ELE 561: Kablosuz Haberleşme Konu 10: Kanal Kestirimi

10.1 Giriş Pratikte kanalın kestirilmesi gerekir ve her zaman belli oranda hata olur Training based Bilinen anlarda, antenlerde ve frekanslarda bilinen semboller gönderilir ve güç kaybı, faz kayması kestirilir Blind based Bu iş için semboller kullanmaz, daha bant-verimli, daha düşük performans Training: mümkün olduğu kadar az kullanılmalı Tutarlılık bandı ve süresine bağlı Bu semboller paketin başlığında (daha sık) ve içinde (daha seyrek) olabilir (ör. IEEE 802.11n) Training symbol = pilot symbol

10.2 Pilot tahsis stratejileri 10.2.1 Darbant MIMO Kanal bant genişliği tutarlılık bandından az Delay spread az veya bant ufak Paket uzunluğunun kısa veya uzun olmasına göre değişiyor Ek veri yükü (overhead) ile performans arasında ödünleşim var 10.2.2 Genişbant MIMO Zaman , uzam ve frekansta pilot sembollerin yerleşimi Frekans seçici ve yavaş sönümlenme Daha düz ama hızlı sönümlenme (ör. IEEE 802.11n) Ara form LTE, LTE-A ve WiMax

Farklı pilot yerleşimleri

a) 802.11n b) LTE ve WiMax

10.2.3 Pilot aralığının tasarımı Zaman ve frekansta pilotlar arasında yeteri kadar az aralık olmalı Zamanda tutarlılık zamanında küçük 𝑛 𝑡 ≤ 𝑇 𝑐,50 𝑇 𝑂𝐹𝐷𝑀 Frekansta tutarlılık bandından küçük 𝑛 𝑓 ≤ 𝐵 𝑐,50 Δ 𝑓 𝑂𝐹𝐷𝑀 = 𝐵 𝑐,50 𝑇 𝑂𝐹𝐷𝑀

10.2.4 Uzamsal Pilot Tahsisi Farklı antenlerden gönderilen pilot sinyallerin birbirine karışmaması lazım Zamansal diklik (orthogonality) - antenler sırayla Frekansta diklik – antenler farklı frekanslarda OFDM tabanlı sistemlerde popüler bir yöntem Sinyal dikliği Sinyaller birbirine dik tasarlanıyor LTE hem frekans hem de zamanda diklik kullanıyor

LTE Pilot sembolleri – 4 anten için

10.3 Darbant MIMO Kanal Kestirimi Maximum Likelihood Least Squares Linear Minimum Mean Square Error 𝑁 𝑡 ×𝑝 pilot matrisi ( 𝑺 𝑝 ) gönderildiğini varsayıyoruz Alıcıda: 𝑹 𝑝 = 𝜌 𝑯 𝑺 𝑝 +𝒁, 𝑁 𝑟 ×𝑝 matrisi elde edilir 10.3.1 ML: 𝑝 𝑹 𝑝 |𝑯 olasılık dağılımı kullanılır 𝑯 𝑀𝐿 ≜ arg max 𝑯 𝑝 𝑹 𝑝 |𝑯 Gauss dağılımı sayesinde 𝑯 𝑀𝐿 ≜ arg min 𝑯 || 𝑹 𝑝 − 𝜌 𝑯 𝑺 𝑝 | ​ 𝐹 2 olur Türevini alıp sıfıra eşitleyeceğiz Frobenius norm’u kendisiyle hermitinin çarpımının trace’i olarak yazıp türevini alırız 𝑯 𝑀𝐿 = 1 𝜌 𝑹 𝑝 𝑺 𝑝 𝐻 𝑺 𝑝 𝑺 𝑝 𝐻 −1

10.3 Darbant MIMO Kanal Kestirimi 10.3.2 Least squares Gauss dağılımı olduğu için LS=ML 𝑯 𝐿𝑆 = 1 𝜌 𝑹 𝑝 𝑺 𝑝 𝐻 𝑺 𝑝 𝑺 𝑝 𝐻 −1 ML ve LS’in ikisinde de 𝑝≥ 𝑁 𝑡 olmalı ki 𝑺 𝑝 𝑺 𝑝 𝐻 −1 matris tersi alınabilsin 10.3.3 LMMSE Gerçek kanal ile kestirimin arasındaki farkın karesinin beklenen değerini minimize ediyor. ℎ 𝑖,𝑗 = 𝑘=1 𝑝 𝑟 𝑖 𝑘 𝑤 𝑘,𝑗 antenlere gelen sembolleri kompleks ağırlıklarla çarpıyoruz 𝑯 = 𝑹 𝑝 𝑾 Matris formunda 𝑯 𝐿𝑀𝑀𝑆𝐸 ≜ arg min 𝑯 𝐸 ||𝑯− 𝑯 | ​ 𝐹 2

