Mantık

Mantık Klasik Mantık Sembolik Mantık Önermeler Mantığı İş Mantığı

ÖNERMELER Doğru yada yanlış bir hüküm bildiren,ancak aynı anda hem doğru hem yanlış olmayan ifadelere “önerme” denir. Önermeler p, q, r gibi harflerle gösterilir.

ÖRNEKLER ve CEVAPLARI 1.Kedilerin altı ayağı vardır. Aşağıdaki ifadelerin önerme olup olmadığını bulun. 1.Kedilerin altı ayağı vardır. Buraya gel! 2+3=5 Büyük adam! Üçgenin alanı yüksekliği ile tabanının çarpımını yarısına eşittir.

1. Önerme. 2. Önerme değil. 3. Önerme. 4. Önerme değil. 5. Önerme.

Çelişkili cümleler önerme değildir. Örnek: ”BÜYÜK HARFLERLE YAZILMIŞ OLAN BU CÜMLE YANLIŞTIR” Görüldüğü gibi bu cümle bir çelişki içermektedir. Bu tür cümlelere PARADOKS denir.

Bütün Giritliler yalancıdır! (Giritli Epimenides)

Bu cümleyi okumayın

Beyza:Şeyda doğru söylüyor Şeyda:Beyza yalan söylüyor

Bir adam, saçları döküldüğü için doktora gider Bir adam, saçları döküldüğü için doktora gider. doktor, teşhisi koyar: Stres!       Ama adam saçları döküldüğü için strese girmektedir. Strese girdikçe daha da fazla dökülmektedir. Daha da fazla döküldükçe de, stresi aynı hızla artmaktadır...

Örneklerden hangileri ÖRNEKLER ve CEVAPLARI 1. Bütün örümcekler 7 bacaklıdır. 2. Bütün insanlar ölümlüdür. 3. Bugün nereye gittin?. 4. Dersine zamanında çalış. 5. Yarın yağmur yağacak. Örneklerden hangileri önerme değildir

1. Önerme 2. Önerme 3. Değil 4. Değil 5. Değil

Önermenin Doğruluk Değeri doğru ise 1 sembolü ile, yanlış ise 0 sembolü ile ifade edilir. Buna önermenin doğruluk değeri denir.

Doğruluk değerlerinin tüm durumlarını gösteren tabloya doğruluk tablosu denir. P Doğru D 1 Yanlış Y

Matematiğin yarısıdır. Sembolik işaretler Matematiğin yarısıdır. Bertrand Russel

ÖRNEKLER ve CEVAPLAR

Önermelerin her birinin doğruluk değerini bularak 1 ve 0 ile gösteriniz.

p: “Ankara,Türkiyenin başkentidir.” q: “Her dörtgen karedir.” r: “Neşet Ertaş Almanyalıdır.” s: “Üçgenin iç açılarının toplamı 1800 dir ” p: 1 q: 0 r: 0 s: 1

Aşırı Not p q r 1 p ve q iki önerme olsun. P doğru iken p ve q iki önerme olsun. P doğru iken q doğru yada yanlış olabilir. Bunun gibi p yanlış olduğunda q doğru yada yanlış değer alabilir. Bu şekilde doğruluk değerlerini gösteren bir doğruluk tablosu çizilebilir.

İki önermenin doğruluk değerleri aynı ise bu iki önerme denktir denir. Önermelerin Denkliği İki önermenin doğruluk değerleri aynı ise bu iki önerme denktir denir. İki önerme denk ise p ≡ q ile gösterilir ve “p denktir q ya ” diye okunur.

