Öğr. Gör. Mehmet Ali ZENGİN İŞLEM Öğr. Gör. Mehmet Ali ZENGİN

KONU BAŞLIKLARI İŞLEM İŞLEMİN ÖZELLİKLERİ BÖLÜM TEKRAR SORULARI 1.1. İşlemin Tanımı İŞLEMİN ÖZELLİKLERİ 2.1. Kapalılık Özelliği 2.2. Değişme Özelliği 2.3. Birleşme Özelliği 2.4. Etkisiz (Birim) Eleman 2.5. Ters Eleman 2.6. Yutan Eleman 2.7. Bir İşlemin Diğeri Üzerine Dağılma Özelliği BÖLÜM TEKRAR SORULARI

1.İŞLEM 1.1. İşlemin Tanımı: A boş olmayan bir küme ve A⊂B olsun. AxA kümesinden B kümesine tanımlanan fonksiyona A da ikili işlem veya işlem denir. f: AxA → B İşlemler, fonksiyonları göstermek için kullanılan küçük harfler yerine “Ä, Å, ο, ☆, Δ, q, v” gibi sembollerle gösterilir. Gerçek sayılar kümesi üzerindeki tanımlanmış en yaygın ikili işlemler toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemleridir. Pozitif reel sayılar kümesinde tanımlı karekök alma işlemi bir tekli işlemdir.

Örnek 1 Tam sayılar kümesinde tanımlı “Δ” işlemi xΔy = x + y + 5 şeklinde veriliyor. Buna göre, (3Δ2) işleminin sonucunu bulunuz?

Çözüm 1 xΔy = x + y + 5 olduğuna göre x = 3, y = 2 için 3Δ2 = 3 + 2 + 5 = 10 bulunur.

Örnek 2 Buna göre, (1☆2)☆3 işleminin sonucunu bulunuz?

Çözüm 2 1☆2 işleminde 1 < 2 olduğuna göre, 1☆2 = 1.2 + 1 = 3 olur. 3☆3 işleminde 3 ≥ 3 olduğuna göre, 3☆3 = 3 + 2.3 = 9 olur.

Örnek 3 Sıfırdan farklı reel sayılar kümesinde tanımlı “q” işlemi kuralıyla veriliyor. Buna göre, 1q4 işleminin sonucunu bulunuz?

Çözüm 3

Örnek 4 A = {1, 2, 3, 4, 5} kümesinde tanımlı Δ işleminin tablosu aşağıda verilmiştir. Buna göre, [(1Δ2)Δ(3Δ4)]Δ5 işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm 4 İşlem tablosunda xΔy işleminin sonucunu bulmak için, x elemanı sütundan, y elemanı satırdan seçilerek işlem yapılır. Buna göre, 1Δ2 = 3 ve 3Δ4 = 2’dir. [(1Δ2) Δ (3Δ4)] Δ 5 = (3Δ2) Δ 5 = 5 Δ 5 = 5 bulunur

2.İŞLEMİN ÖZELLİKLERİ 2.1. Kapalılık Özelliği Boş olmayan A kümesi üzerinde “Δ” işlemi tanımlanmış olsun. ∀x,y ∈ A için xΔy ∈ A ise “A kümesi Δ işlemine göre kapalıdır.” denir.

Örnek 5 Aşağıda verilen işlemlerden hangisinin doğal sayılar kümesi üzerinde kapalılık özelliği vardır?

Çözüm 5 a = 2 ve b = 3 seçilirse; aqb = 2 2 − 3 2 = –5 ∉ N Kapalılık özelliği yoktur. a = 2 ve b = 3 seçilirse; Kapalılık özelliği yoktur. x = 1, y = 2 seçilirse; x☆y = 3.1 – 6.2 = –9 ∉ N Kapalılık özelliği yoktur. Her x, y doğal sayıları için 4xy + 5 daima doğal sayı olacağından ♥ işleminin kapalılık özelliği vardır. x = 1, y = 2 seçilirse olur. Kapalılık özelliği yoktur.

2. İŞLEMİN ÖZELLİKLERİ 2.2. Değişme Özelliği Boş olmayan A kümesi üzerinde Δ işlemi tanımlanmış olsun. ∀x,y ∈ A için xΔy = yΔx ise “Δ işleminin A kümesi üzerinde değişme özelliği vardır.” denir.

