Öğr. Gör. Mehmet Ali ZENGİN RASYONEL SAYILAR Öğr. Gör. Mehmet Ali ZENGİN

KONU BAŞLIKLARI 2.1. Toplama- Çıkartma 1. RASYONEL SAYILAR 2. RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER 2.1. Toplama- Çıkartma 2.2. Çarpma- Bölme 3. RASYONEL SAYILARDA SIRALAMA 3.1. Pozitif Rasyonel Sayılarda Sıralama 3.2. Negatif Rasyonel Sayılarda Sıralama 3.3. Arada Olma 4. ÖRNEKLER

1. Rasyonel Sayılar 𝑎 𝑏 Kesir Çizgisi a ile b birer tam sayı ve b ≠ 0 olmak üzere, 𝑎 𝑏 biçimindeki sayılara rasyonel sayı denir. Rasyonel sayılar kümesi Q ile gösterilir. Q = { 𝑎 𝑏 I a b ∈ Z, b ≠ 0 } 𝑎 𝑏 kesrinde a ya pay, b ye payda denir. Pay 𝑎 𝑏 Kesir Çizgisi Payda Uyarı: Paydası sıfırdan farklı olmak üzere iki tam sayının birbirine oranı rasyonel sayıdır. a, b ∈ Z ve b ≠ 0 olmak üzere, 𝑎 𝑏 ifadesi bir kesirdir. 𝑂 𝐴 =0, (𝐴 ≠ 0 ise) , 𝐴 0 =𝑇𝑎𝑛𝚤𝑚𝑠𝚤𝑧, (𝐴 ≠ 0 ise), 𝑂 0 =𝐵𝑒𝑙𝑖𝑟𝑠𝑖𝑧 𝑖𝑓𝑎𝑑𝑒𝑑𝑖𝑟.

1. Rasyonel Sayılar 1.1.Tam Sayıların Rasyonel Sayı Olarak Yazılması Her tam sayı aynı zamanda bir rasyonel sayıdır. -2 , 9 , 7 , ve 0 sayılarını rasyonel sayı olarak yazalım −2= −2 1 9= 9 1 7= 7 1 0= 0 1 Buradan da anlaşılacağı gibi her tamsayı paydası 1 olan bir rasyonel sayıdır.

Şekilde verilen bölgeleri gösteren sayılar denktir. Yani ; 1. Rasyonel Sayılar 1.2. Rasyonel Sayılar Kümesi Şekilde verilen bölgeleri gösteren sayılar denktir. Yani ;

1. Rasyonel Sayılar 1.3. Kesir Çeşitleri Basit Kesir İşaretine bakılmaksızın payı paydasından küçük olan kesirlere basit kesir denir. 1 3 , −11 25 , 5 7 , 9 33 , Bileşik Kesir İşaretine bakılmaksızın payı paydasından büyük veya eşit olan kesirlere bileşik kesir denir. 14 3 , −31 25 , 25 7 , 33 33 ,

1. Rasyonel Sayılar 1.3. Kesir Çeşitleri Tam Sayılı Kesir Bir tam sayı ile birlikte yazılan kesirlerdir. Bileşik kesir aynı zamanda bir tam sayılı kesirdir. 4 1 3 , 6 5 7 , 8 9 33 , Uyarı: a, b, c ∈ Z olmak uzere; a 𝑏 𝑐 gösteriminin anlamı ; a 𝑏 𝑐 = a+ 𝑏 𝑐 = 𝑎.𝑐+𝑏 𝑐 dir.

