TİTREŞİM VE DALGALAR Periyodik Hareketler: Belirli aralıklarla tekrarlanan harekete periyodik hareket denir. Sabit bir nokta etrafında periyodik hareket yapan cismin hareketine titreşim hareketi denir. Genellikle sinüs veya cosinüs fonksiyonları olarak ifade edilen periyodik hareketlere harmonik hareket denir. Böyle hareket yapan bir parçacığın hiçbir kuvvetin etkisinde kalmadığı konuma denge konumu ve herhangi bir andaki konumunun denge konumuna olan uzaklığına uzanım denir. Parçacığı denge konumuna geri getirmeye çalışan kuvvet, uzanımla orantılı ise bu titreşim hareketine basit harmonik hareket (BHH) denir. Basit harmonik harekette uzanımın zamanla değişimi basit bir sinüs eğrisidir. Bu nedenle basit harmonik harekete sinüzoidal hareket denir. Maksimum uzanıma genlik denir.

TİTREŞİM VE DALGALAR Titreşim bir denge noktası etrafındaki mekanik salınımdır. Bu salınımlar bir sarkaçın hareketi gibi periyodik olabileceği gibi çakıllı bir yolda tekerleğin hareketi gibi rastgele de olabilir.    Dalga Bir ortamın, uzamış ya da yayılmış bir cismin tüm noktalarının kendi denge durumları çevresinde yaptıkları titreşim hareketlerinin topluca görünümüne, dalga hareketi denir. Başka bir tanımla, dalga bir ortamın (katı, sıvı, gaz hatta plazma olabilir) maruz kaldığı etkiyi iletmesidir.

Titreşim ve dalgalara örnekler: Boyuna ses dalgası İpte enine dalga

BÖLÜM 1 1.1. PERİYODİK HAREKET Bütün titreşen cisimler aynı hareketi defalarca yaparlar. Böyle hareketlere periyodik hareket denir. Uzamayan fakat kolayca bükülebilen ve kütlesi ihmal edilebilen bir ipin ucuna asılmış bir kürecikten oluşan düzeneğe basit sarkaç denir. Şekil 1.1'deki basit sarkaç bir yönde çekilip bakılırsa, ileri ve geri hareket yaparak titreşir. Şekil 1.1 Periyodik hareket yapan bir sarkaç Titreşimin periyodu, hareketin bir tam salınımı için geçen zamandır. Şekil 1.1'deki sarkacın periyodu, A’dan C ’ye ve tekrar A 'ya dönmesi için geçen süredir.

Titreşimin frekansı, birim zamanda sistem tarafından tamamlanan titreşim devirlerinin sayısıdır. Çoğunlukla frekans, saniyedeki devir sayısı (s-1) olarak ifade edilir. Frekansın birimi, SI sisteminde hertz (Hz) 'dir (1 Hz = s-1). Periyot T, frekans f ile gösterilirse, aralarında; f.T = 1 bağıntısı vardır. Bu bağıntı bütün periyodik hareketlere uygulanır. Parçacığın titreşim hareketi yapmadığı zamanki denge durumundan itibaren en büyük yer değiştirmesine genlik denir.

1.2. BASİT HARMONİK HAREKET (BHH) Bir denge durumu etrafında salınım hareketi yapan ve denge durumuna uzaklığı ile zıt yönde bir geri çağırıcı kuvvetle orantılı olan maddesel bir noktanın hareketine basit harmonik hareket denir. Kuvvet sabiti k olan bir yaya bağlı, sürtünmesiz yatay bir düzlemde serbestçe hareket eden ve kütlesi m olan bir cisim, bir basit harmonik harekete örnek oluşturur . Bu tanıma göre blok-yay sistemi için geri çağırıcı kuvvet, F = −kx olarak yazılır. x = denge durumuna uzaklık (uzanım), k =kuvvet sabitidir.