10.3 Darbant MIMO Kanal Kestirimi 𝑯 𝐿𝑀𝑀𝑆𝐸 ≜ arg min 𝑯 𝐸 ||𝑯− 𝑹 𝑝 𝑾| ​ 𝐹 2 𝑯 𝐿𝑀𝑀𝑆𝐸 ≜ arg min 𝑯 𝐸 𝑇𝑟 𝑯− 𝜌 𝑯 𝑺 𝑝 𝑾−𝑍𝑊 𝐻 𝑯− 𝜌 𝑯 𝑺 𝑝 𝑾−𝑍𝑊 𝑯 𝐿𝑀𝑀𝑆𝐸 ≜ arg min 𝑯 𝑇𝑟 𝐸 𝑯− 𝜌 𝑯 𝑺 𝑝 𝑾−𝒁𝑾 𝐻 𝑯− 𝜌 𝑯 𝑺 𝑝 𝑾−𝒁𝑾 𝐸 𝑯 𝐻 𝑯 = 𝑁 𝑟 𝑰 𝑁 𝑡 , 𝐸 𝒁 𝐻 𝒁 = 𝑁 𝑟 𝑰 𝑝 𝑯 𝐿𝑀𝑀𝑆𝐸 ≜ arg min 𝑯 𝑇𝑟 𝑁 𝑟 𝑰 𝑁 𝑡 − 𝜌 𝑁 𝑟 𝑺 𝑝 𝑾− 𝜌 𝑁 𝑟 𝑾 𝐻 +𝜌 𝑁 𝑟 𝑾 𝐻 𝑺 𝑝 𝑯 𝑺 𝑝 𝑾+ 𝑵 𝒓 𝑾 𝐻 𝑾 arg min 𝑯 𝑇𝑟 𝑁 𝑟 𝑰 𝑁 𝑡 − 𝜌 𝑁 𝑟 𝑺 𝑝 𝑾− 𝜌 𝑁 𝑟 𝑾 𝐻 +𝜌 𝑁 𝑟 𝑾 𝐻 𝑺 𝑝 𝑯 𝑺 𝑝 𝑾+ 𝑵 𝒓 𝑾 𝐻 𝑾 0=− 𝜌 𝑁 𝑟 𝑺 𝑝 𝑇 +𝜌 𝑁 𝑟 𝑾 𝐻 𝑺 𝑝 𝑯 𝑺 𝑝 𝑇 + 𝑁 𝑟 𝑾 𝐻 𝑇 𝑯 𝐿𝑀𝑀𝑆𝐸 = 𝜌 𝑹 𝑝 𝐼 𝑝 +𝜌 𝑺 𝑝 𝑯 𝑺 𝑝 −1 𝑺 𝑝 𝑯

10.3.4 Pilot Sinyallerin Seçimi 𝑝≥ 𝑁 𝑡 olmalı (ML ve MS’de) 𝑺 𝑝 𝑺 𝑝 𝐻 = 𝑝 𝑁 𝑡 𝐼 𝑁 𝑡 olmalı P arttıkça kanal kestirimi iyileşir ama ek veri yükü artar Ör: BPSK kiplemesi kullanıldığında 𝑆 𝑝 = 1 2 1 1 1 −1 −1 −1 1 −1 𝑯 𝐿𝑆 = 𝑯 𝑀𝐿 = 1 𝜌 𝑹 𝑝 𝑺 𝑝 𝐻 𝑺 𝑝 𝑺 𝑝 𝐻 −1 =𝑯+ 𝑁 𝑡 𝑝 𝜌 𝒁 𝑺 𝑝 𝐻 Unbiased Anten arttıkça hata artar SNR arttıkça hata azalır Pilot sembol sayısı arttıkça hata azalır

10.3.5 Darbant Kanal Kestirim Başarımı Rayleigh sönümlenmesi, Alamouti, kodlamasız, BPSK p=2: 𝑆 𝑝 = 1 2 1 1 1 −1 p=4: 𝑆 𝑝 = 1 2 1 1 1 −1 −1 −1 1 −1 Az sayıda pilotla bile performans fazla etkilenmiyor, çeşitleme derecesi aynı kalıyor

