ELE 561 Kablosuz Haberleşme Uzay Zaman Kodlama

7.1 Giriş Uzay Zaman Kodları Normal hata düzelten kodlarda kod oranı Uzay zaman blok kodları Dikgen uzay zaman blok kodları Ör. Alamouti Dikgen olmayan uzay zaman blok kodları Uzay zaman trellis kodları Normal hata düzelten kodlarda kod oranı 𝑟 𝑡 = 𝑘 𝑛 𝑟 𝑡 = 𝐾𝑜𝑑 𝑘𝑒𝑙𝑖𝑚𝑒𝑠𝑖 𝑏𝑎ş𝚤𝑛𝑎 𝑏𝑖𝑙𝑔𝑖 𝑠𝑒𝑚𝑏𝑜𝑙ü 𝑠𝑎𝑦𝚤𝑠𝚤 𝑘 𝑏𝑖𝑙𝑔𝑖 𝑠𝑒𝑚𝑏𝑜𝑙ü𝑛ü çö𝑧𝑚𝑒𝑘 𝑖ç𝑖𝑛 𝑔𝑒𝑟𝑒𝑘𝑒𝑛 𝑠𝑒𝑚𝑏𝑜𝑙 𝑠ü𝑟𝑒𝑠𝑖 𝑠𝑎𝑦𝚤𝑠𝚤

7.1 Giriş – STBC Kod Oranı Uzay zaman kod kelimesi 𝑁 𝑡 ×𝑝 dizi 𝑟 𝑠 = 𝑘 𝑝 = 𝑘𝑜𝑑 𝑘𝑒𝑙𝑖𝑚𝑒𝑠𝑖𝑛𝑑𝑒𝑘𝑖 𝑏𝑖𝑙𝑔𝑖 𝑠𝑒𝑚𝑏𝑜𝑙ü 𝑠𝑎𝑦𝚤𝑠𝚤 𝑘𝑜𝑑 𝑘𝑒𝑙𝑖𝑚𝑒𝑠𝑖𝑛𝑖𝑛 𝑠𝑒𝑚𝑏𝑜𝑙 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑦𝑜𝑑𝑢 𝑠𝑎𝑦𝚤𝑠𝚤 1≤𝑘≤𝑝 𝑁 𝑡 kod oranı 1’den büyük olabilir Yine de 𝑟 𝑠 =1 full-rate 𝑟 𝑠 : symbols per channel use Spektral verimlilik 𝑘 log 2 𝑀 𝑟 𝑡 bit/kod kelimesi 𝑅 𝑏 = 𝑘 log 2 𝑀 𝑟 𝑡 𝑝 𝑇 𝑠 bit/sn 𝜂= 𝑅 𝑏 1/ 𝑇 𝑠 = 𝑘 log 2 𝑀 𝑟 𝑡 𝑝 = 𝑟 𝑠 𝑟 𝑡 log 2 (𝑀) bps/Hz

7.1 STBC Taksonomisi

7.2 Uzay Zaman Kod Tasarım Kriterleri Tarokh, Seshadri, Calderbank (1998) İkili hata oranı (PEP) ST Kod matrisi 𝑺 𝑖 başka bir kodkelimesi 𝑺 𝑘 ile karıştırılırsa - ℰ 𝑖𝑘 olayı 𝑃 𝑒 = Pr ℰ 𝑖0 ∪ ℰ 𝑖1 ∪… ℰ 𝑖,𝑖−1 ∪ ℰ 𝑖,𝑖+1 ∪…∪ ℰ 𝑖𝐾−1 𝑃 𝑒 ≤ 𝑘≠𝑖 Pr ℰ 𝑖𝑘 = 𝑘≠𝑖 Pr 𝑺 𝑖 → 𝑺 𝑘 Union Bound 𝑹= 𝜌 𝑯𝑺+𝒁 ML: 𝑺 = arg min 𝑺 𝑹− 𝜌 𝑯𝑺 𝐹 2 (Appendix C) Pr 𝑺→𝑬|𝑯 = Pr 𝑹− 𝜌 𝑯𝑺 𝐹 2 > 𝑹− 𝜌 𝑯𝑬 𝐹 2

