Dalgaların Sınıflandırılması 7. İLERLEYEN DALGALAR Dalga, en basit anlamda; titreşim enerjisinin yayılması olarak tanımlanabilir. Günlük yaşantımızda her zaman karşılaştığımız su dalgaları, ses dalgaları, ışık dalgaları, radyo dalgaları vardır. Daha sonra kuantum fiziğinde göreceğiniz gibi bir elektron demeti veya atomlardan daha küçük parçacıklar da bir dalga gibi davranırlar. Dalgaların Sınıflandırılması Dalga hareketini su dalgaları, ışık dalgaları ve ses dalgaları olarak sıralarken, dalgaları geniş fiziksel özelliklerine göre sınıflandırdık. Fakat dalgalar başka şekillerde de sınıflandırılabilirler.  

Dalgalar yayılma ortamlarına göre ikiye ayrılır   Dalgalar yayılma ortamlarına göre ikiye ayrılır Elektromanyetik dalgalar Mekanik dalgalar

Elektromanyetik Dalgaların Önemli Özellikleri: 1. Enine dalgadır, E ve B birbirlerine diktir aynı zamanda her ikisi de dalganın yayılma doğrultusuna diktir. Dalganın yayılma yönü E x B vektörel çarpımın yönündedir. y x z 2. E ve B’nin büyüklükleri arasında E=cB şeklinde bir oran vardır. 3. Dalga boşlukta kesin ve değişmeyen bir süratle ilerler. 4. Mekanik dalgalarının aksine, elektromanyetik dalgaların yayılması için maddesel bir ortama ihtiyaç yoktur.

Mekanik dalgalar Enerjilerini aktarabilmek için ortam taneciklerine ihtiyaç duyarlar. Bu yüzden boşlukta (örneğin uzayda) yayılamazlar. Örneğin su dalgaları, ses dalgaları, ipte ilerleyen dalgalar v.b. gibi. Mekanik dalgalar esnek ortamın denge konumu etrafında salınması sonucu oluşur. Ortamın içinde birbirlerine komşu noktalar arasındaki esneklik kuvvetinden dolayı etki, bir noktadan diğerine aktarılır. Ortamın bir bütün olarak hareket etmez, fakat bazı bölümleri sınırlanmış yollar boyunca salınma hareketi yaparlar.

Sonuç olarak mekanik dalgalar maddenin kendisi yer değiştirmeden hareketin yer değiştirmesi sonucu oluşurlar ve enerjinin madde içinde bir noktadan diğerine iletilmesini sağlarlar. Bu nedenle mekanik dalgaların iletilebilmesi için mutlaka bir maddesel ortam olmalıdır. Mekanik dalgaların hızı, ortamın esneklik özelliğine bağlıdır.

Dalgalar yayılma ve titreşim doğrultularına göre ikiye ayrılır   Dalgalar yayılma ve titreşim doğrultularına göre ikiye ayrılır Enine dalgalar Boyuna dalgalar

Enine (transverse) dalgalar Sarsılan ortamın parçacıkları, dalga hızına dik olarak hareket ettiğinde, bu tip ilerleyen bir dalgaya enine dalga denir.

İp üzerindeki dalgalar enine dalgalara iyi bir örnektir. Bir ip üzerindeki dalga, soldan sağa doğru yayılırken ip de yukarı ve aşağı doğru hareket eder.

Boyuna Dalgalar Ortamın parçacıklarının, dalganın hareket doğrultusuna paralel hareket etmesiyle oluşan ilerleyen dalgaya boyuna dalga denir.

Boyuna dalga oluşturmak oldukça basit bir işlemdir Boyuna dalga oluşturmak oldukça basit bir işlemdir. Yayın serbest ucuna f frekansı ile sürekli olarak iten ve çeken bir kaynağa bağlarsak yay sürekli olarak boyuna dalga üretir.

Hem Enine Hem Boyuna Dalgalar Bazı dalgalar ise, hem enine hem de boyunadır. Örneğin su yüzeyindeki dalgalarda su parçacıkları, su dalgaları hareket ettikçe ileri geri ve yukarı aşağı hareket ederek eliptik yörüngeler izlerler.

Yayılma boyut sayısına göre dalgaları üçe ayırabiliriz. a) Bir boyutlu dalgalar ( Yay )   Sicim ve yay boyunca hareket eden dalga tek boyutludur. b) İki boyutlu dalgalar ( Su )   Havuzdaki durgun suya bir çakıl taşının düşmesi ile suyun yüzeyinde oluşan dalgalar iki boyutludur. c) Üç boyutlu dalgalar ( Işık, ses )    Küçük bir kaynaktan radyal yönde yayılan ses dalgaları veya ışık dalgaları üç boyutludur.

a) Dalga Pulsu (Dalga atması): Dalgalar, hareketi ileten ortam parçacıklarının dalganın yayılma süresi içindeki davranışlarına göre de sınıflandırılırlar. a) Dalga Pulsu (Dalga atması): Örneğin, gerilmiş ipin bir ucunu bir miktar yukarı doğru kımıldatırsak ip boyunca ilerleyen bir atma (pulse) meydana getirmiş oluruz. Sicimi oluşturan her parçacık darbe ulaşıncaya kadar hareketsizdir, darbeyi hissettiği anda kısa bir süre içinde hareket eder ve sonra tekrar durur. Eğer dalga pulsu periyodik olarak tekrarlanırsa, ilerleyen bir dalga katarının oluşmasını sağlarız. Periyotlu atma

Periyodik Dalgalar: Bir kaynak eşit zaman aralıkları ile eşit dalgalar üretiyorsa oluşan dalgalara periyodik dalgalar denir. Eğer ipteki atma hareketi periyodik ise, periyodik dalga katarı meydana gelir. Dolaysıyla sicimdeki her bir noktanın hareketi periyodiktir. Periyodik dalgaların en çok karşılaşılanı, basit harmonik dalgalardır.

