İKİ BOYUTLU SİSTEMLERİN TİTREŞİMİ VE NORMAL MODLARI Şimdi ince bir metal veya gerilmiş elastik bir zar gibi iki boyutlu sistemlerin titreşimlerini ve normal modlarını inceleyeceğiz. Şekil-1 a) 𝑥𝑦-düzleminde her yönde gerilme kuvvetine maruz kalan 𝛿𝑥𝛿𝑦 alanına sahip zar parçasının tabanda denge durumda ve titreşim sırasında yer değiştirmiş hali. b)Aynı zar parçasının yandan görünüşünün 𝑥𝑧-düzleminde çizilmiş hali verilmiştir. Şekildeki gerilmiş zarın kenarlarına dik olarak etkiyen kuvvetleri yazabilmek için, birim uzunluk başına etkiyen kuvveti 𝑆 ile gösterelim (S :yüzey gerilimi kuvveti). S’nin zarın her yeri için aynı olduğunu ve zarın kenarlarına dik olduğunu kabul edeceğiz.

İki boyutta titreşen sistemin dalga denkleminin elde edilmesi diferansiyel zar parçası Burada enine yer değiştirmenin (𝒛) küçük olduğu varsayımından hareket ederek, 𝑺 gerilime kuvvetinin sabit olduğunu ve dolaysıyla 𝜽 ve 𝜽+𝜹𝜽 açılarının da küçük olduğunu kabul edeceğiz. Şekildeki gibi bizim seçtiğimiz diferansiyel zar parçasının kenarlarının uzunluğu: 𝛿𝑥 𝑣𝑒 𝛿𝑦 Bu durumda, zara etki eden kuvvetleri tanımlayarak titreşime ait dalga denklemini elde edeceğiz. 𝒙𝒛 - düzlemindeki her iki uca etkiyen kuvvet =𝑺 𝜹𝒙 𝒚𝒛 - düzlemindeki her iki uca etkiyen kuvvet =𝑺 𝜹𝒚 olacaktır. Göz önüne alınan diferansiyel parçasının kütlesi =𝜎 𝛿𝑥𝛿𝑦 Burada 𝜎 birim yüzeyin kütlesidir. ( 𝑘ü𝑡𝑙𝑒 𝑦ü𝑧𝑒𝑦_𝑎𝑙𝑎𝑛ı)

𝒙𝒛-düzleminde zarın eğriliği yüzünden oluşan enine net kuvvet: 𝐹=𝑆𝛿𝑦 sin 𝜃+𝛿𝜃 −𝑆𝛿𝑦 sin 𝜃 ≅𝑆𝛿𝑦 tan 𝜃+𝛿𝜃 −𝑆𝛿𝑦 t𝑎𝑛 𝜃 (𝒔𝒊𝒏𝜽≅𝜽 ≅𝒕𝒂𝒏𝜽 ) 𝑡𝑎 𝑛 𝜃 = 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝑥 ve 𝑡𝑎𝑛 𝜃+𝛿𝜃 = 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝑥+𝛿𝑥 = 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝑥 + 𝜕 2 𝑧 𝜕 𝑥 2 𝛿𝑥 𝐹=𝑆𝛿𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝑥 + 𝜕 2 𝑧 𝜕 𝑥 2 𝛿𝑥 − 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝑥 𝐹=𝑆𝛿𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝑥+𝛿𝑥 −𝑆𝛿𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝑥    𝑭=𝑺𝜹𝒚 𝝏 𝟐 𝒛 𝝏 𝒙 𝟐 𝜹𝒙 Bu kuvvet 𝑧 − 𝑒𝑘𝑠𝑒𝑛𝑖 yönündedir.

𝑭=𝑺𝜹𝒙 𝝏 𝟐 𝒛 𝝏 𝒚 𝟐 𝜹𝒚 Bu kuvvet 𝑧 − 𝑒𝑘𝑠𝑒𝑛𝑖 yönündedir. 𝒚𝒛-düzleminde zarın eğriliği yüzünden oluşan enine net kuvvet: Zar aynı zamanda 𝑦𝑧-düzleminde de eğrilmiştir. Bu nedenle 𝑦𝑧-düzleminde zarın eğriliği yüzünden doğan enine net kuvvet 𝑧 − 𝑒𝑘𝑠𝑒𝑛𝑖 yönündedir. 𝑭=𝑺𝜹𝒙 𝝏 𝟐 𝒛 𝝏 𝒚 𝟐 𝜹𝒚 Bu kuvvet 𝑧 − 𝑒𝑘𝑠𝑒𝑛𝑖 yönündedir. Zar parçasına 𝒛-yönünde etkiyen toplam kuvvet bu iki kuvvetin toplamı olacaktır. 𝐹 𝑡𝑜𝑝𝑙𝑎𝑚 =𝑆𝛿𝑦 𝜕 2 𝑧 𝜕 𝑥 2 𝛿𝑥+𝑆𝛿𝑥 𝜕 2 𝑧 𝜕 𝑦 2 𝛿𝑦

𝐹 𝑡𝑜𝑝𝑙𝑎𝑚 =𝑆𝛿𝑦 𝜕 2 𝑧 𝜕 𝑥 2 𝛿𝑥+𝑆𝛿𝑥 𝜕 2 𝑧 𝜕 𝑦 2 𝛿𝑦 Seçilen diferansiyel zar parçasının kütlesi =𝜎𝛿𝑥𝛿𝑦 Newton’un ikinci yasası (𝐹=𝑚𝑎) uygulanırsa 𝜎𝛿𝑥𝛿𝑦 𝜕 2 𝑧 𝜕 𝑡 2 =𝑆𝛿𝑥𝛿𝑦 𝜕 2 𝑧 𝜕 𝑥 2 +𝑆𝛿𝑥𝛿𝑦 𝜕 2 𝑧 𝜕 𝑦 2 𝜎 𝜕 2 𝑧 𝜕 𝑡 2 =𝑆 𝜕 2 𝑧 𝜕 𝑥 2 + 𝜕 2 𝑧 𝜕 𝑦 2   yeya 𝜕 2 𝑧 𝜕 𝑥 2 + 𝜕 2 𝑧 𝜕 𝑦 2 = 1 𝑆 𝜎 𝜕 2 𝑧 𝜕 𝑡 2 𝑆 𝜎 = 𝑣 2 alınarak titreşen zar için   𝜕 2 𝑧 𝜕 𝑥 2 + 𝜕 2 𝑧 𝜕 𝑦 2 = 1 𝑣 2 𝜕 2 𝑧 𝜕 𝑡 2 Bu denklem iki boyutta titreşen sistemin dalga denklemidir.

