Bölüm 6: Alamouti Kodlama MIMO Haberleşme Bölüm 6: Alamouti Kodlama

Giriş Alamouti kodlaması, iletici çeşitlemesini gerçekleştirmek için geliştirilen ilk uzay-zaman kodlarından biridir. Alamouti kodlaması, MIMO tekniğini kullanan bütün kablosuz standartlara dahil edilmiştir. Alamouti’nin makalesi yayınlanmadan önce 1990’larda başka iletici çeşitlemesi tekniklerinin geliştirildiği çalışmalar yapılmıştır. Alamouti tekniğinin diğer tekniklere göre avantajları: Sadece CSIR’ın yeterli olması Ekstra bant genişliğine gerek yok Hesaplama karmaşıklığı makul düzeyde

Alıcı çeşitlemesi cep telefonlarında uygulanamıyordu 1990’lara kadar, sönümlemeli ortamlarda çeşitlemeden yararlanabilmek için sadece alıcı çeşitlemesi kullanılıyordu. Alıcı çeşitlemesi cep telefonlarında uygulanamıyordu Küçük olduğundan , birden fazla anteni bulundurmak zor Sadece baz istasyonunda yapılabiliyordu Reverse link ‘te (aygıttan baz istasyona olan - uplink) Maximal ratio receive combining (MRRC), İletici çeşitlemesi Forward link’te uygulanabiliyor (baz istasyonundan aygıta – downlink) Alamouti kodlaması MRRC kodlamasına performans olarak eşit, yani optimal

6.1 Maximal Ratio Receive Combining (MRRC) Çeşitleme birleştirmesi uygulayan bir alıcının mimarisi:

Birleştiricinin çıktısı 𝑠 , girdilerin doğrusal ağırlıklı bir birleşimidir, 𝑠 = 𝑖=1 𝑁𝑟 𝑎𝑖𝑟𝑖 𝑎𝑖 : karmaşık ağırlıklar 𝑟𝑖 : her bir çeşitleme kanalından alınan sinyaller MRRC’de her birleştirici ağırlık, ilgili kanal kazancının karmaşık eşleniğine eşittir. Bu durum, birleştiricinin çıktısında sinyal-gürültü oranının maksimize edilmesini sağlar. Böylece, 𝑠 = 𝑖=1 𝑁𝑟 ℎ𝑖∗𝑟𝑖 Sinyal-gürültü oranı 𝜌, 𝜌 = 𝑖=1 𝑁𝑟 𝜌𝑖 𝜌𝑖: i’inci çeşitleme kanalının sinyal-gürültü oranı

Bir çeşitleme alıcısı, birleştirme işlemine ek olarak birleştiricinin çıktısı üzerinde işlem yapıp iletilen sembolleri hesaplayabilmelidir. Bu amaçla, alıcının 𝑠 1 üzerinde ML (maximum-likelihood) sezimi uyguladığını varsayıyoruz. ML sezimli 1x2 MRRC alıcısı:

Bir sembol periyodunda s sembolü iletilmektedir Bir sembol periyodunda s sembolü iletilmektedir. n1 ve n2 bu anda iki alıcıdaki gürültü örnekleridir. İletici ve iki alıcı arasındaki kanalların bağımsız, ilintisiz, düz sönümlenmeye uğradıklarını varsayıyoruz. Alıcıdaki iki sinyal, ri = his + zi, i=1,2 (6.4) Birleştirici çıktısı, 𝑠 = ℎ 1 ∗ 𝑟 1 + ℎ 2 ∗ 𝑟 2 = ℎ 1 ∗ h1s + z1 + ℎ 2 ∗ h2s + z2 = ℎ 1 2 + ℎ 2 2 𝑠+ ℎ 1 ∗ 𝑧 1 + ℎ 2 ∗ 𝑧 2 (6.5)

