyle Katsayıları Arasındaki Bağıntılar: ax2 + bx + c = 0 denkleminin kökleri 𝑥 1 𝑣𝑒 𝑥 2 olsun 𝑥 1 + 𝑥 2 =− 𝑏 𝑎 𝑥 1 ∙ 𝑥 2 = 𝑐 𝑎 𝑥 1 − 𝑥 2 = ∆ 𝑎 Kökler simetrik ise (a.c<0, b=0 olmalıdır.) x1+x2=0 olur.

Örnek 9 x2-7x + m + 1 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. x1+x2+2x1. x2= 10 olduğuna göre, m kaçtır?

Çözüm 9 x1+x2= 7 ve x1.x2=m+1 7+2(m+1)=10 ise m=1/2 dir.

Örnek 10 3x2 - 4(m -1)x + m-1 = 0 denkleminin köklerinin aritmetik ortalaması 6 olduğuna göre, kökler çarpımı kaçtır?

Çözüm 10 𝑥 1 + 𝑥 2 2 =6 olmalıdır. 4(𝑚−1) 2 =6 ise m=10 olur. 𝑥 1 ∙ 𝑥 2 = 𝑐 𝑎 = 9 3 =3 olur.

Not: ax2 + bx + c = 0 denkleminde a + b + c = 0 olduğunda kökler x1 = 1 ve x2 = c / a olur. Not: ax2 + bx + c = 0 denkleminde a - b + c = 0 olduğunda kökler x1 = -1 ve x2 = -c / a olur. Not: ax2 + bx + c = 0 dx2 + ex + f = 0 denklemlerinin çözüm kümeleri aynı ise a d = b e = c f dir.

Örnek 11 x2 + ax + 5 = 0 2x2 + bx + c = 0 denklemlerinin kökleri aynı ise b a +c toplamının sonucu kaçtır?

Çözüm 11 1 2 = a b = 5 c ⇒ 𝑏 𝑎 =2 c=10 bulunur. b a +c = 2 + 10 = 12 olur.

4. Kökleri Verilen İkinci Dereceden Denklemi Yazmak Kökleri x1 ve x2 olan ikinci dereceden bir bilinmeyenli den­klem genel olarak (x - x1). (x - x2) = 0 şeklinde yazılır. Buradan x2 - (x1 + x2)x + x1 .x2 = 0 olur. Yani denklemi yazmak için; kökler toplamını ve kökler çarpımın bulmak yeterli olacaktır.

Örnek 12 Kökleri -4 ve 9 olan ikinci dereceden denklemi yazınız.

Çözüm 12 x1=-4 ve x2=9 ise x1+x2=5 ve x1.x2=-36 x2-5x-36=0

5. KAYNAKLAR 1. " Sosyal Bilimler MYO için Temel Matematik" , Prof. Dr. Mustafa SEVÜKTEKİN, Dora Basım Yayın Dağıtım, 2015 2. " YGS Temel Matematik", Aydın Basın Yayın Matbaa Sanayi ve Ticaret Ltd. Şti., 2012 3. " ÖSS Matematik ", Mustafa YAĞCI, 2009 4. " Temel Matematik", Prof.Dr. Mahmut KARTAL, Nobel Yayın Dağıtım, 2009 5. " Temel Matematik ", Doç.Dr. İrfan ERTUĞRUL, Ekin Basım Yayın Dağıtım, 2012