Aşağıda verilen önermelerin doğruluk değerlerini bulmalyım Aşağıda verilen önermelerin doğruluk değerlerini bulmalyım. Hangileri denk, hangileri denk değildir? Denkler için “ ≡ “ , denk olmayanlar için “≢ “ sembolünü kullan. örnek

En küçük asal sayı 2 dir. En büyük negatif tamsayı -1 dir. 28 bir basamaklı bir sayıdır. En büyük doğal sayı 9 dur. a ≡ 1,b≡ 1,c ≡ 0,d ≡ 0 Bu ifadelerden şu sonuca varırız.. a ≡b,c≡ d,a ≢ c,a ≢d,b ≢c, b≢ d,

AŞIRI NOT: Bir önermenin değili onun zıddına tamamlanmışıdır. Bir önermenin hükmü değiştirilerek oluşturulan yeni önermeye bu önermenin değili denir. p önermesi için p nin değili, p’ veya ~p ile gösterilir. AŞIRI NOT: Bir önermenin değili onun zıddına tamamlanmışıdır.

Bu bilgilere göre aşağıdaki tablo oluşur p ~p 1 Bazı Semboller Değili = ≠ > ≤ ≥ <  ∉

ÖRNEKLER ve CEVAPLARI p: Bugün hava bulutludur. Önermelerin değillerini bulunuz. p: Bugün hava bulutludur. ~p: Bugün hava bulutlu değildir.

q: Bugün cumadır. ~q: Bugün Cuma değildir. r: 4+5=9 ~r: 4+5≠9 s: Murat futbol oynamaz. ~s: Murat futbol oynar.

Değilinin Değili Önerme doğru ise değili yanlıştır.Yanlış bir önermenin değili ise doğru bir önermedir.O halde bir önermenin değilinin değili kendisine denktir.

p ~p ~(~p) D Y

Örnek 5 “Ben mutlu değilim dersem doğru olmaz“cümlesini en basit formda yazınız. Çözüm p: “Ben mutluyum" denirse bu önerme ~(~p) ye denktir . Dolayısıyla bu ifade kısaca “ben mutluyum“ demektir.

Aşağıdaki ifadelerden hangilerinin önerme olduğuna karar ver! Günaydın! O çok iyi futbol oynuyor. İleri git! 8 asal sayıdır. Bir haftada 7 gün vardır.

T=2+4 Hava karlıdır. Seni hiç kimse sevmez. Herkes bazı insanları sever. x<45 x≥24 2x-4y<6

Aşağıdki cümlelerin gerçek değerini bulunuz. Pamuk bir hayvandır. Ay bir gezegendir. Dünya hareket etmez. 32<12+6÷2•8 8=24-8•2

Aşağıda verilen önerme çiftlerinin biribirine denk olup olmadığını bulunuz. p: Kelebek bir böcektir. q: Gezegenler yıldızdır. r: Dünyanın rotası ekseni etrafındadır. s: Üçgenin alanı iki kenarının çarpımına eşittir. t: 3<5 k: (x-1)2< 0

Önermelerin değillerini bulunuz. Dünyanın en büyük okyanusu Pasifik okyanusudur. 4≥3. 15 asaldır. 6 Doğal sayıdır. 6•2<13 Deniz dalgalıdır.

g)T=2+4 h)Hava karlıdır. i)Seni hiçkimse sevmez. j)Herkes bazılarını sever. k)x<45 l)x≥24 m)2x-4y<6

Bileşik Önermeler İki yada daha çok önermeden-bağlaçlar kullanılarak-elde edilen yeni önermeye bileşik önerme denir.

Bağlaçlar Semboller Ve  Veya  İse  Ancak ve ancak 

Ve Bağlacı

“” Bağlacı p ve q önermeleri “ve ” bağlacı ile bileşik önerme yapılabilir bu da p  q ile gösterilir. örnek: p: Hayvanlar denizde yaşar. q:2 asal sayıdır. Buna göre pq: Hayvanlar denizde yaşar ve 2 bir asal sayıdır.

p ve q iki önerme olsun.her ikisi de doğru iken doğru diğer durumlarda yanlış olan bileşik önermeye p ve q önermesi denir ve p q ile gösterilir. 1) P0≡0 2)p1≡p 3)p∼p≡0

p q p  q 1

ÖRNEKLER ve CEVAPLAR

Aşağıdaki önermeleri p, q, r Aşağıdaki önermeleri p, q, r...ile göstererek doğruluk değerlerini bulunuz. Limon sarıdır ve çilek kırmızıdır. p: Limon sarıdır. p≡1 q: Çilek kırmızıdır.  q≡1 O halde pq ≡11≡1