1xNr MRRC sistemi için genelleştirirsek, 𝑠 = 𝑖=1 𝑁𝑟 ℎ𝑖∗𝑟𝑖 𝑠 = 𝑖=1 𝑁𝑟 ℎ𝑖∗𝑟𝑖 = ( 𝑖=1 𝑁𝑟 ℎ𝑖 2 ) s + 𝑖=1 𝑁𝑟 ℎ𝑖∗𝑧𝑖 (6.6) Bu denklemden önemli çıkarımlar yapılabilir: 𝑠 ′ nin formatı [Sabit] x [Sinyal] + [Gürültü] şeklindedir. Sinyal x gürültü formunda terimler olmadığı için, ML sezim mantığı basittir. Sönümlenmeden dolayı (Nr-1) kanal kazançları küçük olsa da, 𝑠 ′ yi kullanarak iletilen sembol s’nin başarılı bir şekilde sezimini yapmak mümkündür. Bu sebeple bu sistemin çeşitleme sayısı Nr’ye eşittir. Farklı alıcılarda gürültünün korelasyonsuz olduğunu ve de gürültü ve kanal elemanlarının istatiksel olarak bağımsız olduğunu varsaydığımızda 𝑠 ile ilgili SNR, 𝜌 = ( 𝑖=1 𝑁𝑟 ℎ𝑖 2 ) E 𝑠 2 𝜎𝑧2 (6.7) 𝜎𝑧2 : gürültü terimlerinin varyansı

6.2 İletici Çeşitlemesini Sağlamada Karşılaşılan Zorluklar MRRC ile elde edilen çeşitlemeye eşit bir çeşitleme sağlayacak iletici çeşitleme tekniklerini geliştirmek kolay değildir. Örnek 1: 2x1 MISO sisteminde, iletilen sembol s’yi önce ileticilerde a1 ve a2 karmaşık sayıları ile çarparak iletici çeşitlemesi elde etmeye çalışabiliriz. Bu durumda alıcıdaki sinyal, r = h11a1s + h12a2s + z h1j : j ileticisi ile alıcı arasındaki kanal cevabı n: gürültü

Bu denklemdeki sinyal-gürültü oranının, (6 Bu denklemdeki sinyal-gürültü oranının, (6.7) denkleminde MRRC ile elde edilen SNR’a eşit olması için aj = h1j */ h1j , j=1,2 olmalıdır. Böylece, N2=2 iken MRRC ile elde edilen çeşitlemeye eşit bir iletici çeşitlemesi edilir. Bu yöntemdeki sorun, CSIT’nin kullanılmasının gerekmesidir. MRRC’de sadece alıcının kanalı bilmesi, gerekli olan birleştirmeyi gerçekleştirmek için yeterlidir. Sonuç olarak, bu iletici çeşitlemesi tekniği MRRC ile aynı performansı gösterse de, CSIT’yı kullanması gerektiği için karmaşıklığı daha fazladır.

Örnek 2: İletici çeşitlemesi elde etmek için s sembolünü birden fazla sembol periyodu kullanarak iletebiliriz. Birinci sembol periyodunda s birinci ileticiden, ikinci sembol periyodunda s ikinci ileticiden iletildiğinde alıcıdaki sinyaller, Periyot 1: r1 = h11s + z1 Periyot 2: r2 = h12s + z2 Bu denklemler matematiksel olarak (6.4)’teki MRRC denklemine denk olduğu için ((6.4)’teki alt indisin alıcı sayısını ifade etmesi dışında), bu iletici çeşitlemesi MRRC ile aynı performansı elde etmektedir. Bu yöntemin Örnek 1’dekine göre avantajı CSIT’ye ihtiyacı olmamasıdır; ancak, bu yöntemdeki sorun tek bir sembolü iletmek için iki sembol periyodunun gerekli olmasıdır, yani veri hızının MRRC’ye göre yarılanmış olmasıdır. Bu iki örnekte, iletici çeşitlemesini CSIT kullanımına izin vererek ya da veri hızını düşürerek elde edilebileceğini gördük. Alamouti kodlamasının en önemli özelliği, bu iki örnekteki ödünler verilmeden iletici çeşitlemesinin yapılabilmesidir.