7.2 Uzay Zaman Kod Tasarım Kriterleri Pr 𝑺→𝑬|𝑯 = Pr 𝒁 𝐹 2 > 𝒁− 𝜌 𝑯 𝑺−𝑬 𝐹 2 𝑫≜𝑯 𝑺−𝑬 𝒁 𝐹 2 = 𝑘=1 𝑝 𝑖=1 𝑁 𝑟 𝑧 𝑖 𝑘 2 𝒁− 𝜌 𝑫 𝐹 2 = 𝑘=1 𝑝 𝑖=1 𝑁 𝑟 𝑧 𝑖 𝑘 − 𝜌 𝑑 𝑖 𝑘 2 Pr 𝑺→𝑬|𝑯 = Pr 𝑘=1 𝑝 𝑖=1 𝑁 𝑟 𝑧 𝑖 𝑘 2 > 𝑘=1 𝑝 𝑖=1 𝑁 𝑟 𝑧 𝑖 𝑘 − 𝜌 𝑑 𝑖 𝑘 2 Pr 𝑘=1 𝑝 𝑖=1 𝑁 𝑟 𝑧 𝑖 𝑘 2 > 𝑘=1 𝑝 𝑖=1 𝑁 𝑟 𝑧 𝑖 𝑘 − 𝜌 𝑑 𝑖 𝑘 2 Pr 𝑺→𝑬|𝑯 = Pr 𝑘=1 𝑝 𝑖=1 𝑁 𝑟 2 𝑧 𝐼𝑖 𝑘 𝑑 𝐼𝑖 𝑘 + 𝑧 𝑅𝑖 𝑘 𝑑 𝑅𝑖 𝑘 > 𝜌 𝑫 𝐹 2 Pr 𝑘=1 𝑝 𝑖=1 𝑁 𝑟 2 𝑧 𝐼𝑖 𝑘 𝑑 𝐼𝑖 𝑘 + 𝑧 𝑅𝑖 𝑘 𝑑 𝑅𝑖 𝑘 > 𝜌 𝑫 𝐹 2 Olasılık içindeki eşitsizliğin sol tarafı Gauss dağılımlı ~𝒩 0, 𝑫 𝐹 2

7.2 Uzay Zaman Kod Tasarım Kriterleri Pr 𝑺→𝑬|𝑯 =𝑄 𝜌 2 𝑫 𝐹 ≤ 1 2 𝑒 − 𝜌 𝑫 𝐹 2 4 𝑫≜𝑯 𝑺−𝑬 = 𝒉 1 𝑺−𝑬 ; 𝒉 2 𝑺−𝑬 ;…; 𝒉 𝑁 𝑟 𝑺−𝑬 𝑫 𝐹 2 = 𝑖=1 𝑁 𝑟 𝒉 𝑖 𝑺−𝑬 𝑺−𝑬 𝐻 𝒉 𝑖 𝐻 = 𝑖=1 𝑁 𝑟 𝒉 𝑖 𝑨 𝒉 𝑖 𝐻 𝑨= 𝑺−𝑬 𝑺−𝑬 𝐻 : kod kelimesi fark matrisi (Hermitian) 𝑨=𝑼𝚲 𝐔 H , 𝚲=diag 𝜆 1 , 𝜆 2 ,…, 𝜆 𝑁 𝑡 , U unitary matris 𝑫 𝐹 2 = 𝑖=1 𝑁 𝑟 𝒉 𝑖 𝑼𝚲 𝐔 H 𝒉 𝑖 𝐻 = 𝑖=1 𝑁 𝑟 𝑗=1 𝑁 𝑡 𝜆 𝑗 𝛽 𝑖,𝑗 2 𝛽 𝑖,𝑘 ≜ 𝑗=1 𝑁 𝑡 𝑢 𝑗,𝑘 ℎ 𝑖,𝑗 Pr 𝑺→𝑬|𝑯 ≤ 1 2 exp 𝜌 4 𝑖=1 𝑁 𝑟 𝑗=1 𝑁 𝑡 𝜆 𝑗 𝛽 𝑖,𝑗 2 = 1 2 𝑖=1 𝑁 𝑟 𝑗=1 𝑁 𝑡 exp − 𝜌 4 𝜆 𝑗 𝛽 𝑖,𝑗 2