Bir dikdörtgenin 4 kenarı vardır ve bir karenin 5 kenarı vardır. p:Bir dikdörtgenin 4 kenarı vardır p≡1 q: Bir karenin 5 kenarı vardır.  q≡0 olduğundan p≡1ve q≡0, pq ≡1 0 ≡0

5+7=3 ve 9>8 p: 5+7=3p≡0 q: 9>8  q≡1 Olduğundan p≡0 ve q≡1, pq ≡ 0 1 ≡0

Bir üçgenin 4 açısı ve bir dörtgenin 3 açısı vardır p: Bir üçgenin 4 açısı vardır  p≡0 q: Bir dörtgenin 3 açısı vardır  q≡0 olduğundan p≡0 ve q≡0, pq ≡ 0 0≡0

Şimdi kendini dene p≡{101} {1 110} Bileşik önermelerin gerçek değerini bul. p≡{101} {1 110}

VEYA BAĞLACI p v q

Ör: p: “Ben zekiyim” q: “Sen güçlüsün” p V q: p ve q önermeleri “VEYA ” bağlacı ile bileşik önerme yapılabilir bu da p V q ile gösterilir. Ör: p: “Ben zekiyim” q: “Sen güçlüsün” p V q: “Ben zekiyim veya sen güçlüsün”

Bu tanıma göre şu eşitlikleri yazabiliriz. 1. p V 0 ≡p 2. p V 1 ≡1 p ve p iki önerme olsun.bu önermelerden ikisi de yanlış iken yanlış, diğer durumlarda doğru olan bileşik önermeye “p veya q” bileşik önermesi denir ve p V q ile gösterilir. Bu tanıma göre şu eşitlikleri yazabiliriz. 1. p V 0 ≡p 2. p V 1 ≡1 3. pV~p ≡1

p q pVq 1

Örnek p: “Ahmet işi yapar" ve q: “Ali işi yapar." önermeleri veriliyor. p V q ne ifade eder? Çözüm p V q: “Ahmet veya Ali’den biri işi yapar.”

and let r: “Aşçı o işi yapar.“ Örnek p: “Terzi o işi yapar," q: “Berber o işi yapar," and let r: “Aşçı o işi yapar.“ (p V q)  (~r) bileşik önermesini bulunuz. Çözüm (p V q)  (~r) : " Terzi veya berberden birisi o işi yapar ve aşçı o işi yapamaz"

Aşağıdaki önermeleri sembolik olarak gösteriniz: Örnek p: "55, 5 e bölünebilir," q: "676, 11 e bölünebilir," and r: "55, 11 e bölünebilir." Aşağıdaki önermeleri sembolik olarak gösteriniz: (a) “55, 11 e bölünemez veya 676, 11 e bölünemez." (b) “55, 5 veya 11 e bölünebilir;veya 676, 11 e bölünebilir." Çözüm (a) (~ r) V ( ~q) (b) (p V r) V q ,veya,p V(r V q ) (p V q) V r ≡ p V (qV r)

~p Sembolik Form Değil p Ve Doğruluk Tablosu Değili Veya p ve q Symbolic Form Truth Table In Words Negation ~p not p Conjunction p    q p and q Disjunction p or q Sembolik Form Doğruluk Tablosu Okunuşu Değili ~p Değil p Veya p ve q Ve   p veya q p ~p 1 p q 1 p q 1

De Morgan Kuralı ~ (p V q)  ~p ~q ~(p q)  ~ p V ~q

Augsts De Morgan (1806-1871) Mantık analizcisi ve olasılık teorisyenidir. De Morgan Londra matematik üniversitesinin ilk profesörüdür. Aristo mantığının sağlam temellere oturtmuştur.