6.3 2x1 Alamouti Kodlaması En basit Alamouti düzenlemesi iki iletici anten ve bir alıcı anten kullanarak sembolleri iletmektir:

Alamouti blok şemasında görüldüğü üzere Alamouti sistemi dört temel fonksiyonu içerir: Uzay-zaman kodlama Çeşitleme birleştirmesi Alıcıda kanal durum hesaplaması (CSIR) ML kod çözümü (maximum likelihood decoding) MRRC’de uzay-zaman kodlama dışındaki diğer üç fonksiyon bulunmaktadır. Alamouti’de kullanılan birleştirme MRRC’de kullanılan birleştirmeden farklıdır.

s1 ve s2 sembolleri Alamouti kodlama ile şu şekilde kodlanır: t anında sembol s1 birinci iletici antenden, sembol s2 ikinci iletici antenden iletilir. Bir sonraki sembol periyodu t + Ts’de, sembol –s2* birinci antenden, sembol s1* ikinci antenden iletilir. Bu iletimler, Alamouti kodlamasının, hem uzamsal boyutta hem de zaman boyutunda kodlamayı içerdiği için bir uzay-zaman kodu olduğunu gösterir.

Figure 6.3’te kullanılan adlandırma kuralları şu şekildedir: alınan sinyaller ve gürültü sinyallerindeki alt indisler hangi alıcıya ait olduğunu ifade eder. parantez içindeki indis zaman aralığını ifade eder. Örnek olarak, ri(1), i alıcısında t zamanında alınan sinyali, ri(2), i alıcısında t + Ts zamanında alınan sinyali ifade eder. zi(1), i alıcısında t zamanındaki gürültü sinyalini, zi(2), i alıcısında t + Ts zamanındaki gürültü sinyalini ifade eder. Alamouti kodlamada birleştirme kuralları şu şekildedir: 𝑠 1 = ℎ 11 ∗ 𝑟 1 1 + ℎ 12 𝑟 1 ∗ (2) 𝑠 2 = ℎ 12 ∗ 𝑟 1 1 − ℎ 11 𝑟 1 ∗ (2) (6.10)

Alamouti ve MRRC birleştirmeleri arasındaki farklar: 2x1 anten konfigürasyonu için Alamouti’de iki tane, MRRC’de bir tane birleştirme kuralı var. Alamouti birleştirmesi ile iki tane birleştirilmiş sinyal, MRRC ile bir tane birleştirilmiş sinyal elde edilir. Alamouti kodlamasında farklı iki zamandaki sinyaller birleştirilir. MRRC’de farklı iki alıcıdaki sinyaller birleştirilir. Bu farklılıklara rağmen, Alamouti kodlaması MRRC sistemi ile aynı davranışı gösterir.

İki ardışık sembol üzerinde kanal kazançlarının sabit olduğunu varsayarsak, 𝑟 1 1 ≜ 𝑟 1 𝑡 = ℎ 11 𝑠 1 + ℎ 12 𝑠 2 + 𝑧 1 (1) 𝑟 1 2 ≜ 𝑟 1 𝑡+Ts =− ℎ 11 𝑠 2 ∗ + ℎ 12 𝑠 1 ∗ + 𝑧 1 (2) (6.11) (6.11)’deki denklemleri (6.10)’daki denklemlerde yerine konduğunda, 𝑠 1 = ℎ 11 ∗ ℎ 1 𝑠 1 + ℎ 12 𝑠 2 + 𝑧 1 (1) + ℎ 12 − ℎ 11 𝑠 2 ∗ + ℎ 12 𝑠 1 ∗ + 𝑧 1 2 ∗ = ℎ 11 2 𝑠 1 + ℎ 11 ∗ ℎ 12 𝑠 2 + ℎ 11 ∗ 𝑧 1 1 − ℎ 12 ℎ 11 ∗ 𝑠 2 + ℎ 12 2 𝑠 1 + ℎ 12 𝑧 1 ∗ 2 = ℎ 11 2 + ℎ 12 2 𝑠 1 + ℎ 11 ∗ 𝑧 1 1 + ℎ 12 𝑧 1 ∗ 2 = 𝑖=1 2 ℎ 1𝑖 2 𝑠 1 + ℎ 11 ∗ 𝑧 1 1 + ℎ 12 𝑧 1 ∗ 2 (6.12) Benzer şekilde, 𝑠 2 = ℎ 11 2 + ℎ 12 2 𝑠 2 + ℎ 12 ∗ 𝑧 1 1 + ℎ 11 𝑧 1 ∗ 2 == 𝑗=1 2 ℎ 1𝑗 2 𝑠 2 + ℎ 12 ∗ 𝑧 1 1 + ℎ 11 𝑧 1 ∗ 2 (6.13)

