Özdeğerler, Sıfırlar ve Kutuplar (1) Tanım: (1) ile verilen sistemin özdeğerleri A’nın karakteristik polinomunun kökleridir. karakteristik polinom özdeğerler reel, kompleks, katlı olabilirler. nxn sabit matris nx1 sabit vektör

(1) ile verilen sistemin transfer matrisi ‘in bir elemanı , ‘ den ‘e transfer fonksiyonunu verir. Sadeleşme yapıldıktan sonra Tanım: ‘in köklerine transfer fonksiyonunun kutupları denir. Tanım: ‘in köklerine transfer fonksiyonunun sıfırları denir. Sonuç: Kutuplar özdeğerlerin bir alt kümesidir

Sıfır giriş kararlılığı Kararlılık Sıfır giriş kararlılığı Tanım: (Denge noktası) sisteminin sabit çözümleri, sistemin denge noktalarıdır. nasıl belirlenir? Cebrik denkleminin çözümleri denge noktalarıdır. lineer sistemde nasıl belirlenir? A matrisi tersinir ise tek aksi taktirde sonsuz tane Hatırlatma (Norm) V vektör uzayı olmak üzere aşağıdaki üç özelliği sağlayan bağıntı “norm”’dur

Tanım: (Lyapunov anlamında kararlılık) sistemine ilişkin bir denge noktası olsun. Verilen herhangi bir için eşitsizliği eşitsizliğini gerektirecek şekilde bir bulunabiliyorsa denge noktası Lyapunov anlamında kararlıdır. Tanım: (Asimptotik kararlılık) sistemine ilişkin bir denge noktası olsun. 1) Sistem Lyapunov anlamında kararlı, 2) eşitsizliği ifadesini gerektirecek şekilde bir bulunabiliyorsa denge noktası asimptotik kararlıdır.

sistemi Lyapunov anlamında kararlıdır Teorem: sistemi Lyapunov anlamında kararlıdır Nasıl oluyor da sistemin Lyapunov anlamında kararlılığından bahsedebiliyoruz? İspat: Sistemin çözümü Normun özelliği Lyapunov anlamında kararlılığın tanımında olarak tanımlanırsa kararlı olsun ama sınırlı olmasın. ‘nin sınırlı olmayan elemanı vardır. i. olacak şekilde seçilsin. Lyapunov anlamında kararlılığın tanımından sistem kararsız, çelişki var. Sonuç:

Teorem: sistemi asimptotik kararlıdır İspat: Bir önceki teoremin ispatına benzer şekilde. Teorem: ve A’nın özdeğerleri olsun. 1) sistemi kararlıdır ve olan özdeğerler katsız 2) sistemi asimptotik kararlıdır

Sıfır durum kararlılığı Tanım: (SGSÇ(BIBO) kararlılığı) sistemi sınırlı giriş - sınırlı çıkış kararlıdır tüm sınırlı girişler için çıkış da sonırlıdır. Teorem: sistemi SGSÇ kararlıdır sisteminin kutupları sol yarı s-düzlemindedir. Teorem: sistemi asimptotik kararlıdır sistemi SGSÇ kararlıdır.

Örnek: Aşağıdaki sistemin denge noktalarını bulun ve denge noktalarının kararlılığını belirleyin!

Örnek: Yandaki sistemin transfer fonksiyonunu hesaplayın! Sistem Lyapunov kararlı mıdır? asimptotik kararlı mıdır? SGSÇ kararlı mıdır?