Aşağıdaki bileşik önermelerin değillerini alınız.. p ( ~q V r) Çözüm : ~ [p (~q V r)]  ~pV ~(~q V r)  ~p V (~(~q r)  ~p V (q ~ r)

(~p V~q) (p ~q) Çözüm : ~[ (~p V~q) (p ~q) ]  ~ (~p V~q) V ~ (p ~q)  (~ (~p )  ~ (~ q) V (~p V ~(~q)) (p q) V (~p V q)

Totoloji Bütün degerleri doğru çıkan önermelere totoloji denir.

Çelişki Bütün doğruluk değerleri yanlış olan önermelere çelişki denir.

p ~p D Y Örnek p V (~p) ifadesinin totoloji olduğunu gösteriniz. Çözüm Doğruluk tablosuna baskarak görelim: p ~p D Y

p ne olursa olsun ifadesi p den bağımsız olarak her zaman doğru çıkar p ne olursa olsun ifadesi p den bağımsız olarak her zaman doğru çıkar.Bundan dolayı ifadesi bir totolojidir.

Example ifadesini totolojimidir. Çözüm Doğruluk tablosunu yaparsak: p q 1

Örnek ifadesi çelişki midir?. Çözüm Tabloya bakınız: p q 1

p V ~(~q V ~r) bileşik önermesi totoloji ise p, q ve r yi bulunuz. Eğer bu bileşik önerme totoloji ise sonucu “1” dir.Buradan,

pV ~(~qV~r) ≡1 olduğu için, p≡1 ve ~(~qV ~r) ≡1 ~(~q) V ~r ≡1 q V~r ≡1 den q ≡1 ve ~r ≡1 Yani, p≡1, q ≡1, r ≡0

Şartlı Önerme p ise q

p ve q iki önerme olsun.p doru q yanlış iken yanlış, diğer durumlarda doğru olan bileşik önermeye “ p ise q ” bileşik önermesi denir ve “p  q” ile gösterilir.

p q p  q 1

Aşağıdaki önermelerin doğruluk değerlerini bulunuz. 4 < 7  9 < 12 (1 1) ≡ 1 23 = 8  2 = 3 (1  0) ≡ 0 [(1  0 )1][(0  0)  (1  0)] ≡[0  1]  [1  0] ≡ 1  0 ≡ 0

Aşağıdaki önermelerin tersini yazınız. A) a  b: “Bugün cuma ise yarın cumartesidir ” b  a: “Yarın Cumartesi ise bugün cumadır.” B) c  d: “Hava kar yağışlı ise soğuktur” d  c: “Hava soğuk ise kar yağışlıdır.”

Şartlı Önermenin Tersi p q nun tersi ~p  ~q dir.

Aşağıdaki şartlı önermelerin tersini alınız A) Eğer x=3 ise 2.x+5=11 x≠3 ise 2.x+3≠11 B) Eğer 2<5 ise 5≥2 Eğer 2≥5 ise 5<2

Şartlı önermenin karşıt tersi p  q nun karşıt tersi ~q  ~p dir.

Aşağıdaki önermelerin karşıt terslerini yazınız. A)Eğer “2 tamsayı ise 22 de tamsayıdır” Eğer “22 tamsayı değilse 2 de tamsayı değildir” B)”Karenin alnı 4cm2 ise bir kenarı 4cm dir” “Karenin bir kenarı 4cm değilse alanı 4cm2 değildir.”

Şartlı önermenin değili (p  q)≡~p Vq ~(p  q) ≡p  ~q

İspat: Tabloda görüldüğü gibi, ~(p q) ≡ p  ~q p q p  q ~(pq) ~q 1 Tabloda görüldüğü gibi, ~(p q) ≡ p  ~q

Teorem: p  p ≡ 1 p  ~p ≡ ~ p 0  p ≡ 1 p  0 ≡ ~ p 1  p ≡ p

ÖZELİK p  q ≡ ~ p V q p  q ≡ ~q  ~p ~(p  q) ≡ p  ~q

İspat: p q ~p ~q pq ~pvq ~q  ~p 1

Ancak ve Ancak Bağlacı p ancak ve ancak q

p ve q iki önerme olsun. p ve q önermelerinin doğruluk değerleri aynı iken aynı, farklı iken yanlış olan önermeye p ancak ve ancak q bileşik önermesi denir ve p q ile gösterilir.