Değişkenlere Ayırma Yöntemi ile İki Boyutta Titreşen Sistemin Dalga Denkleminin Çözümünü: 𝜕 2 𝑧 𝜕 𝑥 2 + 𝜕 2 𝑧 𝜕 𝑦 2 = 1 𝑣 2 𝜕 2 𝑧 𝜕 𝑡 2 𝑧 𝑥,𝑦,𝑡 =𝑋 𝑥 𝑌 𝑦 𝑇(𝑡) 𝜕 2 𝑧 𝜕 𝑥 2 =𝑌𝑇 𝜕 2 𝑋 𝜕 𝑥 2 , 𝜕 2 𝑧 𝜕 𝑦 2 =𝑋𝑇 𝜕 2 𝑌 𝜕 𝑦 2 , 𝜕 2 𝑧 𝜕 𝑡 2 =𝑋𝑌 𝜕 2 𝑇 𝜕 𝑡 2 𝑌𝑇 𝜕 2 𝑋 𝜕 𝑥 2 +𝑋𝑇 𝜕 2 𝑌 𝜕 𝑦 2 = 1 𝑣 2 𝑋𝑌 𝜕 2 𝑇 𝜕 𝑡 2 Her iki tarafı 𝑋𝑌𝑇'ye bölersek 1 𝑋 𝜕 2 𝑋 𝜕 𝑥 2 + 1 𝑌 𝜕 2 𝑌 𝜕 𝑦 2 = 1 𝑣 2 1 𝑇 𝜕 2 𝑇 𝜕 𝑡 2 𝑣 2 1 𝑋 𝜕 2 𝑋 𝜕 𝑥 2 + 𝑣 2 1 𝑌 𝜕 2 𝑌 𝜕 𝑦 2 = 1 𝑇 𝜕 2 𝑇 𝜕 𝑡 2 Burada 𝑋, 𝑌 ve 𝑇 birbirinden bağımsızdır. Bu nedenle bu eşitliğin sol ve sağ tarafları − 𝑤 2 gibi bir sayıya eşit alınabilir. 𝑣 2 1 𝑋 𝜕 2 𝑋 𝜕 𝑥 2 + 𝑣 2 1 𝑌 𝜕 2 𝑌 𝜕 𝑦 2 − 𝑤 2 = 1 𝑇 𝜕 2 𝑇 𝜕 𝑡 2 − 𝑤 2

1) 1 𝑇 𝜕 2 𝑇 𝜕 𝑡 2 =− 𝑤 2  𝜕 2 𝑇 𝜕 𝑡 2 + 𝑤 2 𝑇=0 2) 𝑣 2 1 𝑋 𝜕 2 𝑋 𝜕 𝑥 2 + 𝑣 2 1 𝑌 𝜕 2 𝑌 𝜕 𝑦 2 =− 𝑤 2 veya 1 𝑋 𝜕 2 𝑋 𝜕 𝑥 2 + 𝑤 2 𝑣 2 =− 1 𝑌 𝜕 2 𝑌 𝜕 𝑦 2 Bu denklemin de her iki tarafını 𝑘 2 gibi bir sayıya eşit alabiliriz. 1 𝑋 𝜕 2 𝑋 𝜕 𝑥 2 + 𝑤 2 𝑣 2 = 𝑘 2 − 1 𝑌 𝜕 2 𝑌 𝜕 𝑦 2 = 𝑘 2 𝜕 2 𝑌 𝜕 𝑦 2 + 𝑘 2 𝑌=0 𝜕 2 𝑋 𝜕 𝑥 2 + 𝑤 2 𝑣 2 − 𝑘 2 𝑋=0 Şimdi elde edilen diferansiyel denklemleri bir arada toplu olarak yazalım: Bu üç denklem BHH denklemine benzemektedir. Bu nedenle çözümler 𝜕 2 𝑋 𝜕 𝑥 2 + 𝑤 2 𝑣 2 − 𝑘 2 𝑋=0   𝜕 2 𝑌 𝜕 𝑦 2 + 𝑘 2 𝑌=0 𝜕 2 𝑇 𝜕 𝑡 2 + 𝑤 2 𝑇=0  𝑋 𝑥 =𝐴𝑠𝑖𝑛 𝑤 2 𝑣 2 − 𝑘 2 𝑥+𝐵𝑐𝑜𝑠 𝑤 2 𝑣 2 − 𝑘 2 𝑥   𝑌 𝑦 =𝐶𝑠𝑖𝑛𝑘𝑦+𝐷𝑐𝑜𝑠𝑘𝑦 T 𝑡 =𝐸𝑠𝑖𝑛𝑤𝑡+𝐹𝑐𝑜𝑠𝑤𝑡 (w : titreşim frekansı)  

𝑧 𝑥,𝑦,𝑡 = 𝐴𝑠𝑖𝑛 𝑤 2 𝑣 2 − 𝑘 2 𝑥+𝐵𝑐𝑜𝑠 𝑤 2 𝑣 2 − 𝑘 2 𝑥 𝐶𝑠𝑖𝑛𝑘𝑦+𝐷𝑐𝑜𝑠𝑘𝑦 Bunları 𝑧 𝑥,𝑦,𝑡 =𝑋 𝑥 𝑌 𝑦 𝑇(𝑡) çözümünde yerine yazarsak iki boyutlu dalga denkleminin çözümü: 𝑧 𝑥,𝑦,𝑡 = 𝐴𝑠𝑖𝑛 𝑤 2 𝑣 2 − 𝑘 2 𝑥+𝐵𝑐𝑜𝑠 𝑤 2 𝑣 2 − 𝑘 2 𝑥 𝐶𝑠𝑖𝑛𝑘𝑦+𝐷𝑐𝑜𝑠𝑘𝑦 𝐸𝑠𝑖𝑛𝑤𝑡+𝐹𝑐𝑜𝑠𝑤𝑡 Genel çözüm için ise birçok modun üst üste binmesine karşı gelecek şekilde yazılabilir. 𝑧(𝑥,𝑦,𝑡) = 𝑖=1  𝐴 𝑖 𝑠𝑖𝑛 𝑤 𝑖 2 𝑣 2 − 𝑘 𝑖 2 𝑥+ 𝐵 𝑖 𝑐𝑜𝑠 𝑤 𝑖 2 𝑣 2 − 𝑘 𝑖 2 𝑥 𝐶 𝑖 𝑠𝑖𝑛 𝑘 𝑖 𝑦+ 𝐷 𝑖 𝑐𝑜𝑠 𝑘 𝑖 𝑦 𝐸 𝑖 𝑠𝑖𝑛 𝑤 𝑖 𝑡+ 𝐹 𝑖 𝑐𝑜𝑠 𝑤 𝑖 𝑡 Burada 𝐴 𝑖 , 𝐵 𝑖 , 𝐶 𝑖 , 𝐷 𝑖 sabitleri sınır koşullarından ; 𝐸 𝑖 𝑣𝑒 𝐹 𝑖 ise başlangıç koşullarında tayin edilir. 𝑤 𝑖 'ler doğal açısal frekanslardır.

