Dinamik Sistem T=R sürekli zaman Dinamik sistem: (T, X, φt ) T zaman Hatırlatma Dinamik Sistem T=R sürekli zaman Dinamik sistem: (T, X, φt ) T zaman φt : X X T=Z ayrık zaman a1) φ0=I a2) φt+s =φt ◦ φs ▪ X=Rn X durum uzayı X=Cn Yörünge: Or(xo) xo ilk koşulundan başlayan bir yörünge, x durum uzayının sıralı bir alt kümesidir. Dinamik sistem bir küme durumları belirten ve bir kural durumların zamanda gelişimini belirten oluşuyor.Durum uzayı icin: (Kuznetsov sf. 3-5) The state space has a certain natural structure alowing for comparision between different states. More specifically, a distance d between two states is defined making these sets metric spaces. ... Discrete time systems appear naturally in ecology and economics when the state of a system at a certain moment of time t completely determines its state after a year, say at t+1

Hatırlatma Lineer otonom sistem Lojistik dönüşüm Surekli zaman icin yorunge zamanda gelisim fonksiyonu surekli ise durum uzayında eğriler ayrik zaman icin durum uzayında noktalardan oluşmuş seri

Denge noktası- Sabit nokta: Hatırlatma denge noktası-sabit nokta Denge noktası-Sabit nokta nasıl belirlenir? Ayrık Zaman Sürekli Zaman Çevrim: periyodik yörüngesi Çevrimdir. Ayrık Zaman Sürekli Zaman Y.A. Kuznetsov, “Elements of Applied Bifurcation Theory”3rd Edition, Springer, 2004,

Sürekli zaman, dinamik bir sisteme ait bir çevrimin komşuluğunda başka Hatırlatma Limit Çevrim: Sürekli zaman, dinamik bir sisteme ait bir çevrimin komşuluğunda başka bir çevrim yoksa bu çevrim Limit Çevrimdir. Hangisi çevrim, hangisi limit çevrim? Faz Portresi: Dinamik bir sistemin durum uzayının yörüngeler ile bölümlenmesi faz portresini verir. Bu yörüngeleri birbirinden farklı kılan nedir? Faz portresine bakarak neleri anlayabiliriz?

Değişmez Küme (S) : Değişmez küme sistemin asimptotik durumları hakkında bilgi veriyor. Dinamik sistemin yörüngelerini içeriyor ve her yörünge bir değişmez küme. Durum uzayı bir metrik uzay ise kapalı değişmez kümeleri tanımlayabiliriz. En basit kapalı değişmez alt küme Kapali: M metrik uzay X’in alt kumesi olmak uzere acik kumedir eger her x elemani M icin bir B acik yuvari varsa. K’nin X’deki tumleyenleri acik ise K kapali kumedir. Denge noktası, limit çevrim Manifold Tuhaf çekici

Değişmez kümeleri gözlemeleyebilmemiz için kolayca bulabilmemiz gerek, bu ne zaman olası? Civarlarındaki yörüngeler de zaman ilerledikçe değişmez kümeye yaklaşırsa Kararlı değişmez küme: tam metrik uzay kapalı değişmez küme Lyapunov anlamında kararlılık Bu tanımı değişmez küme tanımından farklı kılan ne? ‘nun yeterince küçük herhangi bir komşuluğunda bir komşuluğu var öyle ki ‘nun bir komşuluğu vardır öyle ki Değişmez Küme (S) : Asimptotik kararlılık Burada kararlilik icin yapilan tanimin denge noktasi icin yaptigimiz kararliliktan farkli oldugunu belirtmek gerek. Ozellikle asimptotik kararlilik icin lyapunov anlaminda kararliligin gerekmedigi vurgulanmali. Degismez kume taniminda kumenin icinden basliyor ve kumenin icinde kaliniyor burada ise kumenin bir komsulugundaki noktalardan da baslanilsa kumeye geliniyor. Lyapunov anlamında kararlılık Y.A. Kuznetsov, “Elements of Applied Bifurcation Theory”3rd Edition, Springer, 2004,

Lyapunov anlamında kararlılık nasıl tanımlanmıştı, hatırlayalım Tanım: Lyapunov anlamında kararlılık sistemine ilişkin bir denge noktası olsun. Verilen herhangi bir için eşitsizliği eşitsizliğini gerektirecek şekilde bir bulunabiliyorsa denge noktası Lyapunov anlamında kararlıdır. Denge noktası kararlı olsun. ise denge noktası asimptotik kararlıdır.

Bir başka Lyapunov anlamında kararlılık verilen sistemin herhangi bir çözümü olsun Tanım: Lyapunov anlamında kararlılık (Wiggens, sf.7) sistemine ilişkin bir çözüm olsun. Verilen herhangi bir için herhangi bir başka çözüm olmak üzere eşitsizliği eşitsizliğini gerektirecek şekilde bir bulunabiliyorsa çözümü Lyapunov anlamında kararlıdır. kararlı olsun. ise çözümü asimptotik kararlıdır. S. Wiggens, “Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos ”2nd Edition, Springer, 2003,

Bir Örnek Strogatz, sf.16

Dinamik sistemin kararlılığını incelemenin kolay bir yolu var mı? niye böyle bir soru sorduk? Teorem 1: (ayrık zaman sisteminin sabit noktasının kararlılığı için yeter koşul) Kararlilik taniminda hep evolution operatoru var ama onu acik olarak yazmanin her zaman mumkun olmadigini biliyoruz. Kolay olan ayrik zaman sistemi kararlıdır