(6.12) ve (6.13) denklemlerine baktığımızda, Birleştirilmiş sinyaller 𝑠 1 ve 𝑠 2’nin her biri birer tane sembolün fonksiyonudur. Her birleştirilmiş sembol, MRRC ifadesi olan (6.5) denklemindeki forma ve Nr=2 için (6.7) denklemindeki sinyal-gürültü ifadesine sahiptir. Her iki sembol periyodunda bir 2 tane sembol iletildiği için sembol iletim hızı MRRC ile aynıdır. CSIT’ye gerek yoktur. Bu gözlemler 2x1 Alamouti kodlamasının matematiksel olarak 1x2 MRRC’ye eşit olduğunu göstermektedir.

6.4 2xNr Alamouti Kodlaması Alamouti kodlaması genellenebilir. 𝑁 𝑡 aynı , uzay zaman kodlaması aynı Alıcı mimarisi 𝑁 𝑟 ’ye göre değişir 2x2 durumu Fark: iki alıcı ve dört kanal kazancı var. n ve r’nin alt indisleri alıcı anten sayısını, parantez içindeki indisler sembol periyodunu belirtmektedir.

2x2 Alamouti sisteminin birleştirme kuralları (6.14): 𝑠 1 = ℎ 11 ∗ 𝑟 1 1 + ℎ 12 𝑟 1 ∗ 2 + ℎ 21 ∗ 𝑟 2 1 + ℎ 22 𝑟 2 ∗ 2 𝑠 2 = ℎ 12 ∗ 𝑟 1 1 − ℎ 11 𝑟 1 ∗ 2 + ℎ 22 ∗ 𝑟 2 1 − ℎ 21 𝑟 2 ∗ 2 Alıcıdaki sinyaller (6.15): 𝑟 1 1 = ℎ 11 𝑠 1 + ℎ 12 𝑠 2 + 𝑧 1 1 𝑟 1 2 =− ℎ 11 𝑠 2 ∗ + ℎ 12 𝑠 1 + 𝑧 1 2 𝑟 2 1 = ℎ 21 𝑠 1 + ℎ 22 𝑠 2 + 𝑧 2 1 𝑟 2 2 = −ℎ 21 𝑠 2 ∗ + ℎ 22 𝑠 1 ∗ + 𝑧 2 2 (6.15) denklemlerini (6.14) denklemlerine yerleştirdiğimizde, 𝑠 1 = 𝑖=1 2 𝑗=1 2 ℎ 𝑖𝑗 2 𝑠 1 + ℎ 11 ∗ 𝑧 1 1 + ℎ 12 𝑧 1 ∗ 2 + ℎ 21 ∗ 𝑧 2 1 + ℎ 22 𝑧 2 ∗ 2 (6.16) 𝑠 2 = 𝑖=1 2 𝑗=1 2 ℎ 𝑖𝑗 2 𝑠 2 − ℎ 11 ∗ 𝑧 1 ∗ 2 + ℎ 12 ∗ 𝑧 1 ∗ 1 − ℎ 21 ∗ 𝑧 2 ∗ 2 + ℎ 22 ∗ 𝑧 2 ∗ 2 (6.17) (6.16) ve (6.17) denklemleri, Nr=4 olduğunda (6.6) denklemi ile aynı forma sahiptir. 𝑠 1 ve 𝑠 2 ‘nin sinyal-gürültü oranları, Nr=4 olduğunda (6.7) denklemine eşittir. Böylece, 2x2 Alamouti sisteminin 1x4 MRRC alıcısıyla aynı performansı gösterdiği sonucuna varıyoruz.

