Öğr. Gör. Mehmet Ali ZENGİN ÜSLÜ SAYILAR Öğr. Gör. Mehmet Ali ZENGİN

KONU BAŞLIKLARI ÜSLÜ SAYININ TANIMI 2. ÜSLÜ SAYININ ÖZELLİKLERİ ÜSLÜ SAYILARDA İŞLEMLER 3.1. Çarpma İşlemi 3.2. Bölme İşlemi 3.3. Toplama – Çıkarma İşlemi ÜSLÜ DENKLEMLER 4.1. 10’un Kuvvetleri

1. Üslü Sayının Tanımı a ∈ R ve n ∈ Z+ olmak üzere n tane a nın çarpımı­na a nın n. kuvveti denir. a.a.a……….a = 𝑎 𝑛 n tane biçiminde yazılır. Burada a ya taban n ye üs (derece, kuvvet) ve 𝑎 𝑛 ye üslü sayı adı verilir. Uyarı : a + a + ... + a = n.a ≠ 𝑎 𝑛 olduğuna dikkat ediniz! Örnek: 5 + 5 + 5 = 3.5 = 15 5 . 5 . 5 = 5 3 = 125

2. Üslü Sayıların Özellikleri a ≠ 0 olmak üzere 𝑎 0 = 1 dir. Örnek : 5 0 = 1, (−3) 0 = 1, (0,0007)° = 1 ( 7 8 +234 2 ) 0 = 1 Uyarı : 00 ve (∞) 0 belirsiz ifadelerdir. Örnek Soru 1 : −1 5 2𝑥−10 = 1 olduğuna göre x kaçtır ? A) 0 B)1 C)2 D)3 E) 5

2. Üslü Sayıların Özellikleri Örnek Soru Çözüm 1 : −1 5 2𝑥−10 = 1 olduğuna göre değerin üssü 0 olmalıdır. Bu doğrultuda ; 2x-10 = 0 2x = 10 x = 5 olarak bulunur.

2. Üslü Sayıların Özellikleri 2. n ∈ Z+ ve x ≠ 0 için 𝑥 −𝑛 = 1 𝑥 𝑛 biçiminde tanımlanır. Örnek : 3 −2 = 1 9 , 2 3 −3 = 27 8 olarak bulunur. 3. a ≠ 0 ve n ∈ Z olmak üzere, (−𝑎) 2𝑛 = 𝑎 2𝑛 (−𝑎) 2𝑛−1 = −𝑎 2𝑛 Uyarı : (−𝑎) 2𝑛 ≠ −𝑎 2𝑛 (−2) 4 = 16 −2 4 = -16

2. Üslü Sayıların Özellikleri 4. 𝑎 𝑛 𝑚 = 𝑎 𝑚 𝑛 = 𝑎 𝑚.𝑛 dir. Örnek : 8 −2 = 2 3 −2 = 2 −6 dır. Uyarı: a ≠ 1 olmak üzere, 𝒂 𝒎 𝒏 ≠ 𝒂 𝒎 𝒏 dir. 2 2 5 = 2 5 2 = 2 2.5 = 2 10 2 2 5 = 2 32 olduğuna göre, 2 2 5 ≠ 2 2 5 olduğuna dikkat ediniz.

2. Üslü Sayıların Özellikleri Örnek Soru 2: 5 𝑛 = a olduğuna göre, 125 𝑛 ifadesinin a türünden değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) 5a B) a 5 C) a 3 D) a 2 E) 3a

2. Üslü Sayıların Özellikleri Örnek Soru Çözüm 2: 5 𝑛 = a olduğuna göre, 125 𝑛 = 5 3 𝑛 = 5 𝑛 3 = 𝑎 3 A) 5a B) a 5 C) 𝐚 𝟑 D) a 2 E) 3a

3. Üslü Sayılarda İşlemler 3.1. Çarpma İşlemi a) Tabanlar aynı ise üsler toplanır. 𝐚 𝒏 . 𝐚 𝒎 = 𝐚 𝐧+𝐦 b) Tabanlar farklı, üsler aynı ise ortak kuvvet parantezine alınır. 𝐚 𝒏 . 𝒃 𝒏 = 𝒂.𝒃 𝒏 Örnek: 𝟓 𝟑 . 𝟓 𝟐 . 𝟑 𝟓 = 𝟓 𝟑+𝟐 . 𝟑 𝟓 = 𝟓 𝟓 . 𝟑 𝟓 = 𝟓.𝟑 𝟓 = 𝟏𝟓 𝟓

3. Üslü Sayılarda İşlemler Örnek Soru 3: −𝑎 2 5 . −𝑎 −3 2 . −𝒂 𝟔 . −𝑎 𝟒 −𝟑 İşleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A) – 𝐚 −𝟐 B) – 𝐚 𝟐 C) – 𝐚 −𝟑 D) 𝐚 𝟐 E) 𝐚 −𝟐