Örnek 6 Reel sayılar kümesinde tanımlı, xoy = 2x + 2y + 5 işleminin değişme özelliğinin varlığını araştırınız?

Çözüm 6 ∀x,y ∈ R için; xoy = 2x + 2y + 5 yox = 2y + 2x + 5 xoy = yox olduğundan o işleminin değişme özelliği vardır.

Örnek 7 x≠y olmak üzere gerçek sayılar kümesinde, xoy = 3x + m.y + xy + 8 şeklinde tanımlı “o” işleminin değişme özelliği olduğuna göre, m kaçtır?

Çözüm 7 o işleminin değişme özelliği olduğundan xoy = yox tir. 3x + my + xy + 8 = 3y + mx + yx + 8 3x + my = 3y + mx 3x – 3y = mx – my 3(x – y) = m(x – y) m = 3 tür.

Örnek 8 Reel sayılar kümesinde tanımlı “☆” işleminin değişme özelliği vardır. x☆y = 4x + 4y – 3(y☆x) olduğuna göre, 5☆10 işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm 8 Değişme özelliği olduğuna göre, y☆x = x☆y dir. Buna göre, x☆y = 4x + 4y – 3(x☆y) 4(x☆y) = 4x + 4y x☆y = x + y olur. Buna göre, 5☆10 = 5 + 10 = 15 tir.

2.İŞLEMİN ÖZELLİKLERİ 2.3. Birleşme Özelliği Boş olmayan A kümesi üzerinde “Δ” işlemi tanımlanmış olsun. ∀x, y, z ∈ A için (xΔy) Δ z = x Δ (yΔz) ise “ Δ işleminin birleşme özelliği vardır.” denir.

2. İŞLEMİN ÖZELLİKLERİ 2.4. Birim (Etkisiz) Eleman Boş olmayan A kümesinde Δ işlemi tanımlanmış olsun. ∀x ∈ A için xΔe = eΔx = x olacak biçimde yalnız bir e∈A varsa, e elemanına Δ işleminin birim elemanı denir. Not: “Δ” işleminin A kümesine göre değişme özelliği var ise xΔe = x eşitliğine bakmak yeterlidir.

Örnek 9 Tam sayılar kümesinde tanımlı “Δ” işlemi xΔy = x + y – 8 olduğuna göre, “Δ” işleminin birim elemanı kaçtır?

Çözüm 9 ∀x ∈ Z için xΔe = x ise x + e – 8 = x e = 8 bulunur. Not: Birim eleman varsa tektir. Dolayısıyla bir değişkene bağlı olmaması gerekir. Diğer bir deyişle birim eleman sabit bir reel sayı olmalıdır.

2.İŞLEMİN ÖZELLİKLERİ 2.5. Ters Eleman Boş olmayan A kümesinin “Δ” işlemine göre birim elemanı e olsun. ∀x ∈ A için xΔx–1 = x–1Δx = e ise x–1 elemanına Δ işlemine göre x in tersi denir.

Örnek 10 Reel sayılar kümesinde tanımlı “Δ” işlemi xΔy = x + y – 5 olduğuna göre, 3 ün tersi kaçtır?

Çözüm 10 Önce Δ işleminin birim elemanı bulunmalıdır. xΔe = x x + e – 5 = x → e = 5 bulunur. 3 ün tersi olan eleman a olsun. 3Δ3–1 = e 3Δa = 5 3 + a – 5 = 5 a = 7 bulunur.

Örnek 11 Reel sayılar kümesinde tanımlı, x☆y = x + y – 2xy işleminde tersi kendisine eşit olan elemanların toplamı kaçtır?

Çözüm 11 x☆e = x ise x + e – 2xe = x ⇒ e = 0 bulunur. x☆x–1 = e x☆x = 0 ise x + x – 2x.x = 0 ise 2x – 2x2 = 0 2x(1 – x) = 0 x = 0 veya x = 1 dir. Buna göre, 0 + 1 = 1 bulunur.

2.İŞLEMİN ÖZELLİKLERİ 2.6. Yutan Eleman Boş olmayan A kümesinde “Δ” işlemi tanımlanmış olsun. ∀x∈A için xΔy = yΔx = y olacak biçimde yalnız bir y∈A varsa y elemanına “A kümesinin ‘Δ’ işlemine göre yutan elemanı” denir. NOT: Yutan elemanın “Δ” işlemine göre tersi yoktur. Ancak bu tersi olmayan eleman yutan elemandır anlamına gelmez.