2xNr Durumu: (6.14) denkleminde eşitlikten sonraki ilk iki terim sadece birinci alıcı sinyal aldığında kullanılan birleştirme kuralıdır. (6.14) denkleminde eşitlikten sonraki üçüncü ve dördüncü terimler sadece ikinci alıcı sinyal aldığında kullanılan birleştirme kuralıdır. Bu örüntüyü kullanarak, genel bir 2xNr sistemi için Alamouti birleştirme kuralları şöyledir: (6.18) 𝑠 1 = İ=1 𝑁 𝑟 ℎ 𝑖1 ∗ 𝑟 𝑖 (1) + ℎ 𝑖2 𝑟 𝑖 ∗ (2) 𝑠 2 = İ=1 𝑁 𝑟 ℎ 𝑖2 ∗ 𝑟 𝑖 1 − ℎ 𝑖1 𝑟 𝑖 ∗ (2) Bu denklemlerde (6.19), 𝑟 𝑖 1 = ℎ 𝑖1 𝑠 1 + ℎ 𝑖2 𝑠 2 + 𝑧 𝑖 1 𝑟 𝑖 2 =− ℎ 𝑖1 𝑠 2 ∗ + ℎ 𝑖2 𝑠 1 ∗ + 𝑧 𝑖 2 , 𝑖=1,…, 𝑁 𝑟 (6.19) denklemini (6.18) denklemine yerleştirirsek, Alamouti birleştiricisinin genel durumdaki çıktısını elde ederiz,

Bu denklemler, (6.6) denklemindeki forma sahiptirler. (6.19) denklemini (6.18) denklemine yerleştirirsek, Alamouti birleştiricisinin genel durumdaki çıktısını elde ederiz, 𝑠 1 = 𝑖=1 𝑁 𝑟 𝑗=1 2 ℎ 𝑖𝑗 2 𝑠 1 + 𝑖=1 𝑁 𝑟 ℎ 𝑖1 ∗ 𝑧 𝑖 1 + ℎ 𝑖2 𝑧 𝑖 ∗ 2 (6.20) 𝑠 2 = 𝑖=1 𝑁 𝑟 𝑗=1 2 ℎ 𝑖𝑗 2 𝑠 2 + 𝑖=1 𝑁 𝑟 ℎ 𝑖2 ∗ 𝑧 𝑖 1 + ℎ 𝑖1 𝑧 𝑖 ∗ 2 (6.21) Bu denklemler, (6.6) denklemindeki forma sahiptirler. 𝑠 1 ve 𝑠 2 ile ilgili sinyal-gürültü oranları, herhangi bir Nr değeri için (6.7) denklemine eşittir. Böylece, 2xNr Alamouti sisteminin 1x2Nr MRRC alıcısı ile aynı performansı gösterdiği sonucunu çıkarabiliriz. Alamouti çıktısı [Sabit]x[Sinyal]+[Gürültü] (MRRC) formundadır (denklem (6.6)). Demodülasyon ML sezim algoritmasıyla gerçekleştirilebilir