3. Üslü Sayılarda İşlemler Örnek Soru Çözüm 3: −𝑎 2 5 . −𝑎 −3 2 . −𝒂 𝟔 .. −𝑎 𝟒 −𝟑 = −𝒂 𝟏𝟎 . 𝒂 −𝟔 . −𝒂 𝟔 . −𝒂 −𝟏𝟐 . = – 𝐚 𝟏𝟎−𝟔+𝟔−𝟏𝟐 = – 𝐚 −𝟐

3. Üslü Sayılarda İşlemler Örnek Soru 4: 𝟑 𝒎 =2 olduğuna göre ; 𝟑 𝟐𝐦+𝟏 ifadesinin değeri kaçtır? A) 5 B) 9 C) 12 D)15 E) 18

3. Üslü Sayılarda İşlemler Örnek Soru 4: 𝟑 𝒎 =2 olduğuna göre ; 𝟑 𝟐𝐦+𝟏 = 𝟑 𝟐𝐦 .3 = 𝟑 𝒎 𝟐 .3 = 𝟐 𝟐 .𝟑 = 12 A) 5 B) 9 C) 12 D)15 E) 18

3. Üslü Sayılarda İşlemler Örnek Soru 5: 2 a+1 =m , 3 a−2 =n olduğuna göre ; 72 a+1 sayısının m ve n cinsinden değeri aşağıdakilerden hangisidir? A)72m.n B) 81 𝒎 𝟑 . 𝒏 𝟐 C) 729 𝒎 𝟑 . 𝒏 𝟐 D) 29 𝒎 𝟐 . 𝒏 𝟑 E) 18

3. Üslü Sayılarda İşlemler Örnek Soru 5: 2 a+1 =m , 3 a−2 =n olduğuna göre ; 72 a+1 sayısının m ve n cinsinden değeri aşağıdakilerden hangisidir? A)72m.n B) 81 𝒎 𝟑 . 𝒏 𝟐 C) 729 𝒎 𝟑 . 𝒏 𝟐 D) 29 𝒎 𝟐 . 𝒏 𝟑 E) 18

3. Üslü Sayılarda İşlemler Örnek Soru Çözüm 5: 2 a+1 = 2 a .2 = 𝟐 𝐚 = 𝐦 𝟐 , 3 a−2 = 3 a . 1 9 = 𝟑 𝒂 = 9n olarak bulunur. 72 a+1 = 72 a .72 = 2 3 . 𝟑 2 𝑎 .72 = 2 𝑎 3 . 𝟑 𝑎 2 .72 = 𝐦 𝟐 3 . 9n 2 .72 = 729 𝒎 𝟑 . 𝒏 𝟐

3. Üslü Sayılarda İşlemler 3.2. Bölme İşlemi a) Tabanlar aynı ise 𝒂 𝒎 𝒂 𝒏 = 𝒂 𝒎−𝒏 b) Tabanlar farklı, üsler aynı ise ; 𝒂 𝒎 𝒃 𝒎 = 𝒂 𝒃 𝒎 Örnek: 𝒂 𝟑𝒙−𝟒 𝒂 𝒙−𝟐 = 𝒂 𝟑𝒙−𝟒−𝒙+𝟐 = 𝒂 𝟐𝒙−𝟐 𝟗 𝟑 𝟖 𝟐 = 𝟑 𝟔 𝟐 𝟔 = 𝟑 𝟐 𝟔

3. Üslü Sayılarda İşlemler 3.3. Toplama - Çıkarma İşlemleri Tabanları ve üsleri aynı olan üslü ifadeler toplanır veya çıkarılırken, işlem katsayılar arasında yapılır. Ortak olan üslü ifade bir kez yazılır. Örnek: 5. 𝟐 𝒏 - 7. 𝟐 𝒏 +4. 𝟐 𝒏 = (5-7+4) . 𝟐 𝒏 =2. 𝟐 𝒏 Uyarı : x ≠ y iken 𝒙 𝒏 + 𝒚 𝒏 toplanamaz.