7.2 Uzay Zaman Kod Tasarım Kriterleri Rayleigh sönümlü kanal 𝛽 𝑖,𝑘 ≜ 𝑗=1 𝑁 𝑡 𝑢 𝑗,𝑘 ℎ 𝑖,𝑗 ~𝒞𝒩(0,1) Unitary matris özelliklerinden Gauss r.d.’lerin doğrusal bileşeni ve unitary matrislerin özelliklerinden 𝑓 𝛽 𝑖,𝑗 2 𝑦 = 1 2 𝜎 2 𝑒 −𝑦/2 𝜎 2 = 𝑒 −𝑦 Pr 𝑺→𝑬 ≤ 1 2 0 ∞ Pr 𝑺→𝑬 𝑓 𝛽 𝑖,𝑗 2 𝑦 𝑑𝑦 Pr 𝑺→𝑬 ≤ 1 2 0 ∞ 𝑖=1 𝑁 𝑟 𝑗=1 𝑁 𝑡 𝑒 − 𝜌 4 𝜆 𝑗 𝑦 𝑒 −𝑦 𝑑𝑦 Pr 𝑺→𝑬 ≤ 1 2 1 𝑗=1 𝑁 𝑟 1+ 𝜌 𝜆 𝑖 4 𝑁 𝑟

7.2 Uzay Zaman Kod Tasarım Kriterleri Rice sönümlü kanal Tarokh et.al. Pr 𝑺→𝑬 ≤ 1 2 𝑖=1 𝑁 𝑟 𝑗=1 𝑁 𝑡 1 1+ 𝜌 𝜆 𝑖 4 exp − 𝐾 𝑖,𝑗 𝜌 𝜆 𝑗 /4 1+ 𝜌 𝜆 𝑖 4 𝐾 𝑖𝑗 : LOS faktörü Sıfıra gittiğinde Rayleigh ifadesi oluşur

7.2.4 Özet Rayleigh lim 𝜌→∞ Pr 𝑆→𝐸 ≤ 1 2 1 4 𝑗=1 𝑟 𝜆 𝑗 1 𝑟 𝜌 −𝑟 𝑁 𝑟 Rice lim 𝜌→∞ Pr 𝑆→𝐸 ≤ 1 2 1 4 𝑗=1 𝑟 𝜆 𝑗 1 𝑟 𝑖=1 𝑁 𝑟 𝑗=1 𝑟 𝑒 − 𝐾 𝑖,𝑗 − 1 𝑟 𝑁 𝑟 𝜌 −𝑟 𝑁 𝑟 Pr 𝑆→𝐸 ≤ 1 2 1 4 𝑗=1 𝑟 𝜆 𝑗 1 𝑟 𝑖=1 𝑁 𝑟 𝑗=1 𝑟 𝑒 − 𝐾 𝑖,𝑗 − 1 𝑟 𝑁 𝑟 𝜌 −𝑟 𝑁 𝑟 Kod kelimesi hata oranı 𝑃 𝑊 ≅1− 1− 𝑃 𝑚 𝑁 ≈𝑁 𝑃 𝑚 𝑃 𝑏 ≈ 𝑃 𝑤 𝑁 log 2 𝑀 (Gray coding varsayımıyla) Çeşitleme kazancı 𝐺 𝑑 =𝑟 𝑁 𝑟 Tam çeşitleme ( 𝑁 𝑡 𝑁 𝑟 ) için 𝑟= 𝑁 𝑡 , yani 𝑨 tam rank olmalı (bütün kod kelime çiftleri için) Buna rank kriteri deniyor

7.2.4 Özet Kodlama kazancı ( 𝐺 𝑐 ) : Denklem 1.3’ü hatırlayın Rayleigh: G c = 1 4 𝑗=1 𝑟 𝜆 𝑗 1 𝑟 Rice : G c = 1 4 𝑗=1 𝑟 𝜆 𝑗 1 𝑟 𝑖=1 𝑁 𝑟 𝑗=1 𝑟 𝑒 − 𝐾 𝑖,𝑗 − 1 𝑟 𝑁 𝑟 𝑨 tam rank ise: (1.9.2-(p)’den) 𝑗=1 𝑟 𝜆 𝑗 =det⁡(𝑨) Kriterler Rank kriteri: Tam çeşitleme için 𝐀= 𝑺−𝑬 𝑺−𝑬 𝐻 her 𝑺 𝑣𝑒 𝑬 için tam rank olmalı. Minimum rank r ise çeşitleme kazancı 𝑟 𝑁 𝑟 olur Determinant kriteri (Rayleigh için): 𝐀= 𝑺−𝑬 𝑺−𝑬 𝐻 matrisinin en düşük determinantı maksimize edilirse kodlama kazancı maksimize olur Kodlama avantajı kriteri (Rice için): 1 4 𝑗=1 𝑟 𝜆 𝑗 1 𝑟 𝑖=1 𝑁 𝑟 𝑗=1 𝑟 𝑒 − 𝐾 𝑖,𝑗 − 1 𝑟 𝑁 𝑟 maksimize olursa kodlama kazancı maksimize olur En önemli kriter rank kriteri

