Hatırlatma: Durum Denklemleri durum değişkenleri - kapasite gerilimleri, endüktans akımları çıkış büyüklükleri - ilgilenilen eleman akımları ve gerilimleri giriş büyüklükleri - bağımsız akım kaynaklarının akımları ve bağımsız gerilim kaynaklarının gerilimleri EDT dersinde n=2 için çözümler bulundu:

2. Mertebeden Diferansiyel Denklemlerin Çözümü Homojen kısım: Çözüm Tahmini belirlememiz gereken kaç büyüklük var? sıfırdan farklı çözümlerin olması nasıl mümkün olur? Karakteristik Denklem

Karakteristik denklemin kökleri: özdeğerler Belirlememiz gereken özvektör Hangi uzayın elemanı? ‘e ilişkin özvektör ‘ye ilişkin özvektör Temel Matris Özel çözüm: Nasıl belirleyeceğiz? Tam çözüm:

Durum Geçiş Matrisi öz çözüm zorlanmış çözüm öz çözüm zorlanmış çözüm

Yüksek Mertebeden Devrelerin Durum Denklemlerin Çözümü 2. Mertebeden Diferansiyel Denklemlerin Çözümü Temel Matris iki sütunu var ve her sütun lineer bağımsız ve çözüm n. Mertebeden Diferansiyel Denklemlerin Çözümüne dönersek Temel Matris n sütunu var ve sütunları lineer bağımsız çözümler Temel Matris- tersinir matris diferansiyel denklemi sağlar.

Durum Geçiş Matrisi, matris diferansiyel denklemini çözer:

İlgilendiğimiz Sistemler Durum Geçiş matrisi Durum geçiş matrisinin özellikleri 1-

İlgilendiğimiz Sistemler 2- İlgilendiğimiz Sistemler Çözüm

İlgilendiğimiz Sistemler Varsayım: * Varsayımı yerleştirirsek ** * ve **’dan

Lineer Zamanla Değişmeyen Sistemler için: Çözümü bulmak için ‘nin belirlenmesi gerekiyor.

Hesaplama Yöntemleri 1- Seriye Açma civarında ‘nin Taylor açılımı: Hatırlatma ‘yi belirlemek için ları bilmek gerekli.

2- Jordan Kanonik Yapısı Benzerlik dönüşümü ile matris özel bir yapıya getirilecek Cebrik katlılığı olan bir özdeğeri için tane Jordan bloğu bulunur. ve buna geometrik katlılık denir. Bu sayı kullanılarak bulunabilen lineer bağımsız özvektör sayısına eşittir. Diğer (genelleştirilmiş) özvektörler bulunan her bir özvektör için iterasyonu yardımıyla bulunabilir.

P nin sütunları ....................................... den oluşur. Buradan nasıl elde edilir ?

Jordan kanonik form ile ‘yi hesaplayınız!

>> A=[0 0 0 0 0 1;2 1 -1 -1 0 -1;0 0 2 1 0 0;0 0 0 2 0 0;0 0 0 0 2 0;-1 0 0 0 0 2] 0 0 0 0 0 1 2 1 -1 -1 0 -1 0 0 2 1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 2 0 -1 0 0 0 0 2   >> [P,J]=jordan(A) P = 0 0 0 2 -1 0 -1 0 2 -3 -2 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 2 1 0 J = 2 1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 2 >> expm(J*t) ans = [ exp(2*t), t*exp(2*t), 0, 0, 0, 0] [ 0, exp(2*t), 0, 0, 0, 0] [ 0, 0, exp(t), t*exp(t), (t^2*exp(t))/2, 0] [ 0, 0, 0, exp(t), t*exp(t), 0] [ 0, 0, 0, 0, exp(t), 0] [ 0, 0, 0, 0, 0, exp(2*t)] >> pretty(ans)

Ön bilgi: Laplace dönüşümü Tanım: için sürekli ya da parça parça sürekli bir fonksiyon olsun, koşulunu sağlıyorsa ‘nin Laplace dönüşümü aşağıdaki bağıntı ile tanımlanır: Pierre-Simon, marquis de Laplace 1749-1827 ile ‘nin Laplace dönüşümünü ile ters Laplace dönüşümünü belirteceğiz.

Laplace dönüşümünün özellikleri 1- Teklik İspatı derin matematik gerektiriyor. 2- Lineerlik ve sabit büyüklük olmak üzere İspat:

3- İspat:

4- İspat:

5- İspat:

6- İspat:

7- İspat:

Ön bilgi: Ters Laplace dönüşümü Tablo ve özelliklerden yararlanarak ters Laplace dönüşümü hesaplanır http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform

Laplace Dönüşümünden Faydalanarak Öz Çözümün Bulunması

Öz çözümü belirleyiniz.

Lineer zamanla değişmeyen sistemlerde girişine karşılık çıkışı nasıl belirlenir? süreç giriş çıkış impulse yanıtı

8-

Laplace Dönüşümünden Faydalanarak Zorlanmış Çözümün Bulunması zorlanmış çözüm

Laplace Dönüşümünden Faydalanarak Tam Çözümün Bulunması Çıkışın Belirlenmesi

Çıkışı belirleyiniz.