3. Üslü Sayılarda İşlemler Örnek Soru 6: 𝟑 𝟏𝟐 + 𝟗 𝟔 + 𝟐𝟕 𝟒 𝟐 𝟑 . 𝟒 𝟐 . 𝟖 𝟐 İşleminin sonucu kaçtır ? A) 3 2 B) 2 3 12 C) 3 2 13 D) 3. 3 2 12 E) 3 2 14

3. Üslü Sayılarda İşlemler Örnek Soru Çözüm 6: 𝟑 𝟏𝟐 + 𝟗 𝟔 + 𝟐𝟕 𝟒 𝟐 𝟑 . 𝟒 𝟐 . 𝟖 𝟐 İşleminin sonucu kaçtır ? = 𝟑 𝟏𝟐 + 𝟑 𝟐 𝟔 + 𝟑 𝟑 𝟒 𝟐 𝟑 . 𝟐 𝟐 𝟐 . 𝟐 𝟑 𝟐 = 𝟑 𝟏𝟐 + 𝟑 𝟏𝟐 + 𝟑 𝟏𝟐 𝟐 𝟑 . 𝟐 𝟒 . 𝟐 𝟔 = 𝟑. 𝟑 𝟏𝟐 𝟐 𝟏𝟑 = 𝟑 𝟏𝟑 𝟐 𝟏𝟑 = 𝟑 𝟐 𝟏𝟑

4. Üslü Denklemler a ≠ 0, a ≠ -1 ve a ≠ 1 olmak üzere, an = am ⇒ n = m dir. 2. n ∈ Z olmak üzere, a2n-1 = b2n-1 ⇒ a = b dir. 3. n ∈ Z, n ≠ 0 olmak üzere, a2n = b2n ⇒|a| = |b| dir. 4. a, n ∈ R olmak üzere, an = 1 ifadesi a. a ≠ 0 ve n = 0 için b. a = 1 ve n ∈ R için c. a = -1 ve n çift sayı olduğunda sağlanır.

4. Üslü Denklemler Örnek Soru 7: 𝟏𝟔 𝟑𝒏 = 𝟖 𝟓 olduğuna göre n kaçtır ? A) 3 2 B) 4 3 C) 3 5 D) 5 4 E) 5 6

4. Üslü Denklemler Örnek Soru Çözüm 7: 𝟏𝟔 𝟑𝒏 = 𝟖 𝟓 𝟐 𝟒. (𝟑𝒏) = 𝟐 𝟑. 𝟓 𝟐 𝟏𝟐𝒏 = 𝟐 𝟏𝟓 12n = 15 n= 15 12 = 5 4

4. Üslü Denklemler Örnek Soru 8: x ve y tam sayı olmak üzere, 𝟑 𝒙+𝒚−𝟑 = 𝟕 𝒙−𝒚−𝟓 olduğuna göre, x.y çarpımı kaçtır? A) –15 B) –5 C) –4 D) 3 E) 15

4. Üslü Denklemler Örnek Soru Çözüm 8: x, y ∈ Z için x + y – 3 ve x – y – 5 birer tam sayıdır. 3x + y – 3 = 7x – y – 5 eşitliği x + y – 3 = 0 ve x – y – 5 = 0 iken sağlanacaktır. Buna göre, x + y = 3 + x – y = 5 2x = 8 ⇒ x = 4, y = –1 bulunur. x.y = 4.(–1) = –4 tür.

4. Üslü Denklemler 4.1. 10’un Kuvvetleri 1. n ∈ N+ olmak üzere 10n = 100...0 n tane sıfır 10n sayısının sonunda n tane sıfır rakamı vardır ve sayı (n + 1) basamaklıdır. 2. n ∈ N olmak üzere, 10-n = 0,00 ...01 (n-1) tane sıfır 10-n sayısında virgülün sağında (n - 1) tane sıfır ve n tane rakam vardır.

4. Üslü Denklemler Örnek Soru 9: 𝟕. 𝟓 𝟕 . 𝟖 𝟑 sayısı kaç basamaklıdır?

4. Üslü Denklemler Örnek Soru 9 Çözüm: 𝟕. 𝟓 𝟕 . 𝟖 𝟑 = 𝟕. 𝟓 𝟕 . 𝟐 𝟗 = 𝟕. 𝟓 𝟕 . 𝟐 𝟕 . 𝟐 𝟐 = 7.4. 𝟓 𝟕 . 𝟐 𝟕 = 28. 𝟏𝟎 𝟕 2 bas. 7 bas. = 2+7 = 9 basamaklıdır.

5. KAYNAKLAR 1. " Sosyal Bilimler MYO için Temel Matematik" , Prof. Dr. Mustafa SEVÜKTEKİN, Dora Basım Yayın Dağıtım, 2015 2. " YGS Temel Matematik", Aydın Basın Yayın Matbaa Sanayi ve Ticaret Ltd. Şti., 2012 3. " ÖSS Matematik ", Mustafa YAĞCI, 2009 4. " Temel Matematik", Prof.Dr. Mahmut KARTAL, Nobel Yayın Dağıtım, 2009 5. " Temel Matematik ", Doç.Dr. İrfan ERTUĞRUL, Ekin Basım Yayın Dağıtım, 2012