Dalga Cepheleri: Periyodik dalga için, hareketin fazı ile aynı fazda olan noktalardan geçen yüzeylere DALGA CEPHELERİ adı verilir Eğer ortam homojen ve izotropik ise dalganın yayılma yönü daima dalga cephesine dik olan çizgiye IŞIN adı verilir.

Düzlem Dalgalar: Eğer etkiler bir yönde yayılıyorsa, dalgalara DÜZLEM DALGALAR denir. Dalga cepheleri paralel düzlemlerdir ve ışınlar birbirine paralel düzgün doğrulardır. Işın Dalga cepheleri

Küresel Dalgalardır: Bu durumda etki, dalganın noktasal kaynağından çıkarak bütün yönlere yayılırlar. Dalga cepheleri küre yüzeyleridir. Işınlar noktasal kaynaktan çıkan radyal yöndeki çizgilerdir. Böyle dalgalara KÜRESEL DALGALAR denir.

İLERLEYEN DALGLAR ve NORMAL MODLAR Bir ucu sabit bir ipin diğer ucunun istenilen mod frekansında basit harmonik hareket yapacak şekilde düşey olarak titreştirilerek belli bir modu elde edilebilir. Kararlı durum hemen ortaya çıkmaz. İlk olarak, ip boyunca ilerleyen bir dalga oluşur. Bu dalga her hangi bir anda 𝑥′in sinüzodial bir foksiyonudur (Şekil -a). Bu dalga ipin bağlı ucuna 𝑥=𝐿 ulaştığı zaman yansıma olayı ortaya çıkar ve ipin üzerindeki herhangi bir noktanın hareketi iki zıt yönde hareket eden dalgaların bileşkesi şeklinde olur (Şekil-b).

Daha sonra yansıyan dalga dışarıdan titreştirilen uca (sürülen uca) ulaştığı zaman eğer frekans (𝑓), ipin uzunluğu (𝐿), ipin birim uzunluk başına kütlesi () ve gerilme kuvveti (𝑇) ile ilişki içindeyse ip üzerinde tam olarak istenilen modda bir duran dalga oluşacaktır (Şekil-c). Bundan sonra ip bir normal mod karakteristiğinde titreşmeye devam eder. Yani her bir nokta BHH yaparak enine titreşir ve belli düğüm noktaları sürekli olarak durgunluğunu muhafaza eder. (Şekil-d).

DURAN DALGA

DURAN DALGA Düğüm noktaları

𝑦 𝑛 𝑥,𝑡 = 𝐴 𝑛 𝑠𝑖𝑛 𝑛𝜋𝑥 𝐿 𝑐𝑜𝑠 𝑤 𝑛 𝑡 (7.1) İp üzerinde oluşan duran dalga deseni –normal mod: Her iki ucu bağlı 𝐿 uzunluğundaki bir ipin, sonsuz sayıda normal moda sahip olabileceğini ve mod şekillerinin 𝑦 𝑛 𝑥,𝑡 = 𝐴 𝑛 𝑠𝑖𝑛 𝑛𝜋𝑥 𝐿 𝑐𝑜𝑠 𝑤 𝑛 𝑡 (7.1) ifadesi ile verildiğini hatırlayalım. Burada, 𝑤 𝑛 =𝑛 𝜋 𝐿 𝑇 𝜇 1 2 (7.2) dir. Dalganın ilerleme hızı 𝑣= 𝑇 𝜇 1 2 Şimdi Denklem (7.1)’i değişik bir biçimde ifade etmeye çalışalım: 𝑠𝑖𝑛 𝑛𝜋𝑥 𝐿 𝑐𝑜𝑠 𝑤 𝑛 𝑡 = 1 2 𝑠𝑖𝑛 𝑛𝜋𝑥 𝐿 − 𝑤 𝑛 𝑡 + 𝑠𝑖𝑛 𝑛𝜋𝑥 𝐿 + 𝑤 𝑛 𝑡