p q p  q 1

Teorem: p  q ≡ (p  q)  (q  p) 1

Şimdi Kendini Deneme Zamanı

Aşağıdaki soruları cevaplayınız I.QUIZ Aşağıdaki soruları cevaplayınız

1. Hangisi bir önerme değildir. A) Herkesin bir kız kardeşi vardır 1. Hangisi bir önerme değildir? A) Herkesin bir kız kardeşi vardır. B) Bütün köpekler hayvandır. C) Doğru parçasında en az iki nokta vardır. D) Sevgili öğrenciler. E) Bazı insanlar zekidir. Cevap:D

2. Eğer dört önermeniz varsa, kaç tane doğruluk değeri vardır 2. Eğer dört önermeniz varsa, kaç tane doğruluk değeri vardır? A) 4 B) 8 C) 16 D) 32 E) 64 Cevap: C

3. p:”Eren çok çalışkandır” ve q:”Esra basketbol oynayamaz” önermeleri veriliyor.Aşağıdakilerden hangisi “Eren tembel ve Esra basketbol oynar” bileşik önermesini ifade eder? A)p’ V q’ B)(p’ V q) C)p  q’ D)p’  q’ E) p’  q’ Cevap:D

4. p (p  q) ifadesine aşağıdakilerden hangisi denktir 4. p (p  q) ifadesine aşağıdakilerden hangisi denktir? A) p (p V q)’ B) p  q C) p V q’ D)p’  q’ E)p  q’ Cevap:B

5. p  (q  p’) ifadesi hangisine denktir 5. p  (q  p’) ifadesi hangisine denktir? A)P V(p V q)’ B)p  q C)p’ V q’ D) q’  p E)p’  q Cevap:C

6. (p  q) V(p  q) ifadesi hangisine denktir? A)p  q B)p C)q D)0 E)1 Cevap:A

7. (p  q) (p’  q) aşağıdakilerden hangisine denktir? a) (pVq)’ b) (p’  q’) c) (p  q)’ d) (p⋁q) e) (p⋁q)  (p⋁q) Cevap: D

8. 3=5  9=25 şartlı önermesinin değili nedir? a) (3≠5) V (9≠25) b) (3≠5) V (9=25) c) (3=5)  (9≠25) d) (3=5)  (9=25) e) (9=25) V (3=5) Cevap: C

9. [p  (q V r)]≡0 denkliği verildiğine göre hangisi doğrudur? a) p  r b) r’Vq c) (pVq)  (p  r) d) (pVq)  r e) (p’V r) (r’  q) Answer: B

10. [pV(q  r)] [r (p  q)] ifadesi neye denktir? b) 0 c) p V q d) q  r e) r Cevap: A

11. q’  (p’ v r)’≡1 denkliği verildiğine göre p, q, r nin değeri hangisinde doğru olarak verilmiştir? a)0,1,0 b)0,1,1 c)1,0,0 d)1,1,0 e)0,0,0 Cevap : A

12. q  (p  q) ifadesi hangisine denktir? b)1 c)p d)q e)pVq Cevap: D

13. p’  (p  q) bileşik önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? a)p b)q c)q’ d)Totoloji e)Çelişki Cevap: D

14. (p  q)’ (p  q)≡? b) p’  q’ c) Çelişki d)p  q e)p’  q a) Totoloji b) p’  q’ c) Çelişki d)p  q e)p’  q Cevap: D

15. Hangisi totolojidir? b) p’ (p  p’) c) p’  q d)pVq e)(p’Vp)  q a) p (p’Vq) b) p’ (p  p’) c) p’  q d)pVq e)(p’Vp)  q Cevap: B

16. (p V q) (r’ V s) bilşik önermesi aşağıdailerden hangisine denktir? a) r [(pVq) s] b) (p  q)’ (r’Vs) c) (r’Vs)V(p  q) d) (pVq)’ (r’Vs) e) (r  s’)V(p’  q) Cevap: A