7.3 Dikgen Uzay Zaman Blok Kodları (OSTBC) İyi uzay zaman kodları ( 𝑁 𝑡 ×𝑝) bulmak için bir çerçeve sunuluyor Kod kelime matrisinin her hanesi kodlanan k adet sembolün doğrusal kombinasyonu Satırlar dik (𝑠𝑎𝑡𝚤 𝑟 𝑖 ∙𝑠𝑎𝑡𝑖 𝑟 𝑗 𝐻 =0, 𝑖≠ 𝑗) 𝑝≥ 𝑁 𝑡 olduğu durumda Örnek: Alamouti 𝒢 2 = 𝑠 1 − 𝑠 2 ∗ 𝑠 2 𝑠 1 ∗ , 𝑠𝑎𝑡𝚤 𝑟 1 ×𝑠𝑎𝑡𝚤 𝑟 2 𝐻 =0 7.3.1. Gerçel, karesel kodlar ( 𝑟 𝑠 =1 ve bütün semboller gerçel) (Tarokh, Jafarkhani, Calderbank) BPSK, PAM, ASK

7.3 Dikgen Uzay Zaman Blok Kodları (OSTBC) 7.3.2 Gerçel, kare olmayan uzay zaman kodları Potansiyel olarak sonsuz kod var (Tarokh 1999) Kod oranı yine 1 𝑝 𝑚𝑖𝑛 = min 𝑐,𝑑|𝑐≥0,0≤𝑑≤4,8𝑐+ 2 𝑑 ≥ 𝑁 𝑡 2 4𝑐+𝑑

7.3 Dikgen Uzay Zaman Blok Kodları (OSTBC) 7.3.3 Karmaşık Dikgen Uzay Zaman Kodları MPSK, QAM gibi kiplemeler kullanılabilir, 𝑟 𝑠 ≤1 olmak durumunda Sadece Alamouti için 1 Dikgen kodlar basit kod çözümüne sahip

7.3 Dikgen Uzay Zaman Blok Kodları (OSTBC) 7.3.4 Kodçözümü 𝑹=𝑯𝑺+𝒁 (7.66) 𝑆 = arg min 𝑺 𝑹−𝑯𝑺 𝐹 2 = arg min 𝑺 𝑘=1 𝑝 𝑖=1 𝑁 𝑟 𝑟 𝑖 𝑘 − 𝑗=1 𝑁 𝑡 ℎ 𝑖,𝑗 𝑐 𝑗 (𝑘) 2 Örn Alamouti 𝑐 1 1 = 𝑠 1 , 𝑐 1 2 =− 𝑠 2 ∗ , 𝑐 2 1 = 𝑠 2 , 𝑐 2 2 = 𝑠 1 ∗ Yukarıdaki ifadeyi yazarsak geçen konuda Alamouti kod çözümü için bulunan ifadeyi elde ederiz. Appendix D: Diğer OSTBC’ler için kod çözme kuralları

7.3 Dikgen Uzay Zaman Blok Kodları (OSTBC)

7.3 Dikgen Uzay Zaman Blok Kodları (OSTBC) 7.3.5 Simulasyon Alamouti kodunda olduğu gibi semboller üretilip (7.66) sistem denkleminden geçirilir ve Appendix D’deki kod çözme kuralları uygulanır. Yalnız (7.66) normalize olmayan kanal matrisi kullanıyor Normalize kanal denklemi 𝑹= 𝜌 𝑯𝑺+𝒁 𝑯′= 𝜌 𝑯 kullanılarak Appendix D’deki kod çözme kuralları uygulanır

Aşağıdaki yöntemlerin hepsi 1bps/Hz spektral verimliliğe sahip Hepsinde 𝑁 𝑟 =1 Hepsinde 𝑟 𝑡 =1 (Konvansiyonel kodlar kullanılmamış) Tam çeşitlilik sağlanmış

7.4 Uzay Zaman Kafes Kodları Kod çözümü çok daha karmaşık