Düzgün Dairesel Hareket → BHH ilişkisi Düzgün dairesel hareket yapan bir taneciğin yörünge düzleminin bir doğrusu üzerindeki izdüşümünün hareketi de basit harmonik harekettir . Düzgün dairesel hareket yapan bir P noktasının herhangi bir anda x-ekseni üzerindeki izdüşümünün denge noktasına uzaklığı, x = Asinθ dır. θ = wt olduğundan, (burada w sabittir) Yer değiştirme: Hız : İvme: 8

Dönme Vektörü ile Basit Harmonik Hareketin (BHH) Tanımlanması: Büyüklüğü r olan OP vektörünün O noktası etrafında w açısal hızı ile döndüğünü varsayalım (şekil 1.5) (P noktası düzgün dairesel hareket yapıyor). Şekildeki P noktasının +x ekseni ile yaptığı açıyı   = wt olarak açısal hıza bağlı yazabiliriz. P noktasının x-ekseni ve y-ekseni üzerindeki izdüşümü için, sırasıyla 𝑥=𝐴 𝑐𝑜𝑠𝑤𝑡 (1.1) 𝑦=𝐴 𝑠𝑖𝑛𝑤𝑡 (1.2) İfadelerini yazabiliriz. Hareket –A ile +A arasında, x-ekseninde (1.1) ve y-ekseninde (1.2) ifadesi ile verilen basit harmonik hareket yapar. A niceliğine hareketin genliği denir.

Düzgün Dairesel Hareketin Polar Koordinatlarda Analizi: OP vektörü orijinden parçacığın bulunduğu noktaya giden yer vektörü ve bu vektörün boyunu r ve x-ekseninin pozitif tarafı ile yaptığı açıyı  olarak seçelim. Bu durumda P noktasının yerini P(r, ) polar koordinatlarıyla belirleyebiliriz. x = rcos ve y = rsin OP = xi + yj = rcosi+ rsinj Dik koordinatlar ile polar koordinatlar arasındaki ilişki: Bu ifadeyi başka bir şekilde yazabiliriz r = x + iy x: x eksenindeki yer değiştirme iy: y eksenindeki yer değiştirme Bu eşitlik aslında z=a+ib şeklinde yazılan kompleks niceliğine denktir.

KOMPLEKS SAYILAR: a ve b nicelikleri reel sayılar olmak üzere, a ve b’nin z=a+ib şeklindeki toplamı komplex sayıdır. Çağdaş mühendislik alanında yer alan titreşim hareketleri, harmonik salınımlar, sönümlü titreşimler, , değişken akımlar, dalga olaylarının incelenmesinde uygun bir matematik dilidir.

ib niceliğini oluşturmak için, x-ekseni boyunca b kadarlık bir mesafe ilerlenir ve sonra y-ekseni boyunca b uzunluğunda bir yer değiştirme olması için 90° döndürülür. i2b niceliğini oluşturmak için, önce ib oluşturulur ve ona 90°’lik bir dönme daha uygulanır. i2b = i (ib) = -b Arka arkaya 90°’lik iki dönme pozitif x-ekseni boyunca b yer değiştirmesini, negatif x-ekseni boyunca –b yer değiştirmesine döndürmektedir. Buradan cebirsel bir eşitlik elde ederiz:

Buradan cebirsel bir eşitlik elde ederiz: Geometrik olarak Şekilde görüldüğü gibi tan = b/a olacak şekilde x-ekseninden itibaren belli bir  açısı yapan eksen boyunca bir yer değiştirme söz konusudur. Bir kompleks sayı ile bir vektörü bu şekilde temsil ederek BHH’i analiz etmek için fiziksel olarak uygun bir yönteme sahip olmuş olduk. Bu yöntemle bir titreşim hareketi problemini çözdükten sonra, a ve b değerleri reel olan, z = a + ib şeklinde bir sonuç elde edilir. a istenen nicelik olup b ise ihmal edilebilir.

BU FONKSİYON İLE BASİT HARMONİK HAREKETİN TANIMLANMASI KOMPLEX ÜSTEL FONKSİYON VE BU FONKSİYON İLE BASİT HARMONİK HAREKETİN TANIMLANMASI Kompleks üstel fonksiyonu tanımlamak ve ele almak titreşim problemlerini kolaylaştırması bakımından önemlidir. Titreşimlerin analizinde, periyodik yer değiştirme ve bu yer değiştirmenin zamana göre birinci türevi olan hız ve ikinci türevi olan ivme ile ilgileneceğiz. Hareketi tanımlayan yer değiştirme, hız ve ivme ifadeleri sinüs ve cosinüs’lü terimleri içerir. Bunun için Taylor teoremi kullanılarak sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının seriye açılımları yapılırsa 𝑓 𝑥 =𝑓 0 +𝑥 𝑓 ′ 0 + 𝑥 2 2! 𝑓′′0)+⋯