Degenerate Modes for a Square Membrane The (2,1) and (1,2) Modes Vibrational Modes of a Rectangular Membrane The (1,1) Mode The (1,2) Mode The (2,1) Mode The (2,2) Mode Degenerate Modes for a Square Membrane The (2,1) and (1,2) Modes The (3,1) and (1,3) Modes

POLAR KOORDİNATLARDA DALGA DENKLEMİ 𝑃 𝑛𝑜𝑘𝑡𝑎𝑠𝚤𝑛𝚤𝑛 𝑘𝑜𝑛𝑢𝑚𝑢 (𝑟 , 𝑧, 𝜃) 𝑐𝑖𝑛𝑠𝑖𝑛𝑑𝑒𝑛 𝑣𝑒𝑟𝑖𝑙𝑖𝑟. 𝑟 2 = 𝑥 2 + 𝑦 2 (p1) 𝜕 2 𝑧 𝜕 𝑥 2 + 𝜕 2 𝑧 𝜕 𝑦 2 = 1 𝑣 2 𝜕 2 𝑧 𝜕 𝑡 2 Bu denklemde z’yi r ve t’nin fonksiyonu olarak yazacağız. 𝜽’nın tüm değerleri için 𝒛 aynı olacağından çembersel geometride simetri nedeniyle 𝝏𝒛 𝝏𝜽 =𝟎 olacaktır polar koordinatlarda 𝑧 yönündeki yer değiştirme fonksiyonu 𝒛 𝒓,𝒕 olarak yazılacak ve dalga denklemi de buna göre düzenlenecek.

𝑟= 𝑥 2 + 𝑦 2 𝜕𝑟 𝜕𝑥 = 1 2 ( 𝑥 2 + 𝑦 2 ) −1/2 2𝑥= 𝑥 𝑥 2 + 𝑦 2 1/2 = 𝑥 𝑟 𝜕𝑧 𝜕𝑥 = 𝜕𝑧 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑥 𝜕 2 𝑧 𝜕 𝑥 2 = 𝜕 2 𝑧 𝜕 𝑟 2 𝜕𝑟 𝜕𝑥 2 + 𝜕𝑧 𝜕𝑟 𝜕 2 𝑟 𝜕 𝑥 2 𝜕 2 𝑟 𝜕 𝑥 2 = 𝑦 2 𝑥 2 + 𝑦 2 3/2 = 𝑦 2 𝑟 3 𝜕 2 𝑧 𝜕 𝑥 2 = 𝜕 2 𝑧 𝜕 𝑟 2 𝑥 𝑟 2 + 𝜕𝑧 𝜕𝑟 𝑦 2 𝑟 3 𝑏𝑒𝑛𝑧𝑒𝑟 ş𝑒𝑘𝑖𝑙𝑑𝑒: 𝜕 2 𝑧 𝜕 𝑦 2 = 𝜕 2 𝑧 𝜕 𝑟 2 𝑦 𝑟 2 + 𝜕𝑧 𝜕𝑟 𝑥 2 𝑟 3 𝜕 2 𝑧 𝜕 𝑥 2 + 𝜕 2 𝑧 𝜕 𝑦 2 = 1 𝑣 2 𝜕 2 𝑧 𝜕 𝑡 2  𝜕 2 𝑧 𝜕 𝑟 2 ( 𝑥 2 + 𝑦 2 𝑟 2 )+ 𝜕𝑧 𝜕𝑟 𝑥 2 + 𝑦 2 𝑟 3 = 1 𝑣 2 𝜕 2 𝑧 𝜕 𝑡 2 Polar koordinatlarda dalga denklemi 𝜕 2 𝑧 𝜕 𝑟 2 + 1 𝑟 𝜕𝑧 𝜕𝑟 = 1 𝑣 2 𝜕 2 𝑧 𝜕 𝑡 2 Bu denklemin çözümü değişkenlerine ayırma yöntemiyle yapılır. Ancak çözüm için Bessel fonksiyonlarını bilmek gerekecektir.

Bu ifade bir boyutlu dalga denklemidir.   Eğer 𝑟 çok büyük olursa, 𝜕 2 𝑧 𝜕 𝑟 2 + 1 𝑟 𝜕𝑧 𝜕𝑟 = 1 𝑣 2 𝜕 2 𝑧 𝜕 𝑡 2 dalga denklemindeki ikinci terim ihmal edilebilir. Bu durumda dalga denklemi 𝜕 2 𝑧 𝜕 𝑟 2 = 1 𝑣 2 𝜕 2 𝑧 𝜕 𝑡 2 Bu ifade bir boyutlu dalga denklemidir. Bu denklemin çözümü ise 𝒛(𝒓,𝒕)=𝒄𝒐𝒔(𝒌𝒓−𝒘𝒕) şeklinde olacaktır.

Titreşim hareketi yapan dairesel bir zarın tşitreşim modları:

A higher harmonic standing wave on a disk with two nodal lines crossing at the center. A two-dimensional standing wave on a disk; this is the fundamental mode

Üç boyutta titreşen bir sistemin hareket denklemi (dalga denklemi) ÜÇ BOYUTLU SİSTEMLERİN NORMAL MODLARI Herhangi bir maddeden oluşan katı bir blok her zaman bir kaç elastiklik derecesine sahiptir. Bunun sonucu olarak titreşimin normal modlarının tam bir spektrumuna sahiptir. Örneğin yaklaşık jöleye benzer bir madde ile dolu kap aniden üflenirse kabı dolduran maddenin karmaşık bir biçimde titreştiği görülür. Üç boyutlu sistemlerde titreşimin oluşturduğu doğrultularda boş bir koordinata sahip olmalıyız. Üç boyutta titreşen bir sistemin hareket denklemi (dalga denklemi) 𝜕 2  𝜕 𝑥 2 + 𝜕 2  𝜕 𝑦 2 + 𝜕 2  𝜕 𝑧 2 = 1 𝑣 2 𝜕 2  𝜕 𝑡 2 Buradaki 𝑣 karakteristik hız Örneğin 𝐾 elastikliğin Bulk mödülü 𝐵 ′ 𝑦𝑒 karşılık gelmek üzere 𝐾 𝜌 ile tanımlanan hız olabilir. Bu durumda skaler  niceliği ise herhangi bir zaman ve konum için basıncın büyüklüğü olabilir.