6.5 MRRC ve Alamouti Alıcılarında ML (maximum likelihood) Demodülasyonu MRRC ve Alamouti birleştiricilerinin çıktıları şu forma sahiptir: 𝑠 =𝐾𝑠+𝑧 𝑠 : birleştiricinin çıktıları K: iletici ve alıcı antenleri arasındaki kanal kazanç değerlerine bağlı bir sabit s: algılamak istediğimiz sembol z: sıfır ortalamalı 𝜎 𝑧 2 varyanslı karmaşık Gauss gürültüsü (yani n~𝒞𝒩 0, 𝜎 𝑧 2 ) İletilen sembolün 𝓐≜ 𝑎1,𝑎2,…,𝑎𝑀 M’li alfabeden seçildiğini varsayıyoruz. s’nin MAP (maximum a posteriori probability) hesaplaması, yani 𝑠 ‘nin ifadesi, 𝑠 = arg max 𝑠 𝑃(𝑠| 𝑠 ) 𝑃(𝑠| 𝑠 ) birleştirici çıktısının 𝑠 olduğu bilindiğinde iletilen sembolün s olma olasılığı

𝑃( 𝑠 |𝑠): olabilirlik (likelihood) 𝑃(𝑠| 𝑠 ) olasılığını maksimize eden sembol, iletilen sembolün MAP kestirimidir. Eğer iletilen sembollerin önsel olasılıkları aynı ise (yani 𝑃 𝑠= 𝑎 𝑖 = 1 𝑀 , 𝑖=1,..,𝑀, Bayes teoreminden, 𝑠 = arg max 𝑠 𝑃( 𝑠 |𝑠) (6.24) 𝑃( 𝑠 |𝑠): olabilirlik (likelihood) (6.24) en büyük olabilirlik kriterinin ifadesidir. n~𝒞𝒩 0, 𝜎 𝑧 2 olduğu için, 𝑃 𝑠 𝑠 = 1 2π σ 𝑧 2 𝑒 − 𝑠 − 𝐾𝑠 2 2 𝜎 𝑧 2 Bunun sadeleştirilmiş hali 𝑠 = arg min 𝑠 𝑠 − 𝐾𝑠 2 (6.26) = arg min [𝐾 𝑠 2 − 𝑠 𝑠 ∗ −𝑠 𝑠 *] (6.27) 𝑠 = arg min [ 𝐾−1 𝑠 2 + 𝑠 −𝑠 2] (6.28)

(6.28)’deki ML sezim kuralı MRRC ve Alamouti tabanlı alıcılara uygulanabilir. Nrx1 MRRC alıcısında birleştiricinin çıktısını ifade eden (6.6) denklemi, K = 𝑖=1 Nr ℎ𝑖 2 olduğunu gösterir. Birleştiricideki çıktısı 𝑠 olan MRRC alıcısı için ML sezim kuralı şu şekildedir, 𝑠 = arg min [( 𝑖=1 Nr ℎ𝑖 2 −1) 𝑠 2 + 𝑠 −𝑠 2] 𝑠 (6.29) Minimizasyon, s ∈ 𝓐’daki tüm olası iletim sembolleri üzerinden yapılır.

Alamouti kodlamada, (6. 20) ve (6 Alamouti kodlamada, (6.20) ve (6.21) denklemlerinden K= 𝑖=1 Nr 𝑗=1 2 ℎ𝑖𝑗 2 olduğunu görebiliriz. Böylece, Alamouti kod çözümü kuralları şu şekildedir; 𝑠 1 = arg min [( 𝑖=1 Nr 𝑗=1 2 ℎ𝑖𝑗 2 −1) 𝑠1 2 + 𝑠 1−𝑠1 2] 𝑠1 𝑠 2 = arg min [( 𝑖=1 Nr 𝑗=1 2 ℎ𝑖𝑗 2 −1) 𝑠2 2 + 𝑠 2−𝑠2 2] 𝑠2 (6.30) (6.29) ve (6.30) denklemleri, MRRC ve Alamouti sistemlerinin çok düşük işlemsel karmaşıklığa sahip olduğunu göstermektedir.