𝑦 𝑛 𝑥,𝑡 = 1 2 𝐴 𝑛 𝑠𝑖𝑛 𝑛𝜋𝑥 𝐿 − 𝑤 𝑛 𝑡 + 𝑠𝑖𝑛 𝑛𝜋𝑥 𝐿 + 𝑤 𝑛 𝑡 (7.3) ipin enine titreşimleri için 𝑛. normal mod aşağıdaki ifade ile tanımlanır. 𝑦 𝑛 𝑥,𝑡 = 1 2 𝐴 𝑛 𝑠𝑖𝑛 𝑛𝜋𝑥 𝐿 − 𝑤 𝑛 𝑡 + 𝑠𝑖𝑛 𝑛𝜋𝑥 𝐿 + 𝑤 𝑛 𝑡 (7.3) 𝑤 𝑛 =𝑛 𝜋 𝐿 𝑇 𝜇 1 2 𝑦 𝑛 𝑥,𝑡 = 1 2 𝐴 𝑛 𝑠𝑖𝑛 𝑛𝜋 𝐿 𝑥− 𝑇 µ 𝑡 + 1 2 𝐴 𝑛 𝑠𝑖𝑛 𝑛𝜋 𝐿 𝑥+ 𝑇 µ 𝑡 (7.4) 𝑣= 𝑇 µ 𝑣𝑒 =2𝐿/𝑛 eşitlikleri kullanıldığında 𝑦 𝑥, 𝑡 = 1 2 𝐴 𝑛 𝑠𝑖𝑛 2𝜋  𝑥−𝑣𝑡 𝑦 𝐼 𝑥, 𝑡 + 1 2 𝐴 𝑛 𝑠𝑖𝑛 2𝜋  𝑥+𝑣𝑡 𝑦 𝐼𝐼 𝑥, 𝑡 (7.5) Bu ifade, 𝑥 ekseni üzerinde zıt yönlerde ilerleyen iki sinüs dalgasının toplamını ifade eder.

Denklem (7. 5)’de verilen ifadede sağdaki birinci terimi inceleyelim Denklem (7.5)’de verilen ifadede sağdaki birinci terimi inceleyelim. Bu terim, 𝑦 𝐼 𝑥, 𝑡 =𝐴𝑠𝑖𝑛 2𝜋  𝑥−𝑣𝑡 (7.6) şeklinde de yazılabilir. Şimdi 𝑥 ve 𝑡’nin belli değerlerine karşılık gelen 𝑦’nin herhangi bir değerine dikkatimizi yoğunlaştıralım. 𝑦’nin değerinin 𝑡 anında ve 𝑥 konumundaki değerği ile ve kısa bir süre sonra zamanın 𝑡+∆𝑡 ve yer değiştirme ise 𝑥+∆𝑥 olduğundaki değerinin aynı olduğunu kabul edelim. 𝑦 𝐼 𝑥, 𝑡 = 𝑦 𝐼 (𝑥+∆𝑥, 𝑡+∆𝑡) olmalıdır (Şekil 3). Bu durumda Denklem (7.6), 𝑠𝑖𝑛 2𝜋  𝑥−𝑣𝑡 =𝑠𝑖𝑛 2𝜋  (𝑥+∆𝑥)−𝑣(𝑡+∆𝑡) =𝑠𝑖𝑛 2𝜋  𝑥−𝑣𝑡 + 2𝜋  (∆𝑥−𝑣∆𝑡) şekline dönüşür. Bu ifadeden hareketle ∆𝑥 ve ∆𝑡 değerlerinin, ∆𝑥−𝑣∆𝑡=0 ifadesi ile birbirlerine bağlı oldukları anlaşılır. ∆𝑥=𝑣∆𝑡 Yani, 𝒗= ∆𝒙 ∆𝒕 dir.

Bu ifade bize, Denklem (7.5)’in sağ tarafındaki birinci terimin pozitif 𝑥 yönünde 𝑣 hızı ile hareket eden bir dalgayı temsil ettiğini gösterir. Benzer şekilde ikinci terim ise 𝑦 2 𝑥, 𝑡 =𝐴𝑠𝑖𝑛 2𝜋  𝑥+𝑣𝑡 (7.7) negatif 𝑥 yönünde 𝑣 hızı ile hareket eden bir dalgaya karşılık gelir. 𝑦 𝑥, 𝑡 = 1 2 𝐴 𝑛 𝑠𝑖𝑛 2𝜋  𝑥−𝑣𝑡 𝑦 𝐼 =+𝑥 𝑦ö𝑛ü𝑛𝑑𝑒 𝑖𝑙𝑒𝑟𝑙𝑖𝑦𝑜𝑟 + 1 2 𝐴 𝑛 𝑠𝑖𝑛 2𝜋  𝑥+𝑣𝑡 𝑦 𝐼𝐼 𝑥, 𝑡 =−𝑥 𝑦ö𝑛ü𝑛𝑑𝑒 𝑖𝑙𝑒𝑟𝑙𝑖𝑦𝑜𝑟 (7.5)

BİR YÖNDE İLERLEYEN DALGALAR Şimdi bir ucu sabit ve toplam uzunluğu (𝐿) dalga boyu () ile karşılaştırıldığında oldukça büyük olan gerilmiş bir ipi göz önüne alalım. İp üzerinde kolayca dalga oluşturmak için gerilmiş olması gerekir. Aynı zamanda bağlı uçtan yansıma etkisi başlamadan yeterince gözlem zamanı gerekir. Bu nedenle ip uzunluğu büyük seçilmelidir. 𝑥=0 ucundan meydana getirilen çok sayıda titreşimden sonra oluşan dalganın sağa doğru ilerlemesi şekilde gösterilmiştir. x