2. Rasyonel Sayılarda İşlemler 2.1. Toplama Çıkartma I. işlemdeki kesirlerin paydaları eşit ise hemen işleme başlanır. 𝑎 𝑏 ± 𝑐 𝑏 = 𝑎 ± 𝑐 𝑏 II. işlemdeki kesirlerin paydaları eşit değil ise paydalar eşitlenir. 𝑎 𝑏 ± 𝑐 𝑑 = 𝑎.𝑑 ± 𝑏.𝑐 𝑏.𝑑

2. Rasyonel Sayılarda İşlemler Toplama Çıkartma Örnekleri 2 5 + 3 5 = 2+3 5 = 5 5 = 1 3 7 - 2 3 = 3.3 −(2.7) 3.7 = −5 21

2. Rasyonel Sayılarda İşlemler 2.2. Çarpma- Bölme İşlemleri Çarpma Çarpma işleminde paylar çarpılıp paya, paydalar çar­pılıp paydaya yazılır. 𝑎 𝑏 . 𝑐 𝑑 = 𝑎 . 𝑐 𝑏.𝑑 Bölme Bölme işleminde, birinci kesir (bölünen kesir) olduğu gibi yazılır, ikinci kesir (bölen kesir) ters çevrilerek çarpılır. 𝑎 𝑏 : 𝑐 𝑑 = 𝑎 𝑏 . 𝑑 𝑐 = 𝑎 . 𝑑 𝑏 . 𝑐

2. Rasyonel Sayılarda İşlemler Çarpma Bölme Örnekleri 4 3 . 9 6 = 4.9 3.6 = 36 18 = 2 12 5 : 6 10 = 12 5 . 10 6 = 4

2. Rasyonel Sayılarda İşlemler Örnekleri Soru 1: 1 5 −1 2− 1 5 1 5 +1 işleminin sonucu kaçtır? A)- 6 5 B)- 5 6 C)- 4 9 D) 6 5 E) 5 6

2. Rasyonel Sayılarda İşlemler Örnekleri Soru Çözüm 1: 1 5 −1 2− 1 5 1 5 +1 = 1−5 5 10−1 5 1+5 5 = −4 5 9 5 6 5 = − 36 25 6 5 =- 36 25 . 5 6 =- 6 5

2. Rasyonel Sayılarda İşlemler Örnekleri Soru 2: 2−3 1 3 +2 4 3 −1 işleminin sonucu kaçtır? A)- 7 B)- 4 C)1 D) 4 E) 7

2. Rasyonel Sayılarda İşlemler Örnekleri Soru Çözüm 2: 2−3 1 3 +2 4 3 −1 = −1 1+6 3 4−3 3 = − 7 3 1 3 = − 7 3 . 3 1 = -7

3. Rasyonel Sayılardan Sıralama 3.1. Pozitif Rasyonel Sayılarda Sıralama I. Paydaları eşit olan rasyonel sayılardan payı büyük olan daha büyüktür. Örnek: 𝟐 𝟗 , 𝟓 𝟗 , 𝟒 𝟗 , 𝟏𝟑 𝟗 , 𝟕 𝟗 𝑟𝑎𝑠𝑦𝑜𝑛𝑒𝑙 𝑠𝑎𝑦𝚤𝑙𝑎𝑟𝚤𝑛𝚤 𝑘üçü𝑘𝑡𝑒𝑛 𝑏ü𝑦üğ𝑒 𝑑𝑜ğ𝑟𝑢 𝑠𝚤𝑟𝑎𝑙𝑎𝑦𝚤𝑛𝚤𝑧 𝟐 𝟗 < 𝟒 𝟗 < 𝟓 𝟗 < 𝟕 𝟗 < 𝟏𝟑 𝟗 II. Payları eşit olan rasyonel sayılardan paydası bü­yük olan küçüktür. Örnek: 𝟕 𝟓 , 𝟕 𝟗 , 𝟕 𝟒 , 𝟕 𝟔 , 𝟕 𝟏𝟓 𝑟𝑎𝑠𝑦𝑜𝑛𝑒𝑙 𝑠𝑎𝑦𝚤𝑙𝑎𝑟𝚤𝑛𝚤 𝑘üçü𝑘𝑡𝑒𝑛 𝑏ü𝑦üğ𝑒 𝑑𝑜ğ𝑟𝑢 𝑠𝚤𝑟𝑎𝑙𝑎𝑦𝚤𝑛𝚤𝑧 𝟕 𝟏𝟓 < 𝟕 𝟗 < 𝟕 𝟔 < 𝟕 𝟓 < 𝟕 𝟒