Örnek 6.1 Bir modulasyonun eşit enerjili sinyal kümelenmesini oluşturduğu bir durumu düşünelim (yani 𝑎𝑖 2 = 𝑎𝑘 2 , i ≠ k ). Bu varsayımda Alamouti kod çözümü kuralları ne olur? (ör. M-PSK, 4QAM gibi) Eşit enerji varsayımında, (6.30)’da köşeli parantez içindeki ilk terimler kullanılan sembollerden bağımsız olarak 𝑠 1 ve 𝑠 2 için aynıdır. Dolayısıyla, köşeli parantez içindeki terimi minimize etmek için sadece ikinci terimleri kullanmamız yeterli olur. Böylece, elde ettiğimiz kod çözümü kuralları: 𝑠 1 = arg min [ 𝑠 1−𝑠1 2] 𝑠1 𝑠 2 = arg min [ 𝑠 2−𝑠2 2] 𝑠2

6.6 Performans Sonuçları Teorik Performans Analizi: 2xNr Alamouti sisteminin performansı ile 1x2Nr MRRC alıcısının performansının aynı Bu gözlemi ve MRRC performansı ile ilgili iyi bilinen teorik sonuçları kullanarak Alamouti alıcısının bit hata oranının kapalı formda ifadelerini yazabiliriz. Alamouti sistemlerinde 2, MRRC sistemlerinde 1 iletici mevcut. Bu iki sistemin teorik tahminlerini yapabilmek için toplam iletim gücünün iki durumda da aynı olduğunu varsaymalıyız. Toplam iletim gücüne Pt, ise , her iki Alamouti ileticisinin iletim gücünü Pt /2’ ye düşürmek gerekir. Her ileticiden alıcıya olan link ile ilgili sinyal-gürültü oranını 𝜌/2 olur. MRRC sisteminin bit hata oranı BERMRRC, sinyal-gürültü oranının bir fonksiyonudur.

BERAlamouti(𝜌) = fMRRC(𝜌/2) Bu fonksiyona fMRRC(𝜌) dersek, Alamouti sisteminin bit hata oranı ile MRRC sisteminin bit hata oranı arasındaki ilişki, BERAlamouti(𝜌) = fMRRC(𝜌/2) Yani, Alamouti kodlaması bit hata oranı ifadesini elde etmek için MRRC ifadesinde her 𝜌’yi 𝜌/2 ile değiştirmek gerekir. Proakis ve Salehi, Rayleigh sönümlenmede farklı modulasyon çeşitleri için MRRC bit hata oranının teorik ifadelerini sunmuşlardır. Koherent demodulasyonlu BPSK ve dik BFSK için ve de koherent olmayan demodulasyonlu DPSK ve dik BFSK için bit hata oranı Pb’nin ifadesi; 𝑃 𝑏 = 1 2 (1− 𝜇) 𝐿 𝑘=0 𝐿−1 𝐿−1+𝑘 𝑘 1 2 (1+ 𝜇) 𝑘 (6.33) 𝜇, Tablo 6.2’de belirtilmiştir. L ise, L = 𝑁𝑟, MRRC 2𝑁𝑟, Alamouti (6.34)

P b = 1 2 1− 𝜇 2−μ 𝑘=0 𝐿−1 2𝑘 𝑘 1− 𝜇 2 4−2 𝜇 2 𝑘 (6.35) Proakis ve Salehi, Gray kodlaması varsayımı ile QPSK ve 4’lü DPSK için bit hata oranı olasılığını ifade etmişlerdir: P b = 1 2 1− 𝜇 2−μ 𝑘=0 𝐿−1 2𝑘 𝑘 1− 𝜇 2 4−2 𝜇 2 𝑘 (6.35) L’nin değeri (6.34) ile elde edilir. 𝜇 ise Tablo 6.3’ten elde edilir. Pb logaritmik ölçekte çizildiğinde, 𝜌 arttıkça (6.33) ve (6.35) doğrusal olmaktadır. 𝜌 dB cinsinden ifade edilir. Bu çizimde eğim –L’ye eşit olduğu için tam çeşitlemeye ulaşılmıştır.