Üç boyutta titreşen sistemin dalga denkleminin çözümü: Üç boyutlu durumda sınır şartlarının sistemin bütün dış yüzeyleri üzerinden tayin edilmesi gerekir. Tüm sınırları sabit olan bir dikdörtgensel blok için, dikdörtgensel zar için elde edilenlere oldukça benzer bir normal modlar seti hayal edebiliriz. Fakat bu durumda düğüm noktaları yüzeyler üzerinde yer alır ve her bir normal titreşim, bir (ip modeli) ya da iki (zar modeli) yerine üç tam sayılar seti ile tanımlanır. Üç boyutta titreşen sistemin dalga denkleminin çözümü: 𝜕 2  𝜕 𝑥 2 + 𝜕 2  𝜕 𝑦 2 + 𝜕 2  𝜕 𝑧 2 = 1 𝑣 2 𝜕 2  𝜕 𝑡 2 (1) dalga fonksiyonunu  𝑥,𝑦,𝑧,𝑡 =𝑋 𝑥 𝑌 𝑦 𝑍 𝑧 𝑇 𝑡 (2) dalga denkleminde yerine yazılırsa 1 𝑋 𝑑 2 𝑋 𝑑 𝑥 2 + 1 𝑌 𝑑 2 𝑌 𝑑 𝑦 2 + 1 𝑍 𝑑 2 𝑍 𝑑 𝑧 2 = 1 𝑣 2 1 𝑇 𝑑 2 𝑇 𝑑 𝑡 2 (3) − 𝒌 𝟏 𝟐 − 𝒌 𝟏 𝟐 𝑑 2 𝑇 𝑑 𝑡 2 + 𝑣 2 𝑘 1 2 𝑇=0

𝑑 2 𝑇 𝑑 𝑡 2 + 𝑣 2 𝑘 1 2 𝑇=0 𝑇 𝑡 = 𝐴 1 𝑠𝑖𝑛𝑣 𝑘 1 𝑡+ 𝐵 1 𝑐𝑜𝑠𝑣 𝑘 1 𝑡 1 𝑌 𝑑 2 𝑌 𝑑 𝑦 2 + 1 𝑍 𝑑 2 𝑍 𝑑 𝑧 2 =− 𝑘 1 2 − 𝟏 𝑿 𝒅 𝟐 𝑿 𝒅 𝒙 𝟐 𝑘 2 2 =− 𝑘 1 2 + 𝑘 2 2 𝒗 𝒌 𝟏 =w= titreşim frekansı 𝑑 2 𝑋 𝑑 𝑥 2 + 𝑘 2 2 𝑋=0 𝑋(𝑥)= 𝐴 2 𝑠𝑖𝑛 𝑘 2 𝑥+ 𝐵 2 𝑐𝑜𝑠 𝑘 2 𝑥 1 𝑌 𝑑 2 𝑌 𝑑 𝑦 2 + 1 𝑍 𝑑 2 𝑍 𝑑 𝑧 2 =− 𝑘 1 2 + 𝑘 2 2 1 𝑍 𝑑 2 𝑍 𝑑 𝑧 2 =− 𝑘 1 2 + 𝑘 2 2 − 1 𝑌 𝑑 2 𝑌 𝑑 𝑦 2 𝑘 3 2 =− 𝑘 1 2 + 𝑘 2 2 + 𝑘 3 2 𝑑 2 𝑌 𝑑 𝑦 2 + 𝑘 3 2 𝑌=0 𝑌(𝑦)= 𝐴 3 𝑠𝑖𝑛 𝑘 3 𝑦+ 𝐵 3 𝑐𝑜𝑠 𝑘 3 𝑦 1 𝑍 𝑑 2 𝑍 𝑑 𝑧 2 =− 𝑘 1 2 + 𝑘 2 2 + 𝑘 3 2 𝑑 2 𝑍 𝑑 𝑧 2 + 𝑘 1 2 − 𝑘 2 2 − 𝑘 3 2 𝑍=0 𝑑 2 𝑍 𝑑 𝑧 2 + 𝑘 4 2 𝑍=0 𝑍(𝑧)= 𝐴 4 𝑠𝑖𝑛 𝑘 4 𝑧+ 𝐵 4 𝑐𝑜𝑠 𝑘 4 𝑧 𝑘 1 , 𝑘 2 , 𝑘 3 ve 𝑘 4 sabittir 𝑘 4 2 = 𝑘 1 2 − 𝑘 2 2 − 𝑘 3 2

Burada 𝐴 1 ve 𝐵 1 başlangıç koşulunda,  𝑥,𝑦,𝑧,𝑡 = 𝐴 1 𝑠𝑖𝑛𝑣 𝑘 1 𝑡+ 𝐵 1 𝑐𝑜𝑠𝑣 𝑘 1 𝑡 𝑇(𝑡) * 𝐴 2 𝑠𝑖𝑛 𝑘 2 𝑥+ 𝐵 2 𝑐𝑜𝑠 𝑘 2 𝑥 𝑋(𝑥) 𝐴 3 𝑠𝑖𝑛𝑣 𝑘 3 𝑦+ 𝐵 3 𝑐𝑜𝑠 𝑘 3 𝑦 𝑌(𝑦) 𝐴 4 𝑠𝑖𝑛 𝑘 4 𝑧+ 𝐵 4 𝑐𝑜𝑠 𝑘 4 𝑧 𝑍(𝑧) Burada 𝐴 1 ve 𝐵 1 başlangıç koşulunda, 𝐴 2 , 𝐴 3 , 𝐴 4 ve , 𝐵 2 , 𝐵 3 , 𝐵 4 ise sınır şartlarında bulunacak sabitlerdir. Örneğin gaz ortamında yayılan sesin basınç dalgası için dalga fonksiyonunu P 𝑥,𝑦,𝑧,𝑡 =𝐴𝑠𝑖𝑛( 𝑘 1 𝑥+ 𝑘 2 𝑦+ 𝑘 3 𝑧−𝑤𝑡) şeklinde verilebilir.   Burada dalganın ilerleme hızı 𝑣 2 = 𝑤 𝑘 2 2 +𝑘 3 2 + 𝑘 4 2