𝑥=0 noktasından itibaren sağa doğru ilerleyen dalga, 𝑦 𝑥, 𝑡 =𝐴𝑠𝑖𝑛 2𝜋  𝑥−𝑣𝑡 (7.7) Bu dalganın meydana getirilmesi belli bir 𝑓 frekansı 𝑓= 𝑣  ve 𝐴 genliği ile ipin sol ucunun (𝑥=0 noktası) BHH yapacak şekilde aşağı-yukarı titreştirilmesiyle olur. 𝑥=0 noktasında (7.7) ifadesi 𝑦 0, 𝑡 =𝐴𝑠𝑖𝑛 2𝜋  0−𝑣𝑡 =𝐴𝑠𝑖𝑛 2𝜋𝑣𝑡  =−𝐴𝑠𝑖𝑛(𝑤𝑡) olur (𝑤= 2𝜋𝑣  ). Herhangi bir anda 𝑡= 𝑡 0 ipin görünümü 𝑦 𝑥, 𝑡 0 =𝐴𝑠𝑖𝑛 2𝜋  𝑥−𝑣 𝑡 0 =𝐴𝑠𝑖𝑛 2𝜋𝑥  − 𝜑 0 (7.8) olur. Burada 𝜑 0 = 2𝜋𝑣 𝑡 0  dalganın bir anlık görünümünü belirleme amacına yönelik sabit bir açıdır.

İpin 𝑥=0’daki ucu 𝑡= 𝑡 1 anına kadar durgun, 𝑡= 𝑡 1 ile 𝑡= 𝑡 2 arasında sinüzoidal olarak titreşip, 𝑡= 𝑡 2 anından sonra yeniden durgun kalması durumunda ipin görünümü 𝑥= 𝑥 1 ve 𝑥= 𝑥 2 noktaları arasında sınırlandırılmış bir sinüs dalga katarı şeklinde olacaktır (Şekil 5). İp üzerinde 𝑥=0 noktasında çok uzaklarda dalga katarının ön ucu 𝑡= 𝑡 1 ’de titreşime başlaması, dalga katarının arka ucu 𝑡= 𝑡 2 ’de titreşimin bitmesine karşılık gelir. 𝑥 1 − 𝑥 2 =𝑣( 𝑡 2 − 𝑡 1 ) (7.9) Bu durum, dalganın yayılması ile ilgili oldukça önemli bir sonucu göstermektedir.

Gerçekte; sabit 𝒗 hızı ile ip boyunca dalganın yayılması, belli bir noktadaki uzanımdaki değişimin, göz önüne alınan herhangi bir zaman aralığında başka bir noktaya taşınması anlamına gelir. Şekilde ipin sol ucuna yakın bir kısmının şeklini bir periyotluk toplam zaman için 1/4’ü aralıklarla gösteriyor.

Dalga şekli düzgün olarak sağa doğru ilerlemektedir. x 𝑦 𝑥, 𝑡 =𝐴𝑠𝑖𝑛 2𝜋  𝑥−𝑣𝑡 =𝐴𝑠𝑖𝑛 𝑘𝑥−𝑤𝑡 Dalga hareket ettikçe, ip üzerindeki her nokta denge konumu etrafında basit harmonik hareketle aşağı-yukarı salınır.

DALGA ve PARÇACIK HAREKETİ Şekildeki gibi ip boyunca enine bir dalganın hareketini incelersek, dalga yatayda sağa doğru ilerlerken ip üzerindeki her bir nokta düşey eksende yukarı aşağı yönde titreşim hareketi yapmaktadır. Parçacığın titreşim doğrultusu dalganın ilerleme doğrultusuna diktir. Titreşim doğrultusu Dalganın ilerleme yönü

Dalga boyu (), bir tepe ile bir sonraki tepe veya bir çukur ile sonraki çukur ya da herhangi bir nokta ile bir tur sonra o noktaya denk gelen nokta arasındaki mesafedir (aynı fazlı noktalar arası mesafedir). Dalga deseni (ortam değişmediği sürece) sabit 𝑣 sürati ile hareket eder ve bir periyotluk (𝑇) zamanda bir dalga boyu () kadar ilerler. Buna göre dalganın ilerleme sürati 𝑣=/𝑇 veya 𝑓=1/𝑇 olduğu için 𝑣=𝑓’ dir (periyodik dalga için). Yani dalganın ilerleme sürati dalga boyu ve frekansın çarpımına eşittir. Dalga sürati ortamdan ortama değişir ve o ortamın mekanik özellikleri tarafından belirlenir.

DALGA DENKLEMİ: Şimdi 𝑦 𝑥, 𝑡 =𝐴𝑠𝑖𝑛 2𝜋  𝑥−𝑣𝑡 ifadesi ile verilen bir boyutta ilerleyen dalganın denklemini yazalım. Bu diferansiyel denklem, 𝑡 ve 𝑥’e göre 𝑦 yer değiştirmesinin parçalı türevleri arasında bir ilişki olacaktır. Bir yönde ilerleyen dalgaların yer değiştirme ifadesinden, 𝜕𝑦 𝜕𝑥 = 2𝜋  𝐴𝑐𝑜𝑠 2𝜋  𝑥−𝑣𝑡 𝜕𝑦 𝜕𝑡 =− 2𝜋𝑣  𝐴𝑐𝑜𝑠 2𝜋  𝑥−𝑣𝑡 ifadeleri elde edilir. Bu dalganın diferansiyel denklemini, 𝜕𝑦 𝜕𝑥 =− 1 𝑣 𝜕𝑦 𝜕𝑡 şeklinde yazabilir miyiz? Bunu yazmamızı engelleyen herhangi bir sebep yoktur. Fakat yazılan ifade sadece pozitif 𝑥 yönünde ilerleyen dalgalara uygulanabilir.