2) Alamouti ve MRRC Sistemlerinin Simülasyonları: Teorik performans analizi: MRRC ve Alamouti için belirli modulasyon durumlarında ve Rayleigh sönümlenmeli ortamlarda kullanılabilir. Kanal sönümlenmesi Rayleigh değilse ya da kullanılan modulasyon listelenmiş yöntemlerden biri değilse, simülasyonlara gerek duyulur. İletilen sembollerin hesaplanması: İletilecek bir sembol serisi hesaplanır. Alamouti kodlama simüle edilirken, simülasyonun her iterasyonu bir çift iletim sembolü alıp bu sembolleri 𝑠1 ve 𝑠2 sembollerine atayarak başlamalıdır. Sonrasında 2x2 Alamouti uzay-zaman kod bloğu Tablo 6.1’deki Alamouti uzay-zaman kodlaması tanımı kullanılarak oluşturulur. MRRC simülasyonu yapılırken, simülasyonun her iterasyonu tek bir iletim sembolünün sembol s’ye atanmasını gerektirir. Bu yüzden uzay-zaman kodlamasına ihtiyaç yoktur.

𝑟𝑖(2) = - 𝜌 ℎ𝑖1𝑠2 ∗+ 𝜌 ℎ𝑖2𝑠1* + 𝑧𝑖(2) , i = 1,..., Nr (6.36) 2) Alınan sinyallerin hesaplanması: Alamouti: İletilen her sembol çifti 𝑠1 ve 𝑠2 için, (6.19)’un değiştirilmiş bir versiyonu ile, alınan sinyaller ri(1) ve ri(2), i = 1,...,Nr hesaplanır. (6.19) normalizasyon sınırlamalarını içermemektedir. Sembol ya da bit hata oranını SNR cinsinden inceleyebilmek için standart normalizasyonlara ihtiyaç vardır: E ℎ𝑖𝑗 2 = E 𝑧𝑖 2 = 1 ve E 𝑠 2 = 1/Nt = ½ Bu normalizasyonlar uygulandığında (6.19)’da bazı değişiklikler olur: 𝑟𝑖(1) = 𝜌 ℎ𝑖1𝑠1 + 𝜌 ℎ𝑖2𝑠2 + 𝑧𝑖(1) 𝑟𝑖(2) = - 𝜌 ℎ𝑖1𝑠2 ∗+ 𝜌 ℎ𝑖2𝑠1* + 𝑧𝑖(2) , i = 1,..., Nr (6.36) 𝜌: Her alıcıdaki SNR

4) ML sezimi kullanarak alınan sembollerin demodülasyonunun yapılması: MRRC: MRRC sisteminin simülasyonunu yaparken (6.4) denkleminde bazı değişiklikler olur: 𝑟𝑖 = 𝜌 ℎ𝑖𝑠 + 𝑧𝑖 , i=1,...,Nr 𝜌: her alıcıdaki SNR Yapılan normalizasyonlar: E ℎ𝑖 2 = E 𝑧𝑖 2 = E 𝑠 2 =1 3) Birleştirici çıktılarının hesaplanması: Alamouti: Her iletim sembolü çifti için, (6.18) denkleminde 𝑟𝑖(1) ve 𝑟𝑖(2)’nin (6.36)’daki denklemleri yerleştirilir. 𝑠 1 ve 𝑠 2 hesaplanır. MRRC simülasyonunu yaparken, 𝑠 , (6.6)’daki denklemde (6.37)’deki denklemi yerleştirerek hesaplanır. 4) ML sezimi kullanarak alınan sembollerin demodülasyonunun yapılması: Her sembol çifti (6.30) denklemi kullanılarak demodüle edilir. Her sembol çifti (6.29) kullanılarak demodüle edilir.

3) Sonuçlar: Üzerinde semboller olan eğriler, her bit hata olasılık değerinin 200 000 bit kullanılarak hesaplanmasıyla elde edilen simülasyon sonuçlarını ifade eder. Her simülasyon eğrisinin yanında teorik tahminlere göre çizilmiş başka bir eğri vardır. Eğimlere dikkat! Alamouti – MRRC farkı 3dB (10log10(Nt) dB )