Örnek 12 Reel sayılar kümesinde tanımlı “Δ” işlemi, xΔy = x + y – 8xy olduğuna göre, “Δ” işleminin yutan elemanı kaçtır?

Çözüm 12 xΔy = y olmalıdır. x + y – 8xy = y ⇒ 𝑦= 1 8 bulunur.

2.İŞLEMİN ÖZELLİKLERİ 2.7. Bir İşlemin Diğeri Üzerine Dağılma Özelliği A ≠ Ø olmak üzere, A kümesinde tanımlı Δ ile ☆ işlemleri ve, ∀x, y, z∈A için. xΔ(y☆z) = (xΔy)☆(xΔz) eşitliği sağlanıyorsa Δ işleminin ☆ işlemi üzerine soldan dağılma özelliği vardır. (y☆z)Δx = (yΔx)☆(zΔx) eşitliği sağlanıyorsa Δ işleminin ☆ işlemi üzerine sağdan dağılma özelliği vardır. Δ işleminin ☆ işlemi üzerine hem sağdan hem de soldan dağılma özelliği varsa, “Δ işleminin ☆ işlemi üzerine dağılma özelliği vardır.” denir.

Uyarı Gerçek sayılar kümesinde tanımlanan; çarpma işleminin toplama ve çıkarma işlemi üzerine dağılma özellikleri varken, bölme işleminin toplama ve çıkarma işlemi üzerine dağılma özelliği yoktur.

2. BÖLÜM TEKRARI SORULARI Soru : 1 Reel sayılar kümesinde tanımlı a☆b =a2 – b aob = Min(a, b) aΔb = Max(a, b) işlemleri veriliyor. Buna göre, [(3o4)☆2] Δ 5 işleminin sonucu kaçtır?

2. BÖLÜM TEKRARI SORULARI Soru : 2 Reel sayılar kümesinde tanımlı, aob = a3 + b işlemi veriliyor. xo2 = –6 olduğuna göre, x kaçtır?

2. BÖLÜM TEKRARI SORULARI Soru : 3 Tam sayılar kümesi üzerinde o ve Δ işlemleri, biçiminde tanımlanıyor. Buna göre, (2o3) işleminin sonucu kaçtır?

2. BÖLÜM TEKRARI SORULARI Soru : 4 Pozitif reel sayılar kümesinde tanımlı, işlemleri veriliyor. Buna göre, (1q2) o (2q1) işleminin sonucu kaçtır?

2. BÖLÜM TEKRARI SORULARI Soru : 5 A = {0, 1, 2, 3, 4} kümesi üzerinde tanımlı işlemi yandaki tablo ile verilmiştir. (x–1: x in ☆ işlemine göre tersidir.) 2 ☆ 4–1 = 0 ☆ x olduğuna göre, x kaçtır?

2. BÖLÜM TEKRARI SORULARI Soru : 6 Sıfırdan farklı reel sayılar kümesinde tanımlı işlemi veriliyor. Buna göre, 2 Δ 4 işleminin sonucu kaçtır?

2. BÖLÜM TEKRARI SORULARI Soru : 7 Reel sayılar kümesinde tanımlı, aob = a + b + 2 – x işleminde 2 nin tersi 4 olduğuna göre, x kaçtır?

2. BÖLÜM TEKRARI SORULARI Soru : 8 Reel sayılar kümesinde tanımlı ☆ ve Δ işlemleri, a☆b = ab – (aΔb) ve aΔb = 2ab + (a☆b) olduğuna göre, 2☆3 işleminin sonucu kaçtır?

4. KAYNAKLAR 1. " Sosyal Bilimler MYO için Temel Matematik" , Prof. Dr. Mustafa SEVÜKTEKİN, Dora Basım Yayın Dağıtım, 2015 2. " YGS Temel Matematik", Aydın Basın Yayın Matbaa Sanayi ve Ticaret Ltd. Şti., 2012 3. " ÖSS Matematik ", Mustafa YAĞCI, 2009 4. " Temel Matematik", Prof.Dr. Mahmut KARTAL, Nobel Yayın Dağıtım, 2009 5. " Temel Matematik ", Doç.Dr. İrfan ERTUĞRUL, Ekin Basım Yayın Dağıtım, 2012