Küresel koordinatlarda üç boyutlu dalga denklemi: Çözüm:

Kabın duvarlarına yapılan basıncın eşit olduğundan sınır koşulları: ÖRNEK: Şimdi şekildeki kenarları 𝐿 1 , 𝐿 2 𝑣𝑒 𝐿 3 olan dikdörtgenler prizması şeklinde bir oda düşünelim. L1 L2 L3 y x z 𝑃(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡) 'nin akustik basınç olduğunu düşünelim. Akustik dalganın normal modlarını bulmak istiyoruz (→ 𝑃 𝑎𝑙ı𝑛𝑑ı). Kabın duvarlarına yapılan basıncın eşit olduğundan sınır koşulları: 𝜕𝑝 𝜕𝑥 =0 𝑥=0 𝑣𝑒 𝑥= 𝐿 1 𝜕𝑝 𝜕𝑦 =0 𝑦=0 𝑣𝑒 𝑦= 𝐿 2 𝜕𝑝 𝜕𝑧 =0 𝑧=0 𝑣𝑒 𝑧= 𝐿 3 𝜕𝑝 𝜕𝑥 =0 1. Sınır koşulundan: 𝜕𝑝 𝜕𝑥 𝑥=0 = 𝑑𝑋 𝑑𝑥 𝑥=0 =0 𝑋 𝑥 = 𝐴 2 𝑠𝑖𝑛 𝑘 2 𝑥+ 𝐵 2 𝑐𝑜𝑠 𝑘 2 𝑥, 𝑑𝑋 𝑑𝑥 = 𝑘 2 𝐴 2 𝑐𝑜𝑠 𝑘 2 𝑥+ 𝑘 2 𝐵 2 𝑐𝑜𝑠 𝑘 2 𝑥 𝑥= 0 ′ da türevin sıfır olabilmesi için, 𝑘 2 her zaman sıfır olmadığından 𝐴 2 =0 olmalıdır.

1. Sınır koşulundan: 𝜕𝑝 𝜕𝑥 𝑥=0 =0  𝐴 2 =0 3. Sınır koşulundan: 𝜕𝑝 𝜕𝑧 𝑧=0 =0  𝐴 4 =0 olmalıdır. 𝑃 𝑥,𝑦,𝑧,𝑡 = 𝐴 1 𝑠𝑖𝑛𝑣 𝑘 1 𝑡+ 𝐵 1 𝑐𝑜𝑠𝑣 𝑘 1 𝑡 𝐵 2 𝑐𝑜𝑠 𝑘 2 𝑥 𝐵 3 𝑐𝑜𝑠 𝑘 3 𝑦 𝐵 4 𝑐𝑜𝑠 𝑘 4 𝑧 𝐶 1 = 𝐴 1 𝐵 2 𝐵 3 𝐵 4 ve 𝐶 2 = 𝐵 1 𝐵 2 𝐵 3 𝐵 4 olarak alınırsa 𝑃 𝑥,𝑦,𝑧,𝑡 = 𝐶 1 𝑠𝑖𝑛𝑣 𝑘 1 𝑡+ 𝐶 2 𝑐𝑜𝑠𝑣 𝑘 1 𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝑘 2 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑘 3 𝑦 𝑐𝑜𝑠 𝑘 4 𝑧 Şimdi sınır koşullarının ikinci kısımları uygulanırsa 𝜕𝑝 𝜕𝑥 𝑥= 𝐿 1 =− 𝑘 2 𝑠𝑖𝑛 𝑘 2 𝐿 1 𝑐𝑜𝑠 𝑘 3 𝑦 𝑐𝑜𝑠 𝑘 4 𝑧 𝐶 1 𝑠𝑖𝑛𝑣 𝑘 1 𝑡+ 𝐶 2 𝑐𝑜𝑠𝑣 𝑘 1 𝑡 =0 𝑠𝑖𝑛 𝑘 2 𝐿 1 =0  𝑘 2 = 𝑙𝜋 𝐿 1 , 𝑙=0,1,2,3,…

İkinci sınır koşullarından: 𝜕𝑝 𝜕𝑥 𝑥= 𝐿 1 =− 𝑘 2 𝑠𝑖𝑛 𝑘 2 𝐿 1 𝑐𝑜𝑠 𝑘 3 𝑦 𝑐𝑜𝑠 𝑘 4 𝑧 𝐶 1 𝑠𝑖𝑛𝑣 𝑘 1 𝑡+ 𝐶 2 𝑐𝑜𝑠𝑣 𝑘 1 𝑡 =0 𝑠𝑖𝑛 𝑘 2 𝐿 1 =0  𝑘 2 = 𝑙𝜋 𝐿 1 , 𝑙=0,1,2,3,… 𝜕𝑝 𝜕𝑦 𝑦= 𝐿 2 =− 𝑘 3 𝑐𝑜𝑠 𝑘 2 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑘 3 𝐿 2 𝑐𝑜𝑠 𝑘 4 𝑧 𝐶 1 𝑠𝑖𝑛𝑣 𝑘 1 𝑡+ 𝐶 2 𝑐𝑜𝑠𝑣 𝑘 1 𝑡 =0 𝑠𝑖𝑛 𝑘 3 𝐿 2 =0  𝑘 3 = 𝑚𝜋 𝐿 2 , 𝑚=0,1,2,3,… 𝜕𝑝 𝜕𝑧 𝑧= 𝐿 3 =− 𝑘 4 𝑐𝑜𝑠 𝑘 2 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑘 3 𝑦 𝑠𝑖𝑛 𝑘 4 𝐿 3 𝐶 1 𝑠𝑖𝑛𝑐 𝑘 1 𝑡+ 𝐶 2 𝑐𝑜𝑠𝑐 𝑘 1 𝑡 =0 𝑠𝑖𝑛 𝑘 4 𝐿 3 =0  𝑘 4 = 𝑛𝜋 𝐿 3 , 𝑛=0,1,2,3,… 𝑃 𝑥,𝑦,𝑧,𝑡 = 𝐶 1 𝑠𝑖𝑛𝑣 𝑘 1 𝑡+ 𝐶 2 𝑐𝑜𝑠𝑣 𝑘 1 𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝒍𝝅 𝑳 𝟏 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝒎𝝅 𝑳 𝟐 𝑦 𝑐𝑜𝑠 𝒏𝝅 𝑳 𝟑 𝑧

