İSTATİSTİK II Varyans Analizi

Varyans Analizi Üç veya daha fazla anakütle ortalamasının eşitliğinin testi için kullanılır. Hipotezler: H0: µ1 = µ2 = µ3 = . . . = µk H1: En az bir i ≠ j için µi ≠ µj A method to test more than two population means are equal similar to the way we tested two population means equal in Chapter 8. Discussion of why one cannot just test two samples at a time at bottom of page 615.

Varyans Analizi Tanım Üç veya daha fazla anakütle ortalamasının eşitliğinin, örnek varyasyonlarının analizi yolu ile test etmek için kullanılan bir yöntemdir. page 615 of text

Yakıt Tüketim Verileri (galon başına mil) Örnek Aynı sınıfta yer alan üç ayrı marka otomobilin ortalama yakıt tüketimleri karşılaştırılmak istenmektedir. Bunu test etmek için 20 sürücünün yedisi A, yedisi B, altısı da C arabalarına rastgele (rassal olarak) atanmıştır. Yakıt Tüketim Verileri (galon başına mil) A arabaları B arabaları C arabaları Toplam 22.2 19.9 20.3 21.4 21.2 21.0 146.3 24.6 23.1 22.0 23.5 23.6 22.1 162.4 22.7 21.9 23.3 24.1 23.4 137.4

Tek Yönlü Varyans Analizi Varsayımlar 1. Anakütlelerin dağılışı normaldir. 2. Anakütleler aynı varyanslıdırlar. (Anakütlelerin varyansı 2’dir.) 3. Örnekler basit şans örnekleridir. 4. Örnekler birbirlerinden bağımsızdır. page 617 of text The requirements of normality and equal variances are somewhat relaxed, because the methods in this section work reasonably well unless a population has a distribution that is very nonnormal or the population variances differ by large amounts.

K Anakütleden Alınmış Bağımsız Şans Örneklerinin Gözlemleri 1 2 … K x11 x12 . x1n1 x21 x22 x2n2 xK1 xK2 xKnK

Notasyon x = genel ortalama K = karşılaştırılan anakütle ortalama sayısı ni = i. Örnekteki veri sayısı xi = i. Örnek ortalaması

Örnek: Tüketim Verileri İçin Hesaplamalar

Grup İçi Değişkenlik GİKT = KT1 + KT2 + … + KTK GİKT = Grup İçi Kareler Toplamı

Örnek: Tüketim Verileri İçin GİKT Hesaplamaları

Gruplar Arası Değişkenlik GAKT = Gruplar Arası Kareler Toplamı

Örnek: Tüketim Verileri İçin GAKT Hesaplamaları

Toplam Değişkenlik GKT = Genel Kareler Toplamı GKT = GİKT + GAKT Örnek verileri için GKT, GKT = 12.18 + 21.5495 = 33.7295

Anakütle Ortalamalarının Eşitliğinin Testi Anakütle ortalamalarının eşitliğinin testi, K tane anakütlenin ortak bir varyansı olduğu varsayımına dayanır. Anakütle ortalamalarının hepsi aynıdır hipotezi doğruysa, GİKT ve GAKT anakütle varyansını tahmin etmede kullanılabilir. Bu tahminleri elde etmek için serbestlik derecelerine bölmek gerekmektedir.

Anakütle Varyansının Sapmasız Tahminleyicileri GİKO = Grup İçi Kareler Ortalaması GAKO = Gruplar Arası Kareler Ortalaması

Örnek: Tüketim Verileri İçin GİKO ve GAKO Hesaplamaları

Test İstatistiği ve Ret Bölgesi F = Örnekler arası varyans Örnekler içi varyans F > F, K – 1, n – K ise H0 RET.

Örnek: Tüketim Verileri İçin F İstatistiği ve Karar K – 1 = 2 ve n – K = 17.  = 0.01 için F0.01, 2, 17 = 6.11 < F = 15.04 H0 RET.

Varyans Analizi Tablosu (VAT) Değişkenlik Kaynağı Kareler Toplamı Serbestlik Dereceleri Kareler Ortalaması F Oranı Gruplar Arası GAKT K – 1 GAKO = GAKT / (K – 1) GAKO GİKO Gruplar İçi GİKO n – K GİKO = GİKT / (n – K) Genel GKT n – 1

Varyans Analizi Tablosu (VAT) Değişkenlik Kaynağı Kareler Toplamı Serbestlik Dereceleri Kareler Ortalaması F Oranı Gruplar Arası 21.5495 2 10.7748 15.04 Gruplar İçi 12.1800 17 0.7165 Genel 33.7295 19