𝑐𝑜𝑠𝜃+𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃=1+𝑖𝜃− 𝜃 2 2! −𝑖 𝜃 3 3! + 𝜃 4 4! +𝑖 𝜃 5 5! ⋯ 𝑠𝑖𝑛𝜃=𝜃− 𝜃 3 3! + 𝜃 5 5! ⋯ 𝑐𝑜𝑠𝜃=1− 𝜃 2 2! + 𝜃 4 4! ⋯ Şimdi aşağıdaki toplamı yaparsak  𝑐𝑜𝑠𝜃+𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃=1+𝑖𝜃− 𝜃 2 2! −𝑖 𝜃 3 3! + 𝜃 4 4! +𝑖 𝜃 5 5! ⋯   -1 yerine i2 yazıp yeniden düzenlenirse, 𝑐𝑜𝑠𝜃+𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃=1+𝑖𝜃+ (𝑖 𝜃) 2 2! + (𝑖𝜃) 3 3! + (𝑖 𝜃) 4 4! + (𝑖 𝜃) 5 5! +⋯+ (𝑖 𝜃) 𝑛 𝑛! ifadesi elde edilir. Bu eşitliğin sağ tarafı 𝑒 𝑖𝜃 ’nın seri açılımıdır. Bu durumda eşitlik   𝑐𝑜𝑠𝜃+𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃= 𝑒 𝑖𝜃 olarak yazılabilir. (EULER eşitliği: Leonhard EULER tarafından 1748’de elde edilmiştir.) Genellikle 𝑒 𝑖𝜃 ile bir z kompleks sayısının çarpımı, z’nin uzunluğunu değiştirmeden  açısı kadar dönmesini tanımlar.

𝑥=𝐴𝑐𝑜𝑠 𝑤𝑡+𝛼 ve y=𝐴𝑠𝑖𝑛 𝑤𝑡+𝛼 Örneğin BHH için,   𝑥=𝐴𝑐𝑜𝑠 𝑤𝑡+𝛼 ve y=𝐴𝑠𝑖𝑛 𝑤𝑡+𝛼 𝑣= 𝑑𝑥 𝑑𝑡 =−𝑤𝑠𝑖𝑛 𝑤𝑡+𝛼 𝑎= 𝑑𝑣 𝑑𝑡 = 𝑑 2 𝑥 𝑑𝑡 2 =− 𝑤 2 𝑐𝑜𝑠 𝑤𝑡+𝛼 =− 𝑤 2 𝑥   şeklindedir. Diğer taraftan, x ve y’nin x+iy şeklindeki bir toplamı ile ilgileniyorsak aşağıdaki ifadeyi yazabiliriz. 𝑧=𝐴𝑐𝑜𝑠 𝑤𝑡+𝛼 +𝑖𝐴𝑠𝑖𝑛 𝑤𝑡+𝛼 =𝐴 𝑒 𝑖(𝑤𝑡+𝛼) Bu ifadede x, z’nin reel kısmını göstermektedir. Hız ve ivmeye karşılık elde edilecek vektörler,   𝑑𝑧 𝑑𝑡 =𝑖𝑤𝐴 𝑒 𝑖 𝑤𝑡+𝛼 =𝑖𝑤𝑧 𝑑 2 𝑧 𝑑𝑡 2 = (𝑖𝑤) 2 𝐴 𝑒 𝑖 𝑤𝑡+𝛼 =− 𝑤 2 𝑧

Bu üç vektör Şekil 1. 9’de gösterilmiştir Bu üç vektör Şekil 1.9’de gösterilmiştir. Üç vektör arasındaki faz ilişkisinde görüldüğü gibi, her bir i değeri faz açısında /2 kadarlık bir artışa karşılık gelir. 𝑧=𝐴𝑐𝑜𝑠 𝑤𝑡+𝛼 +𝑖𝐴𝑠𝑖𝑛 𝑤𝑡+𝛼 =𝐴 𝑒 𝑖(𝑤𝑡+𝛼) 𝑑𝑧 𝑑𝑡 =𝑖𝑤𝐴 𝑒 𝑖 𝑤𝑡+𝛼 =𝑖𝑤𝑧 𝑑 2 𝑧 𝑑𝑡 2 = (𝑖𝑤) 2 𝐴 𝑒 𝑖 𝑤𝑡+𝛼 =− 𝑤 2 𝑧 Şekil 1.9. Vektörlerin reel eksen üzerindeki izdüşümleri. a) z yer değiştirme vektörü ) Hız vektörü ) İvme vektörü