Bu durumda titreşimlerin normal modları için Sistemin doğal frekansları 𝑃 𝑥,𝑦,𝑧,𝑡 = 𝐶 1 𝑠𝑖𝑛𝑣 𝑘 1 𝑡+ 𝐶 2 𝑐𝑜𝑠𝑣 𝑘 1 𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝑙𝜋 𝐿 1 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑚𝜋 𝐿 2 𝑦 𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜋 𝐿 3 𝑧 𝑤=𝑣 𝑘 1 𝑤=𝑣 𝑘 2 2 + 𝑘 3 2 + 𝑘 4 2 𝑘 1 2 = 𝑘 2 2 + 𝑘 3 2 + 𝑘 4 2 Bu durumda titreşimlerin normal modları için 𝑿 𝒙 𝒀 𝒚 𝒁 𝒛 =𝒄𝒐𝒔 𝒌 𝟐 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒌 𝟑 𝒚 𝒄𝒐𝒔 𝒌 𝟒 𝒛 yazabiliriz.

FOURIER ANALİZİ 𝐿 uzunluğunda ve iki ucu bağlı bir ipin sonsuz sayıda normal modunun herhangi birinde titreşebileceğini görmüştük. İpin hareketini tanımlayan fonksiyon: 𝑦 𝑥,𝑡 = 𝑛=1 ∞ 𝐴 𝑛 sin 𝑛𝜋𝑥 𝐿 cos 𝑤 𝑛 𝑡− 𝛿 𝑛 (1) İpin gerçek hareketini gözümüzde canlandırmak zordur. Titreşen sistemin seçilen bir kaç 𝑡 0 anında fotoğrafını çektiğimizi düşünelim. Bu durumda cos 𝑤 𝑛 𝑡 0 − 𝛿 𝑛 çarpan terimleri sabit sayılar seti şeklinde elde edilir. Böylece 𝑥’in belli bir değerinde ipin yer değiştirmesi aşağıdaki gibi yazılabilir. 𝑦 𝑥 = 𝑛=1 ∞ 𝐵 𝑛 sin 𝑛𝜋𝑥 𝐿 (2) 𝐵 𝑛 = 𝐴 𝑛 cos 𝑤 𝑛 𝑡 0 − 𝛿 𝑛 𝑡 0 𝑖ç𝑖𝑛 𝑠𝑎𝑏𝑖𝑡 (3)

(𝒙=𝟎 𝒗𝒆 𝒙= 𝑳 ′ 𝒅𝒆 𝒚(𝒙)=𝟎 ş𝒂𝒓𝒕ı𝒏𝚤 𝒔𝒂ğ𝒍𝒂𝒚𝒂𝒄𝒂𝒌 ş𝒆𝒌𝒊𝒍𝒅𝒆 çö𝒛ü𝒎 𝒚𝒂𝒑𝒎𝒂𝒌) "İpin herhangi bir andaki şeklini, 𝑥=0 𝑣𝑒 𝑥=𝐿 arasında 𝑥'in fonksiyonu olarak 𝑦 ile tanımlamak ve denklem (2)'de verildiği gibi buna 𝑠𝑖𝑛ü𝑠 fonksiyonlarının bir sonsuz serisi olarak bakmak mümkündür". 𝑦 𝑥 = 𝑛=1 ∞ 𝐵 𝑛 sin 𝑛𝜋𝑥 𝐿 (2) (𝒙=𝟎 𝒗𝒆 𝒙= 𝑳 ′ 𝒅𝒆 𝒚(𝒙)=𝟎 ş𝒂𝒓𝒕ı𝒏𝚤 𝒔𝒂ğ𝒍𝒂𝒚𝒂𝒄𝒂𝒌 ş𝒆𝒌𝒊𝒍𝒅𝒆 çö𝒛ü𝒎 𝒚𝒂𝒑𝒎𝒂𝒌) Denklem (2), tüm matematiksel fizikçilerin oldukça güçlü tekniklerinden biri olan Fourier analizinin temelini teşkil eder. Eğer dikkatimizi 𝑥'in belli bir değeri üzerinde yoğunlaştırırsak, 𝐴 𝑛 𝑠𝑖𝑛 𝑛𝜋𝑥 𝐿 yerine bir sabit katsayı 𝐶 𝑛 yazabiliriz. 𝐶 𝑛 =𝐴 𝑛 𝑠𝑖𝑛 𝑛𝜋𝑥 𝐿 𝑦 𝑡 = 𝑛=1 ∞ 𝐶 𝑛 cos 𝑤 𝑛 𝑡− 𝛿 𝑛 𝑤 𝑛 =𝑛 𝑤 1 , 𝑒𝑛 𝑑üşü𝑘 𝑚𝑜𝑑 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑦𝑜𝑑𝑢: 𝑇 1 = 2𝜋 𝑤 1

Sadece yazdığımız sinüs ve kosinüs serileri açısından değil 𝑦 𝑡 = 𝑛=1 ∞ 𝐶 𝑛 cos 𝑤 𝑛 𝑡− 𝛿 𝑛 𝑦 𝑥 = 𝑛=1 ∞ 𝐵 𝑛 sin 𝑛𝜋𝑥 𝐿 (2) (4) (4) denklemi, ip üzerindeki herhangi bir noktanın mümkün hareketinin 𝑇 1 =2𝜋 𝑤 1 zaman terimi ile periyodik olduğunu belirtir. (4) denklemi aynı zamanda bu periyodik hareketin uygun faz ve genlikler ile 𝑤 1 'in tüm mümkün harmoniklerini içeren saf sinüzoidal titreşimlerin bir toplamı olarak yazılabileceğini ifade eder. Bu yüzden analiz, konumdan ziyade zaman cinsinden bir Fourier analizidir. Denklem (2) ve (4) ile verilen ifadelerin bir miktar birbirlerinden farklı olduklarına dikkat edelim. Sadece yazdığımız sinüs ve kosinüs serileri açısından değil aynı zamanda değişkenlerin tüm aralığını kapsamak kaydıyla Denklem (4)’de fonksiyon 𝒏 𝒘 𝟏 𝒕 , 𝟐 𝝅 ′ nin tam katları ile değişirken, Denklem (2)’de fonksiyon 𝒏𝝅𝒙 𝑳 , 𝝅 ′ 𝑛𝑖𝑛 tam katları ile değişiyor.