10.3.5 Darbant Kanal Kestirim Başarımı Rayleigh sönümlenmesi, 2x2 MIMO SM ZF-IC, kodlamasız, BPSK Aynı pilot sinyalleri Az sayıda pilotla bile performans fazla etkilenmiyor, çeşitleme derecesi aynı kalıyor Ör. WiFi 𝑇 𝑝𝑘𝑡 =0.1 𝑇 𝑐,50 =2.71𝑚𝑠, 3 𝑘𝑚 𝑠 𝑝𝑒𝑑. , 𝑓 𝑑 =6.6𝐻𝑧, 𝑇 𝑐,50 = 9 16𝜋 𝑓 𝑑 =27.1𝑚𝑠, 𝑝=4 𝑣𝑒 𝑅=10𝑀𝑏𝑝𝑠 𝑖ç𝑖𝑛 %1.5 𝑒𝑘 𝑣𝑒𝑟𝑖 𝑦ü𝑘ü

10.4 Genişbant MIMO Kanal Kestirimi Daha avantajlı: Pilotlar ayrı zaman ve frekanslarda iletilebilir SISO analizi yeterlidir OFDM (bu konuyu görmedik, bkz. aşağıdaki şekil) Frekans alanında analiz daha kolay 𝑦 𝑖 𝑘 = 𝑁 𝑠 𝜌 ℋ 𝑖𝑗 𝑘 𝑥 𝑗 (𝑘)+ 𝑍 𝑖 𝑘 , 𝑖=1,…, 𝑁 𝑟 , 𝑘=1,…, 𝑁 𝑠

10.4 Genişbant MIMO Kanal Kestirimi Zaman ve frekansta senkronizasyonun olduğunu varsayalım İletici j tarafından frekans k’da bir 𝑝 𝑗 𝑘 pilotu gönderilmiş olsun 𝑦 𝑖 𝑘 = 𝑁 𝑠 𝜌 ℋ 𝑖𝑗 𝑘 𝑝 𝑗 𝑘 + 𝑍 𝑖 𝑘 , 𝑖=1,…, 𝑁 𝑟 , 𝑘=1,…, 𝑁 𝑠 Darbanttaki 𝑹 𝑝 = 𝜌 𝑯 𝑺 𝑝 +𝒁 denkleminde 𝜌 → 𝑁 𝑠 𝜌 , 𝑹 𝑝 → 𝑦 𝑖 𝑘 , 𝑺 𝑝 → 𝑝 𝑗 𝑘 , 𝑺 𝑝 𝐻 → 𝑝 𝑗 ∗ (𝑘) Sonuç, LS,ML: ℋ 𝑖𝑗 𝑘 = 1 𝑁 𝑠 𝜌 𝑦 𝑖 𝑘 𝑝 𝑗 ∗ (𝑘) 𝑝 𝑗 𝑘 𝑝 𝑗 ∗ (𝑘) −1 Yani:LS ve ML ℋ 𝑖𝑗 𝑘 = 1 𝑁 𝑠 𝜌 𝑦 𝑖 𝑘 𝑝 𝑗 (𝑘) = ℋ 𝑖𝑗 𝑘 + 𝑍 𝑗 𝑘 𝑝 𝑗 (𝑘) Unbiased LMMSE: ℋ 𝑖𝑗 𝑘 = 𝑁 𝑠 𝜌 𝑦 𝑖 (𝑘) 1+ 𝑁 𝑠 2 𝜌 𝑝 𝑗 (𝑘) 2 𝑝 𝑗 ∗ (𝑘) Unbiased değil, ama yüksek SNR için unbiased

10.4.2 Zaman-frekans enterpolasyonu Yukarıda sadece pilot gönderilen zaman ve frekans indisleri için kanal kestirimi yapıldı Diğer indislerin kanal kestirimleri için enterpolasyon yapılır Basit doğrusal enterpolasyon (1 veya 2 boyutlu) En küçük kareler enterpolasyonu Kanalı temel fonksiyonların (ör. Fourier serisi) toplamı olarak ifade edip optimal katsayıları bulma ℋ 𝑖,𝑗 𝑘 = 𝑖=0 𝑁−1 𝛼 𝑖 𝜙 𝑖 (𝑘) ℋ 𝑖,𝑗 𝑘,𝑡 = 𝑖=0 𝑁−1 𝛼 𝑖 𝜙 𝑖 (𝑘,𝑡) Wiener filtre enterpolasyonu Hesaplama karmaşıklığı daha fazla Spaced-frequency, spaced-time korelasyon fonksiyonları kullanılır Bu fonksiyonların kendisini bulmak da ayrı bir meseledir.