3. Rasyonel Sayılardan Sıralama Örnekleri Soru 3: 𝒂= 𝟏𝟎 𝟏𝟏 , b= 𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟏𝟏 , c= 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝟏𝟏𝟏𝟏 olduğunu göre aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur ? A) c < b < a B) c < a < b C)a<b<c D) a < c < b E) b < c < a

3. Rasyonel Sayılardan Sıralama Örnekleri Soru Çözümü3: a= 𝟏𝟎 𝟏𝟏 = 1000 1100 b= 𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟏𝟏 = 1000 1110 Payı eşit olan kesirlerden, paydası en büyük olan en küçük olduğundan a > b > c sıralaması elde edilir c= 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝟏𝟏𝟏𝟏 = 1000 1111 .

3. Rasyonel Sayılardan Sıralama 3.2. Negatif Rasyonel Sayılarda Sıralama I. Paydaları eşit olan rasyonel sayılardan payı büyük olan daha küçüktür. Örnek: −𝟐 𝟗 , −𝟓 𝟗 , −𝟒 𝟗 , −𝟏𝟑 𝟗 , −𝟕 𝟗 𝑟𝑎𝑠𝑦𝑜𝑛𝑒𝑙 𝑠𝑎𝑦𝚤𝑙𝑎𝑟𝚤𝑛𝚤 𝑘üçü𝑘𝑡𝑒𝑛 𝑏ü𝑦üğ𝑒 𝑑𝑜ğ𝑟𝑢 𝑠𝚤𝑟𝑎𝑙𝑎𝑦𝚤𝑛𝚤𝑧 −𝟏𝟑 𝟗 < −𝟕 𝟗 < −𝟓 𝟗 < −𝟒 𝟗 < −𝟐 𝟗 II. Payları eşit olan rasyonel sayılardan paydası bü­yük olan büyüktür. Örnek: −𝟕 𝟓 , −𝟕 𝟗 , −𝟕 𝟒 , −𝟕 𝟔 , −𝟕 𝟏𝟓 rasyonel sayıları küçükten büyüğe doğru sıralayınız −𝟕 𝟒 < −𝟕 𝟓 < −𝟕 𝟔 < −𝟕 𝟗 < −𝟕 𝟏𝟓

3. Rasyonel Sayılardan Sıralama Örnekleri Soru 4: 𝒂= −𝟓 𝟏𝟐 , b= −𝟕 𝟒 , c= −𝟓 𝟔 olduğunu göre aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur ? A) c < b < a B) c < a < b C)a<b<c D) a < c < b E) b < c < a

3. Rasyonel Sayılardan Sıralama Örnekleri Soru Çözümü3: a= −𝟓 𝟏𝟐 = −5 12 b= −7 4 = −21 12 Paydaları eşit olan rasyonel sayılardan payı büyük olan daha küçüktür olduğundan a >c> b sıralaması elde edilir c= −5 6 = −10 12 .

3. Rasyonel Sayılardan Sıralama 3.3. Arada Olma Herhangi iki rasyonel sayı arasında sonsuz çoklukta rasyonel sayı vardır. Bu özelliğinden dolayı “rasyonel sayılar kümesi yo­ğundur.” denir. x < y ve x ile y birer rasyonel sayı olmak üzere, 𝑥< 𝑥+𝑦 2 <𝑦 şeklinde x ve y rasyonel sayıları arasına başka rasyonel sayılar yerleştirilebilir. 𝒙+𝒚 𝟐 orta terimdir.