FOURRIER SERİLERİ Doğadaki tüm periyodik fonksiyonlar, birbirine dik iki farklı periodik fonksiyonun artan frekanslardaki değerlerinin dik toplamı şeklinde gösterilebilir. Fourier bu toplamı sinüs ve kosinüs fonksiyonlarını kullanarak göstermiştir. Günümüzde Euler bağıntısı kullanılarak sinüs ve kosinüs fonksiyonları yerine kompleks üslü sayılar kullanılmaktadır. Fonksiyonların komplex üslü sayıların toplamı olarak gösterilmesine Fourier serisi gösterimi denir. 𝑐𝑜𝑠𝜃= 𝑒 𝑖𝜃 + 𝑒 −𝑖𝜃 2 sin𝜃= 𝑒 𝑖𝜃 − 𝑒 −𝑖𝜃 2𝑖 𝑐𝑜𝑠𝜃+𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃= 𝑒 𝑖𝜃 Fourier açılımı sayesinde fonksiyonların frekansı kolaylıkla belirlenebilir. Bu yaklaşım farklı periyodlarda girdiye maruz kalan sistemlerin çıktısını ve çıktısının frekansını belirlemekte kolaylık sağlar. Fourier serisinin temel bileşenleri olarak sinüs ve kosinüs kullanılır.

𝒇 𝒙 = 𝒂 𝟎 𝟐 + 𝒏=𝟏 ∞ 𝒂 𝒏 𝒄𝒐𝒔 𝒏𝝅𝒙 𝑳 + 𝒃 𝒏 𝒔𝒊𝒏 𝒏𝝅𝒙 𝑳 (2) −𝐿,𝐿 aralığında verilen ve periyodu 2𝐿 olan olan 𝑓 𝑥 fonksiyonunun Fourier serisi 𝒇 𝒙 = 𝒂 𝟎 𝟐 + 𝒏=𝟏 ∞ 𝒂 𝒏 𝒄𝒐𝒔 𝒏𝝅𝒙 𝑳 + 𝒃 𝒏 𝒔𝒊𝒏 𝒏𝝅𝒙 𝑳 (2) ifadesi ile verilir. 𝒇 𝒙 fonksiyonunun sağlanması için gerekli koşulları: i) 𝑓 𝑥 fonksiyonu ve onun 1. ve 2. türevleri −𝐿,𝐿 aralığında sürekli olmalıdır. ii) 𝑓 𝑥 fonksiyonu sürekli değilse, hiç olmazsa sürekli parçalardan oluşmalıdır. Başka bir deyişle, fonksiyonun süreksizliği ancak bazı noktalarda sonlu birer sıçrama şeklinde olmalıdır. Örnek: Periyodik bir Testere-dişi dalgası

Fourier serisindeki 𝑎 𝑛 ve 𝑏 𝑛 katsayılarını bulmak için aşağıdaki üç integralin hesaplanması gerekir.   1) 1 2𝐿 −𝐿 𝐿 sin 𝑛𝜋𝑥 𝐿 cos 𝑚𝜋𝑥 𝐿 𝑑𝑥=0 𝑛 𝑣𝑒 𝑚 ′ 𝑛𝑖𝑛 𝑡ü𝑚 𝑑𝑒ğ𝑒𝑟𝑙𝑒𝑟𝑖 𝑖ç𝑖𝑛. (0,1,2,3,….) 1 2𝐿 −𝐿 𝐿 cos 𝑛𝜋𝑥 𝐿 cos 𝑚𝜋𝑥 𝐿 𝑑𝑥= 1 𝑚=𝑛=0 1 2 𝑚=𝑛>0 0 𝑚≠𝑛 1 2𝐿 −𝐿 𝐿 sin 𝑛𝜋𝑥 𝐿 sin 𝑚𝜋𝑥 𝐿 𝑑𝑥= 0 𝑚=𝑛=0 1 2 𝑚=𝑛>0 0 𝑚≠𝑛 m ve n tam sayıları pozitif veya sıfır değerlerini alabilir. 𝑎 0 = 1 𝐿 −𝐿 𝐿 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 (6) 𝑎 𝑛 = 1 𝐿 −𝐿 𝐿 𝑓(𝑥) cos 𝑛𝜋𝑥 𝐿 𝑑𝑥 𝑛≥1 (7)   𝑏 𝑛 = 1 𝐿 −𝐿 𝐿 𝑓(𝑥) sin 𝑛𝜋𝑥 𝐿 𝑑𝑥 𝑛≥1 (8)

𝒇(𝒙) çift fonksiyon ise 𝒇 −𝒙 =𝒇(𝒙)   𝑎 𝑛 = 1 𝐿 −𝐿 𝐿 𝑓(𝑥) cos 𝑛𝜋𝑥 𝐿 𝑑𝑥= 2 𝐿 0 𝐿 𝑓(𝑥) cos 𝑛𝜋𝑥 𝐿 𝑑𝑥 ve 𝑏 𝑛 =0   𝒇(𝒙) tek fonksiyon ise 𝒇 −𝒙 =−𝒇(𝒙) 𝑎 𝑛 =0 ve 𝑏 𝑛 = 1 𝐿 −𝐿 𝐿 𝑓(𝑥) sin 𝑛𝜋𝑥 𝐿 𝑑𝑥= 2 𝐿 0 𝐿 𝑓(𝑥) sin 𝑛𝜋𝑥 𝐿 𝑑𝑥

Kısmi integral yöntemi: 𝑓 𝑥 .𝑔 𝑥 𝑑𝑥= 𝑢.𝑑𝑣=𝑢.𝑣− 𝑣𝑑𝑢 𝑢=𝑓 𝑥 , 𝑑𝑣=𝑔 𝑥 .𝑑𝑥   𝑥.𝑠𝑖𝑛𝑎𝑥.𝑑𝑥= 𝑢.𝑑𝑣=𝑥. − 𝑐𝑜𝑠𝑎𝑥 𝑎 − 𝑐𝑜𝑠𝑎𝑥 𝑎 𝑑𝑥 𝑢=𝑥, 𝑑𝑣=𝑠𝑖𝑛𝑎𝑥.𝑑𝑥  𝑣=− 𝑐𝑜𝑠𝑎𝑥 𝑎

Periyodik bir Testere-dişi dalgası Örnek 1: Bir testere-dişi dalgasını Fourier serisi ile ifade edelim. Periyodik bir Testere-dişi dalgası 𝒂 𝒏 =𝟎, 𝒃 𝒏 ≠𝟎 𝒐𝒍𝒂𝒄𝒂𝒌𝒕𝚤𝒓. Bu durumda, Fourier katsayılarını bulalım:

Fourier Katsayıları : 𝑠𝑖𝑛 −𝑥 =−𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠 −𝑥 =𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑖𝑛 −𝑥 =−𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠 −𝑥 =𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑎 0 = 1 𝜋 −𝜋 𝜋 𝑓 𝑥 𝑑𝑥= 1 𝜋 −𝜋 𝜋 𝑥.𝑑𝑥= 0 𝑎 𝑛 = 1 𝜋 −𝜋 𝜋 𝑥.𝑐𝑜𝑠𝑛𝑥. 𝑑𝑥=0 , 𝑛≥0 = 𝑥.𝑠𝑖𝑛𝑛𝑥 𝑛 −𝜋 𝜋 − −𝜋 𝜋 sin 𝑛𝑥 𝑛 . 𝑑𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝑛𝜋− − 𝑠𝑖𝑛 −𝑛𝜋 𝑛 + 𝑐𝑜𝑠𝑛𝑥 𝑛 2 −𝜋 𝜋 =0+ 𝑐𝑜𝑠𝑛𝜋−cos⁡(−𝑛𝜋) 𝑛 2 =0 𝑢=𝑥, 𝑑𝑣=𝑐𝑜𝑠𝑛𝑥.𝑑𝑥 𝑣= 𝑠𝑖𝑛𝑛𝑥 𝑛 𝑓 𝑥 .𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑢.𝑑𝑣=𝑢.𝑣− 𝑣.𝑑𝑢

𝒃 𝒏 = 𝟐 −𝟏 𝒏+𝟏 𝒏 𝑛≥1 𝑏 𝑛 = 1 𝜋 −𝜋 𝜋 𝑥.𝑠𝑖𝑛𝑛𝑥. 𝑑𝑥 𝑏 𝑛 = 1 𝜋 −𝜋 𝜋 𝑥.𝑠𝑖𝑛𝑛𝑥. 𝑑𝑥 = − 𝑥.𝑐𝑜𝑠𝑛𝑥 𝑛 −𝜋 𝜋 + −𝜋 𝜋 𝑐𝑜𝑠 𝑛𝑥 𝑛 . 𝑑𝑥 = −𝑐𝑜𝑠𝑛𝜋+ − 𝑐𝑜𝑠 −𝑛𝜋 𝑛 + 𝑠𝑖𝑛𝑛𝑥 𝑛 2 −𝜋 𝜋 =− 2𝑐𝑜𝑠𝑛𝜋 𝑛 + 𝑠𝑖𝑛𝑛𝜋−sin⁡(−𝑛𝜋) 𝑛 2 =− 2𝑐𝑜𝑠𝑛𝜋 𝑛 = 2 (−1) 𝑛 𝑛 𝒃 𝒏 = 𝟐 −𝟏 𝒏+𝟏 𝒏 𝑛≥1 𝑢=𝑥, 𝑑𝑣=𝑠𝑖𝑛𝑛𝑥.𝑑𝑥 𝑣=− 𝑐𝑜𝑠𝑛𝑥 𝑛 𝑓 𝑥 .𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑢.𝑑𝑣=𝑢.𝑣− 𝑣𝑑𝑢

Şu kesindir ki bu Fourier serisinin 𝑓(𝑥) in türevinin alınabildiği tüm x değerlerinde, toplamı orijinal ƒ(x) fonksiyonuna yaklaşır ve sonunda ona eşit olur. Bundan dolayı: x = π olduğunda, Fourier serisi 0 a eşit olur, ki bu 𝒇(𝒙) in x = π deki sağdan ve soldan limitlerinin toplamının yarısına eşittir. Aynı Testere-dişi dalgasının Fourier tanımına göre ilk beş elemanının uygulanışıyla bulunuşu

Örnek 2: Şekilde verilen "KARE DALGA" için Fourier serisini bulunuz. −2𝜋 −𝜋 0 𝜋 2𝜋 3𝜋 Kare dalga fonksiyonu 𝑓(𝑥) periyodu 2𝜋 olan bir fonksiyon olur. 𝑓 𝑥 = 0 −𝜋 <x<0 1 0<𝑥<𝜋 𝑎 𝑛 = 1 𝜋 −𝜋 𝜋 𝑓 𝑥 cos 𝑛𝑥 𝑑𝑥 = 1 𝜋 −𝜋 0 0 ∗cos 𝑛𝑥 𝑑𝑥 0 + 0 𝜋 1∗ cos 𝑛𝑥 𝑑𝑥 = 1 𝜋 0 𝜋 cos 𝑛𝑥 𝑑𝑥= 0 𝑛≠0 𝑖𝑠𝑒 1 𝑛=0 𝑖𝑠𝑒 𝑎 0 =1 , 𝑎 𝑛 =0

n tek ise 𝑏 𝑛 = 2 𝑛𝜋 n çift ise 𝑏 𝑛 =0 𝑎 0 =1 , 𝑎 𝑛 =0 𝑏 𝑛 = 1 𝜋 −𝜋 0 0∗ sin 𝑛𝑥 𝑑𝑥 0 + 0 𝜋 1∗ sin 𝑛𝑥 𝑑𝑥 = 1 𝜋 0 𝜋 sin 𝑛𝑥 𝑑𝑥= 1 𝜋 − 𝑐𝑜𝑠𝑛𝑥 𝑛 0 𝜋   =− 1 𝑛𝜋 −1 𝑛 −1 n tek ise 𝑏 𝑛 = 2 𝑛𝜋 n çift ise 𝑏 𝑛 =0 𝑎 0 =1 , 𝑎 𝑛 =0 Bu değerler (6) serisinde yerine yazılırsa   𝒇 𝒙 = 𝟏 𝟐 + 𝟐 𝝅 𝒔𝒊𝒏𝒙+ 𝟏 𝟑 𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙+ 𝟏 𝟓 𝒔𝒊𝒏𝟓𝒙+… elde ederiz.

𝑓 𝑥 = 0 −𝜋 <x<0 1 0<𝑥<𝜋 Kare dalga 𝒇 𝒙 = 𝟏 𝟐 + 𝟐 𝝅 𝒔𝒊𝒏𝒙+ 𝟏 𝟑 𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙+ 𝟏 𝟓 𝒔𝒊𝒏𝟓𝒙+… Fourier serisi:

Fourier Series and Waves Fourier composition of a triangle wave Fourier composition of a square wave Fourier composition of a triangle wave

Fourier composition of a sawtooth wave Fourier composition of a pulse train