Negatif 𝑥 yönünde ilerleyen dalgaların yer değiştirme ifadesinin, 𝑦 𝑥, 𝑡 =𝐴𝑠𝑖𝑛 2𝜋  𝑥+𝑣𝑡 şeklinde olduğunu biliyoruz. Bu ifadenin 𝑥 ve 𝑡’ye göre birinci türevi alınırsa 𝜕𝑦 𝜕𝑥 = 2𝜋  𝐴𝑐𝑜𝑠 2𝜋  𝑥+𝑣𝑡 𝜕𝑦 𝜕𝑡 = 2𝜋𝑣  𝐴𝑐𝑜𝑠 2𝜋  𝑥+𝑣𝑡 elde edilir. Bu durumda diferansiyel denklem 𝜕𝑦 𝜕𝑥 = 1 𝑣 𝜕𝑦 𝜕𝑡 olacaktır. İki yön için elde edilen denklemler birbirinden işaret olarak farklıdır.

Bu farklılığın giderilmesi için, dalga fonksiyonlarının ikinci türevlerini alırsak, her hangi bir yönde hareket eden bir sinüs dalgası için geçerli olan aşağıdaki ifadeyi elde ederiz; +𝑥 ekseni yönünde ilerleyen dalga -𝑥 ekseni yönünde ilerleyen dalga 𝑦 𝑥, 𝑡 =𝐴𝑠𝑖𝑛 2𝜋  𝑥−𝑣𝑡 𝑦 𝑥, 𝑡 =𝐴𝑠𝑖𝑛 2𝜋  𝑥+𝑣𝑡 𝜕 2 𝑦 𝜕 𝑥 2 = − 2𝜋  2 𝐴𝑠𝑖𝑛 2𝜋  𝑥−𝑣𝑡 𝜕 2 𝑦 𝜕 𝑥 2 = − 2𝜋  2 𝐴𝑠𝑖𝑛 2𝜋  𝑥+𝑣𝑡 𝜕 2 𝑦 𝜕 𝑡 2 = − 2𝜋𝑣  2 𝐴𝑠𝑖𝑛 2𝜋  𝑥−𝑣𝑡 𝜕 2 𝑦 𝜕 𝑡 2 = − 2𝜋𝑣  2 𝐴𝑠𝑖𝑛 2𝜋  𝑥+𝑣𝑡 𝜕 2 𝑦 𝜕 𝑥 2 = 1 𝑣 2 𝜕 2 𝑦 𝜕 𝑡 2 Bu ifadenin, 6. Bölümün başında bahsedilen gerilmiş ip ya da lineer geri çağırıcı kuvvetlere maruz kalan bir boyutta sürekli sistemlerin normal modlarını bulunmamıza yarayan hareket denklemi ile aynıdır. Benzer şekilde elastik bir çubuk boyunca ilerleyen boyuna dalgalar için ise 𝝏 𝟐  𝝏 𝒙 𝟐 = 𝟏 𝒗 𝟐 𝝏 𝟐  𝝏 𝒕 𝟐 ifadesini yazabiliriz.

Özel Ortamlarda Dalga Hızlarının Hesaplanması: Gerilmiş ipte (ya da tel) dalga hızı: µ=0,5 𝑔/𝑚 lineer kütle yoğunluğuna sahip ipin 𝑇=100 𝑁’luk bir kuvvetle gerildiğini farz edelim. Böyle bir ipte dalga hızı 𝑣= 𝑇 µ bağıntısı ile verildiğini biliyoruz. Soruda verilen sayısal değerleri kullanarak hız değerini hesaplayalım: 𝑣= 𝑇 µ = 100 0.5𝑥1 0 −3 ≅447 𝑚/𝑠 Eğer µ=1 𝑘𝑔/𝑚 olan bir halat aynı değerde bir kuvvetle gerilirse 𝑣=10 𝑚/𝑠 olacaktır.

2. Katı çubuklarda boyuna dalga hızı: Bir çubuğun uzunluğu boyunca hareket eden dalgaların 𝑣 hızı, Young modülü ve çubuğun yoğunluğu cinsinden 𝑣= 𝑌 𝜌 ifadesi ile verilir. Tablo 7.1. Bazı maddelerin Young modülleri ve bu maddeler içinde ses hızları. Tabloda görüldüğü gibi hızlar birkaç bin m/s mertebesinde olup, hesaplanan ve gözlenen değerler arasındaki uyum da kötü değildir.

