h homeomorfizm h homeomorfizm h 1-e-1 ve üstüne h sürekli h Dinamik sistemlerin genel, niteliksel özelliklerini belirlemek istiyoruz... Topolojik Eşdeğerlilik: h homeomorfizm Zamanla değişimin yönünü koruyarak ve topolojik eşdeğerdir Hatırlatma h homeomorfizm Bu niteliksel ozellikler ancak olsa olsa durum uzayinin ozellikleri olacak. Su ana kadar gordugumuz degismez kumelerin varligi ve degismez kumelerin kararliligi h 1-e-1 ve üstüne h sürekli h h -1 sürekli http://en.wikipedia.org/wiki/Homeomorphism Y.A. Kuznetsov, “Elements of Applied Bifurcation Theory”, Springer, 2004. 1

(*) sistemi (**) sistemine düzgün “eşdeğer”dir . Sürekli zaman Ayrık zaman ¤ * ¤ ¤ * * ¤ ¤ ¤ Orbitally equivalent’dan bahset (*) sistemi (**) sistemine düzgün “eşdeğer”dir . (¤) sistemi (¤¤) sistemine “eş”dir smoothly equivalent conjugate 2

x* denge noktası olmak üzere x* sabit nokta olmak üzere Topolojik Eşdeğerliliğe ilişkin başka tanımlar da var: yörüngesel eşdeğerlilik, Ck eşdeğerlilik yerel eşdeğerlilik..... Denge noktası civarında faz portresinin yapısı nasıl incelenebilir? Sürekli zaman Ayrık zaman ¤ * x* denge noktası olmak üzere x* sabit nokta olmak üzere Özdeğerlerden negatif , sıfır ve pozitif reel kısımlara sahip olanların sayısı sırası ile olsun. Özdeğerlerden birim daire içinde, üstünde ve dışında olanların sayısı sırası ile olsun. 3

Hiperbolik denge noktası Bir denge noktası (sabit nokta)’na ilişkin ise o denge noktası (sabit nokta) hiperbolik denge noktası olarak adlandırılır. ise, hiperbolik eyer olarak adlandırılır. Sürekli Zaman ‘ın kararlı değişmez kümesi ‘ın kararsız değişmez kümesi Y.A. Kuznetsov, “Elements of Applied Bifurcation Theory”, Springer, 2004. 4

Ayrık Zaman ‘ın kararlı değişmez kümesi ‘ın kararsız değişmez kümesi Y.A. Kuznetsov, “Elements of Applied Bifurcation Theory”, Springer, 2004. 5

Ayrık Zamanda bazı şeyler biraz farklı Y.A. Kuznetsov, “Elements of Applied Bifurcation Theory”, Springer, 2004.

Teorem 9: (Yerel Manifold ) hiperbolik bir denge noktası ‘in özdeğerlerinden reel kısımları sol kompleks düzlemde (birim daire içinde) olanların oluşturduğu genelleştirilmiş özuzay v ‘in özdeğerlerinden reel kısımları sağ kompleks düzlemde (birim daire dışında) olanların oluşturduğu genelleştirilmiş özuzay http://en.wikipedia.org/wiki/File:Tangentialvektor.svg

Teorem 10: (Hartman-Grobman ) Dinamik sistem, hiperbolik bir denge noktası civarında lineerleştirilmiş sisteme topolojik eşdeğerdir. Anlamı ne? Bir örnek F.C.Hoppensteadt, E.M. Izhikevich, “Weakly Connected Neural networks”, Springer, 1997.

Bazı sorular: Topolojik eşdeğerlilik ne işimize yarayacak, topolojik eşdeğerliliğin ortadan kalktığı durumlar var mı, varsa nasıl buluruz? Dallanmalar (Bifurcation) ve dallanma diyagramları Sürekli zaman Ayrık zaman Dallanma: Bir parametrenin değişimi ile topolojik olarak eşdeğer olmayan durum portresinin oluşumuna “dallanma” denir. Topolojik eşdeğerlik bozulduğunda durum portresinde neler değişebilir? F.C.Hoppensteadt, E.M. Izhikevich, “Weakly Connected Neural networks”, Springer, 1997.

bağlı olarak durum uzayının temsili ile katmanlaştırılması Dallanma Diyagramı: Dinamik sistemin parametre uzayının, her bir katmanda topolojik eşdeğerliğe bağlı olarak durum uzayının temsili ile katmanlaştırılması “dallanma diyagramı “ ‘nı verir. Bir örnek S. Sastry, “Nonlinear Systems”, Springer, 1999 E.M. Izhikevich, “Dynamical Systems in Neuroscience”, MIT Press, 2007

Denge noktalarının sayısı değişiyor acaba kararlılıkları ne oluyor? denge noktası kararlı civarında denge noktası kararsız civarında denge noktası kararlı civarında denge noktası kararlı Dallanma diyagramı S. Sastry, “Nonlinear Systems”, Springer, 1999.

Bir örnek Düğüm-Eyer Dallanması Kararlı odak Eyer S. Sastry, “Nonlinear Systems”, Springer, 1999.

Bir örnek daha Küçük için Denge noktası bir tane ve (0,0) kararlı odak Denge noktası kararsız odak Yeterince büyük için Andronov-Hopf Dallanması Y.A. Kuznetsov, “Elements of Applied Bifurcation Theory”, Springer, 2004.

Yerel (Local) ve Genel (Global) Dallanmalar İncelediğimiz dallanmalar ile denge noktalarının sayısı ve yeri değişti, denge noktasından limit çevrime geçiş oldu ancak hepsi bir denge noktası civarındaki topolojik değişiklikler idi ve denge noktası civarına bakarak oluşan değişiklikler belirlenebildi. Bu tür dallanmalar yerel dallanmalar olarak adlandırılıyor. Ancak denge noktası civarında olup bitenlere bakarak tüm durum uzayındaki değişimler için fikir edinemediğimiz de genel dallanma ile topolojik değişiklikleri belirleyebiliriz.