DERS 7 SAYISAL İNTEGRASYON DERS 7.1 TRAPEZOIDAL (YAMUK) KURAL [a, b] sınırları arasındaki kapalı alanında, fonksiyonun sıfırdan büyük olduğunu (f(x)>0) kabul edin. Bu fonksiyon altındaki alan, fonksiyonun integrali demektir. Fonksiyonun nasıl bir denklem olduğu bilinmese bile bilgisayar hesaplama ile belirli hata payları içinde fonksiyonun alanı (xi,yi) değerlerine bağlı olarak hesaplanır. f(x)’in birinci dereceden bir polinom (p1(x)) olduğunu kabul edersek doğru bir çizgi ile f(x)’in integralini yaklaşık bulabiliriz. Trapezoidal kurala göre a ve b aralığında f(x) fonksiyonunun ortalama yakın bir değeri Dx aralığı ile bulunabilir.

Burada [a, b] aralığında n tane birbirine eşit ∆x uzunluk aralığında dikdörtgenler vardır. Bu dikdörtgenlerin toplamı eğrinin altında kalan toplam alana eşittir.

ŞEKİL 7. 2 İki Panelli Trapezoidal Kural ŞEKİL 7. 2 de verilen ilgili noktalar (x j-1, fj-1) ve (x j , f j), ayrıca ( x j, f j) ve (x j+1, fj+1) birbirine doğru çizgilerle bağlandığında iki ayrı panel oluşur.

Bir trapezoidal alan; [(taban1 + taban2)/2] x yükseklik çarpımı ile hesaplanabilir. Sol taraftaki panelin alanı; sağ tarafa doğru adımlayarak ortalama yükseklik ((f j-1 + fj)/2 ) ve ∆x aralığın çarpımı: [(f j-1 + fj)/2 ] x ∆x olarak hesaplanır . Benzer şekilde sağ tarafında alanı hesaplanabilir. [(f j + fj+1)/2 ] x ∆x. Her iki panel üzerindeki alanı hesabı aşağıdaki gibi yapılır.

[a, b] üzerindeki f(x), fonksiyonunun integrali aşağıda gösterilen n-adet integrale parçalanabilir. Burada fo = f ( a ) ve f n = f ( b ) O(∆x2) daha önceden bildiğimizTaylor Serisi Açılımındaki hata terimidir.

Şekil 7.2’e bakıldığında görülecektir ki; ∆x ne kadar küçük olursa (∆x, limit 0’a giderken ) Trapezoidal ( yamuk) kuralı ile sağlanan yaklaşım, fonksiyonun analitik integrasyonla verilen çözümüne o kadar yakın olacaktır. Şimdiye kadar Trapezoidal Kuralın geometrik tartışmasını verdik, şimdi ise Trapezoidal Kuralın ikinci dereceden yaklaşımı demek olan matematiksel analitik türevini hazırlayacağız. Bunu yapmak için 7.6 eşitliğinde gösterilen O(∆x2) hata terimini türetmeliyiz. Taylor Seri Açılımında belirsiz integralı belirle Eğer x j Şekil 7.2 de verilen iki paneli birbirinden ayıran çizgideki değer ise I(xj) değeri x=a dan x j-çizgiye kadarki fonksiyon altında kalan alan olacaktır. I(xj+1) ise bir sonraki panelin alanını gösterecektir.

I(x) nin [ a, b] üzerindeki analitik bir fonksiyon olduğu kabul edildiğinde I(x j+1) değeri x j ye göre Taylor Seri Açılımından aşağıdaki şekilde elde edilmiştir.

7.10 eşitliğini 7.9 da yerine yazarsak, 7.11deki aynı olan terimleri birleştirirsek

Şimdi I(x j+1) ve I(x j) ’nin manasını hatırlayalım, [I(x j+1) -I(x j) ] ‘nin xj ve x j+1 arasındaki tek bir panelin alanı S j+1 olduğunu görürüz.,