3. Sıvı dolu borularda ses hızı: Bir sıvının elastik özelliği, gazlarda olduğu gibi, bulk modülü ile karakterize edilir. Katılara göre daha fazla sıkışabilirler (yoğunlukları çok küçük olduğu sürece). Bu nedenle sıvılarda ses hızı katılardakine göre daha düşüktür. Suyun hacmi, 500 𝑎𝑡𝑚 (1 𝑎𝑡𝑚≅1 0 5 𝑁/ 𝑚 2 ) ‘lik bir basıncın uygulanmasıyla %2.3 civarında azalır. Bu değer yaklaşık 2.2x109 N/m2’lik bulk modülü verir. 𝐵= 𝑃 ∆𝑉/𝑉 = 500x1 0 5 0.023𝑉/𝑉 = 500 23 x1 0 8 ≅2.2x109 𝑁/ 𝑚 2 Suyun yoğunluğu 𝜌≅1 0 3 𝑘𝑔/ 𝑚 3 dir. Bu durumda su içinde ses dalgasının hızı, 𝑣= 𝐵 𝜌 = 2.2x1 0 9 10 3 ≅1483 𝑚/𝑠 olarak elde edilir.

4. Gaz ile dolu borularda ses hızı: Gazlarda ses hızının 𝒗= 𝜸𝑷 𝝆 ile verildiğini önceki konuda biliyoruz. Burada 𝛾= 𝐶 𝑝 𝐶 𝑉 olup tek atomlu gazlar için 1.67; iki atomlu gazlar için 1.40 olduğunu hatırlayalım, ℎ𝑎𝑣𝑎𝑛ı𝑛 𝑏𝑎𝑠ı𝑛𝑐ı 𝑃=1 𝑎𝑡𝑚≅1 0 5 𝑁 𝑚 2 . Hava yaklaşık iki atomlu gazlardan oluşmuştur. Havanın yoğunluğu 𝜌 ℎ𝑎𝑣𝑎 ≅1.2 𝑘𝑔 𝑚 3 alınabilir. Bu durumda havada ses hızı 𝑣= 𝛾𝑃 𝜌 = 1.40𝑥1 0 5 1.2 ≅341 𝑚/𝑠 İdeal gazlarda ses hızı için 𝒗= 𝜸𝑹𝑻 𝑴 ifadesinin kullanıldığını biliyoruz. Örneğin havada oda sıcaklığında (𝑇=20 ℃=293 𝐾) ses hızı 𝑣= 1.4x8.314x293 0.03895 ≅343 𝑚/𝑠 𝛾= 𝐶 𝑝 𝐶 𝑉 ≅1.40 , 𝑅=8.314 J/mol.K , 𝑀=0.03895 kg/mol

ÜST ÜSTE GELME (Süperpozisyon): Gerilmiş bir ipin titreşimlerinin, ipin normal modlarının keyfi seçiminden oluşan üst üste gelmiş bir titreşim olduğunu görmüştük. Şimdi herhangi bir ortamda üst üste gelmiş iki dalganın durumunu inceleyelim. Bunun için önce iki dalganın genliklerinin eşit ve her ikisinin de pozitif 𝑥 yönünde hareket ettikleri oldukça basit ve temel durumu göz önüne alalım. 𝑦 1 (𝑥,𝑡)=𝐴𝑠𝑖𝑛 2𝜋  1 𝑥−𝑣𝑡 (1.a) 𝑦 2 (𝑥,𝑡)=𝐴𝑠𝑖𝑛 2𝜋  2 𝑥−𝑣𝑡 (1.b) Bu iki dalganın toplamı bileşke yer değiştirmeyi verecektir. 𝑦 𝑥,𝑡 = 𝑦 1 + 𝑦 2 =𝐴𝑠𝑖𝑛 2𝜋  1 𝑥−𝑣𝑡 +𝐴𝑠𝑖𝑛 2𝜋  2 𝑥−𝑣𝑡 (2) Her iki dalga aynı 𝑣 hızında seçildikleri için bileşke dalga da 𝑣 hızı ile hareket eder.

𝑦(𝑥,0)=𝐴 𝑠𝑖𝑛 2𝜋𝑥  1 +𝑠𝑖𝑛 2𝜋𝑥  2 (3) Şekilde dalga boyları birbirinden çok farklı olmayan iki ilerleyen dalganın üst üste gelmesi ile elde edilen toplam dalga deseni verilmiştir. Üst üste gelmenin şekli 𝒕=𝟎 alınarak rahat bir şekilde görülebilir. 𝑦(𝑥,0)=𝐴 𝑠𝑖𝑛 2𝜋𝑥  1 +𝑠𝑖𝑛 2𝜋𝑥  2 (3) Bu şekil, 2 Bölümde gördüğümüz vuru (beat) şekline benzetmektedir. Gerçekten de genlik modülasyonu zaman yerine konumun fonksiyonu olmasına rağmen bu olay bir vurudur.

dalga sayısı : 𝑘 Böyle üst üste gelmiş dalgalarla ilgili çalışmalarda dalga boyunun tersine karşılık gelen ve dalga sayısı olarak isimlendirilen 𝑘 (=1/) niceliğini ortaya atmak uygundur. Dalga sayısı, uzunluk başına düşen tam dalga boylarının sayısıdır (Şüphesiz tam sayı olması gerekmez).   NOT: Bazı kitaplarda (Çoğu kez) dalga sayısı 𝑘= 2𝜋  (4) şeklinde tanımlanır. French'in kitabında 𝑘= 1  olarak tanımlanmıştır. Biz yaygın kullanılan 𝑘= 2𝜋  tanımını tercih edeceğiz.