3. Rasyonel Sayılardan Sıralama Örnekleri Soru 5: 𝟑 𝟕 < 𝒙 𝟐𝟖 < 𝟓 𝟐 eşitsizliğini sağlayan kaç tane x tam sayısı vardır?

3. Rasyonel Sayılardan Sıralama Örnekleri Soru Çözüm 5: 𝟑 𝟕 < 𝒙 𝟐𝟖 < 𝟓 𝟐  𝟑 𝟕 < 𝒙 𝟐𝟖 < 𝟓 𝟐 == 𝟏𝟐 𝟐𝟖 < 𝒙 𝟐𝟖 < 𝟕𝟎 𝟐𝟖 (4) (14) Buna göre, 12 < x < 70 olduğundan x, 13 ten 69 a ka­dar olan tam sayı değerlerini alır. x, 69 - 13 + 1 = 57 tane tam sayı değeri alır.

4. Çözümsüz Örnekler Örnekleri Soru 1: A= 𝟏 𝟐 + 𝟏 𝟑 B= 𝟏 𝟐 − 𝟏 𝟑 Olmak üzere 𝐴+𝐵 𝐴−𝐵 işleminin sonucu kaçtır? A) 𝟐 𝟑 B) 1 C) 𝟑 𝟐 D) 2 E) 3

4. Çözümsüz Örnekler 1 2 3 5 + 1 1 2 + 1 1 2 işleminin sonucu kaçtır ? Örnekleri Soru 2: 1 2 3 5 + 1 1 2 + 1 1 2 işleminin sonucu kaçtır ? A) 𝟓 𝟐 B) 𝟑 𝟐 C) 𝟏 𝟐 D) 1 E) 𝟏 𝟒

4. Çözümsüz Örnekler Örnekleri Soru 3: «a» bir tam sayı olmak üzere; 4𝑎+5 3𝑎−15 Sayısı tanımsız olduğuna göre, 2a+3 ifadesinin değeri kaçtır? A) 11 B) 13 C) 15 D) 17 E)19

4. Çözümsüz Örnekler Örnekleri Soru 4: 2 5 ile 2 3 rasyonel sayılarının tam ortasındaki rasyonel sayı aşağıdakilerden hangisidir ? A) 𝟓 𝟏𝟓 B) 𝟕 𝟏𝟓 C) 𝟖 𝟏𝟓 D) 1 E) 𝟏 𝟒

4. Çözümsüz Örnekler Örnekleri Soru 5: 1 3 < 2𝑥+1 15 ≤ 3 5 eşitsizliğini sağlayan kaç tane x tamsayısı vardır ? A) 1 B) 2 C) 5 D) 7 E)3

4. Çözümsüz Örnekler Örnekleri Soru 6: 𝟐 𝟑 kesrine denk bir kesrin, payına 2 eklenip paydasından 1 çıkarıldığında kesrin değeri 𝟒 𝟓 oluyor. Buna göre, ilk kesrin pay ve paydasının toplamı kaçtır? A) 10 B) 14 C) 15 D) 30 E)35

4. Çözümsüz Örnekler Örnekleri Soru 7: 1− 1 2 1− 1 3 1− 1 4 …….. 1− 1 𝑛 İşleminin sonucu kaçtır ? A) 𝒏−𝟏 𝟐 B) 𝒏−𝟏 𝒏 C) 𝟏 𝒏 D) 1 E) 𝒏+𝟏 𝒏

5. KAYNAKLAR 1. " Sosyal Bilimler MYO için Temel Matematik" , Prof. Dr. Mustafa SEVÜKTEKİN, Dora Basım Yayın Dağıtım, 2015 2. " YGS Temel Matematik", Aydın Basın Yayın Matbaa Sanayi ve Ticaret Ltd. Şti., 2012 3. " ÖSS Matematik ", Mustafa YAĞCI, 2009 4. " Temel Matematik", Prof.Dr. Mahmut KARTAL, Nobel Yayın Dağıtım, 2009 5. " Temel Matematik ", Doç.Dr. İrfan ERTUĞRUL, Ekin Basım Yayın Dağıtım, 2012