Dalga boyu-Frekans 𝑣=𝑓 bağıntısında = 2𝜋 𝑘 ve 𝑓= 𝑤 2𝜋 kullanılarak 𝑣= 2𝜋 𝑘 𝑤 2𝜋 = 𝑤 𝑘 veya 𝑤=𝑣𝑘 (periyodik dalga) (5) elde ederiz. Bu durumda (3) denklemi 𝑦(𝑥,0)=𝐴 𝑠𝑖𝑛 𝑘 1 𝑥+𝑠𝑖𝑛 𝑘 2 𝑥 (6) olarak yazılabilir. Bunu ise 𝑦 (𝑥,0)=2𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝑘 1 − 𝑘 2 2 𝑥 𝑚𝑜𝑑ü𝑙𝑎𝑠𝑦𝑜𝑛 𝑧𝑎𝑟𝑓ı 𝑠𝑖𝑛 𝑘 1 + 𝑘 2 2 𝑥 (7) şeklinde yazılabilir. Modülasyon zarfının pikten pike uzaklığını D ile gösterelim D

𝐷= 2𝜋 𝑘 1 − 𝑘 2 = 2𝜋 2𝜋  1 − 2𝜋  2 = 1 1  1 − 1  2 =  1  2  2 −  1 𝑘 1 − 𝑘 2 2 2𝐷 =2𝜋 Dalga boyları birbirine çok yakın ise

𝑦(𝑥,𝑡)= 𝑦 1 + 𝑦 2 =𝐴𝑠𝑖𝑛 2𝜋  1 𝑥−𝑣𝑡 + 2𝜋  2 𝑥−𝑣𝑡 Üst üste gelmenin şeklini x =𝟎 alarak inceleyelim. 𝑦(0,𝑡)=−𝐴 𝑠𝑖𝑛 2𝜋𝑣𝑡  1 +𝑠𝑖𝑛 2𝜋𝑣𝑡  2 Açısal frekanslar: ( 𝑤 1 = 2𝜋𝑣  1 𝑣𝑒 𝑤 2 = 2𝜋𝑣  2 ) . 𝑦(0,𝑡)=−𝐴 𝑠𝑖𝑛 𝑤 1 𝑡+𝑠𝑖𝑛 𝑤 2 𝑡 Bu ifade de açıkça vuru olayını temsil eder. Dalgaların üst üste gelmesi ses dalgaları ile oldukça güzel bir şekilde elde edilebilir. Şekil 3’de trampet ve akustik gitar ile elde edilen ses dalgasının zamana ve frekansa göre değişim grafikleri aşağıda verilmiştir.

  Şekil 4. Değişik müzik aletlerinden elde edilen dalga şekilleri a) Fülüt b) Klarnet c) Obua d) Saksafon

Kısa süreli tek bir dalgaya atma (puls) denir. Dalga Atması (Puls) Kısa süreli tek bir dalgaya atma (puls) denir. Tek bir atma şekil-1'deki gibi elin yukarı aşağı hızlı bir hareketi ile gerilmiş bir ip üzerinde oluşturulabilir. Sicimi oluşturan her parçacık darbe ulaşıncaya kadar hareketsizdir, darbeyi hissettiği anda kısa bir süre içinde hareket eder ve sonra tekrar durur.

Sabit Şekle Sahip Dalga Atmalarının Hareketi Sabit bir şekilde sahip bir atmanın soldan sağa doğru hareket ettiğini farz edelim. Burada ilerleyen bir dalga atmasını temsil etmek için Gaussian fonksiyonu seçeceğiz Gaussian fonsiyonu 𝑦=𝑓 𝑥 =𝐴 𝑒 − 𝑥 2 𝑎 2 (1) Bu fonksiyonun grafiği Şekil-2'de verilmiştir. Burada 𝐴, Gaussian fonksiyonunun yüksekliği, 𝑎 ise genişliğinin ölçüsüdür. Sağdaki Gaussian x−ekseninde 𝑏 kadar ileridedir. Şekil-2 52

Başka bir deyişle 𝑥 yerine (𝑥−𝑏) aldığımızda Gaussian fonksiyonu 𝑏 kadar sağa doğru ilerlemiş (kaymış) olur. Şimdi 𝑥 değişkenini 𝑥−𝑣𝑡 ile değiştirelim. Bu durumda 𝑦 𝑥,𝑡 =𝐴 𝑒 − 𝑥−𝑣𝑡 2 𝑎 2 yazabiliriz. Bu fonksiyon Gaussian şeklinde bir atmanın sağa doğru 𝑣 hızı ile hareketini temsil eder (Şekil-3) 𝑦 𝑥,𝑡 =𝐴 𝑒 − 𝑥−𝑣𝑡 2 𝑎 2 Gaussian fonksiyonu 𝑥'e göre değişiminin farklı zamanlarda çizimi. Zamanlar arası fark 𝛿𝑡 dir.

Şimdi 𝑓(𝑥−𝑣𝑡) fonksiyonu ile tanımlı bir dalga düşünelim. Bu fonksiyonun 𝑡=0 anındaki değeri 𝑓(𝑥) dir. Şekil-4'de 𝑓(𝑥−𝑣𝑡) fonksiyonun 𝑡=0 ve 𝑡=𝑡 anındaki çizimi verilmiştir. sağa doğru ilerleyen dalga. (a) t=0'da f(x-vt)≡f(x). (b) t=t'de f(x-vt). 𝑓(𝑥−𝑣𝑡) ile tanımlı dalga sağa doğru 𝑣 hızı ile, ilk biçimini koruyarak, ilerlemektedir. Bu özellik dalgalar için önemli bir karakteristiktir, yeni dalga biçimini koruyarak ilerler.

Şekil-5 . Sola doğru ilerleyen dalga Negatif 𝑥 yönünde ilerleyen bir dalgayı ise 𝑔(𝑥+𝑣𝑡) fonksiyonu ile temsil edebiliriz. Bu fonksiyonun 𝑡=0 anındaki değeri 𝑔(𝑥) dir. Şekil-5 'de 𝑔(𝑥+𝑣𝑡) fonksiyonun 𝑡=0 ve 𝑡=𝑡 anındaki çizimi verilmiştir. Şekil-5 . Sola doğru ilerleyen dalga İp üzerinde soldan-sağa ve sağdan sola ilerleyen iki dalga varsa ipin şeklini   𝑦=𝑓 𝑥−𝑣𝑡 +𝑔(𝑥+𝑣𝑡) (3) ile tanımlamak mümkündür.

Benzer şekilde 𝜕𝑓 𝜕𝑡 = 𝑑𝑓 𝑑𝑢 𝜕𝑢 𝜕𝑡 𝜕 2 𝑓 𝜕 𝑥 2 = 1 𝑣 2 𝜕 2 𝑓 𝜕 𝑡 2 (7) Şimdi 𝑦(𝑥,𝑡)=𝑓 𝑥−𝑣𝑡 +𝑔(𝑥+𝑣𝑡) (4) ifadesini yeniden ele alalım ve bu fonksiyonun dalga denklemini sağladığını gösterelim. 𝑥−𝑣𝑡=𝑢 diyelim 𝜕𝑓 𝜕𝑥 = 𝑑𝑓 𝑑𝑢 𝜕𝑢 𝜕𝑥 𝜕 2 𝑓 𝜕 𝑥 2 = 𝑑 2 𝑓 𝑑 𝑢 2 𝜕𝑢 𝜕𝑥 𝜕𝑢 𝜕𝑥 + 𝑑𝑓 𝑑𝑢 𝜕 2 𝑢 𝜕 𝑥 2 = 𝑑 2 𝑓 𝑑 𝑢 2 𝜕𝑢 𝜕𝑥 2 + 𝑑𝑓 𝑑𝑢 𝜕 2 𝑢 𝜕 𝑥 2 𝜕𝑢 𝜕𝑥 =1 ve 𝜕 2 𝑢 𝜕 𝑥 2 =0 olduğundan 𝜕 2 𝑓 𝜕 𝑥 2 = 𝑑 2 𝑓 𝑑 𝑢 2 olacaktır. Benzer şekilde 𝜕𝑓 𝜕𝑡 = 𝑑𝑓 𝑑𝑢 𝜕𝑢 𝜕𝑡 𝜕 2 𝑓 𝜕 𝑥 2 = 1 𝑣 2 𝜕 2 𝑓 𝜕 𝑡 2 (7) 𝜕 2 𝑓 𝜕 𝑡 2 = 𝑑 2 𝑓 𝑑 𝑢 2 𝜕𝑢 𝜕𝑡 2 + 𝑑𝑓 𝑑𝑢 𝜕 2 𝑢 𝜕 𝑡 2 𝜕𝑢 𝜕𝑡 =−𝑣 ve 𝜕 2 𝑢 𝜕 𝑡 2 =0 𝜕 2 𝑓 𝜕 𝑡 2 = 𝑣 2 𝑑 2 𝑓 𝑑 𝑢 2

Benzer işlemleri 𝑔(𝑥+𝑣𝑡) fonksiyonu için de yapabiliriz ve 𝜕 2 𝑔 𝜕 𝑥 2 = 1 𝑣 2 𝜕 2 𝑔 𝜕 𝑡 2 (8) sonucunu elde ederiz. 𝑦=𝑓+𝑔 olduğuna göre 𝜕 2 𝑦 𝜕 𝑥 2 = 1 𝑣 2 𝜕 2 𝑦 𝜕 𝑡 2 yazabiliriz. Bu sonuç 𝑦=𝑓 𝑥−𝑣𝑡 +𝑔(𝑥+𝑣𝑡) fonksiyonunun dalga denkleminin bir çözümü olduğunu söyler.

Dalga Atmalarının Üst Üste Gelmesi (Süperpozisyon) Bir ortamda zıt yönde hareket eden dalga atmaları karşılaştıktan sonra birbirlerini geçerek hareketlerine devam ederler. Bu olay bir üst üste gelme (süperpozisyon) olayıdır. Zıt yönlerde hareket eden iki atmanın karşılaşması.