MATEMATİK DÖNEM ÖDEVİ TÜREV

Varsa, lim f(x)-f(xo) limitinin değerine f fonksiyonunun xo noktasındaki   x- x x – xo türevi denir. Bu türev f ’ (xo) veya df (xo) biçiminde gösterilir. dx TANIM f ‘(x0) = lim f (x0 + h) – f (x0) , f ‘(x) = lim f(x) – f(x0) eşitliğinde, x – x0 xx0 x – x0 = x, f (x) – f (x0) = f yazılırsa , f ‘(x0) = lim f biçimine dönüşür. x  x0 h0 h x – x0 = h yazılırsa tanım; UYARI

ÖRNEK : ÇÖZÜM : f ‘ (1) = lim f (x) – f (1) = lim V x - 1 olur. f (x) = Vx olduğuna göre , f ‘ (1) = ? 3 3 ÇÖZÜM : f ‘ (1) = lim f (x) – f (1) = lim V x - 1 olur. x 1 x – 1 x 1 x – 1 V x = h alınırsa , f ‘ (1) = lim h - 1 = lim h – 1 = 1 olur. h 1 h - 1 h 1 (h-1) (h + h + 1) 3

ÇÖZÜM : f ( x) = lnx ise , f ‘ (x0) = ? ÖRNEK : f ( x) = lnx ise , f ‘ (x0) = ? ÇÖZÜM : f ‘ (x0) = lim ln (x0 + h ) – lnx0 = lim 1 . ln ( x0 + h ) = lim 1 . (1 + h ) = lim ( 1 + h ) olur. 1/h h 0 h h 0 h x0 h 0 h x0 h 0 x0 f ‘ (x0) = lim ln [(1+1 )u ] 1 = lim 1 ln ( 1 + 1 )u = 1 . lne = 1 olur. u x0 8 u u x0 u x0 x0 e

SAĞDAN TÜREV – SOLDAN TÜREV lim f ( x0 + h ) – f ( x0) limitine x0 noktasındaki soldan türev , lim f ( x0 + h ) – f ( x0) limitine de x0 noktasındaki sağdan türev denir. f fonksiyonunun x0 noktasında türevli olması için sağdan türevin soldan türeve eşit olması gerekir. h0- h h0+ h ÖRNEK : f (x) = x2 – 4 fonksiyonu , x0 = 2 de türevlimidir? ÇÖZÜM : Soldan türev: lim x2 – 4 - 0 = lim - x2 + 4 = - 4 Sağdan türev: lim x2 – 4 - 0 = 4 tür. x 2- x – 2 x 2- x – 2 x 2+ x - 2 O halde f ‘(2) yoktur.

BİR FONKSİYONUN TÜREV FONKSİYONU Bir f fonksiyonu x0 ( a , b ) için türevliyse, x ( a , b )için bir f ‘ ( x0 ) değeri elde edilecektir. Burada f ‘ (x0) , x0 ın bir fonksiyonudur. A C ÇÖZÜM: F ‘(x0) = lim 3x2 – 4x –3x0 – 4x0 = lim 3 (x – x0) (x + x0) – 4 (x – x0) x x0 x – x0 x x0 x – x0 = lim ( x – x0 ) ( 3x +3x0 – 4) = 6x0 – 4 olur. x x0 x – x0 f ‘ ( x0 ) = 6x0 – 4 olduğundan , f ‘ (x) = 6x – 4 bulunur. ÖRNEK : f ( x ) = 3x2 – 4x ise, f ‘ (x) = ? UYARI : Tek fonksiyonun türevi çift, çift fonksiyonun türevi tek fonksiyondur.

BAZI FONKSİYONLARIN TÜREVLERİ VE TÜREV ALMA METOTLARI Sabit fonksiyonun türevi sıfırdır. f (x) = V 2 ise, f ‘ (x) = 0 dır. Birim fonksiyonun türevi 1 dir. I (x) = x ise, I ‘ (x) = 1 dir. f (x) = a.x ise, f ‘(x) = a dır. ( a R) f (x) = a.x n ise, f ‘(x) = a.n..x n-1 ( n R) y = a.f (x) ise, y ‘ = a.f ‘ (x) ( a R) y = f (x) + g (x) ise, y ‘ = f ‘ (x) + g ‘ (x) y = f (x) . g (x) ise, y ‘ = f ‘ (x) . g (x) + g ‘ (x) . f (x) y = f ( x ) ise, y ‘ = f ‘ (x) . g (x) – g ‘ (x) . f (x) C g (x) (g (x) )2

7. f (x) = sin x ise, f ‘(x) = cos x ÖRNEKLER f (x) = 3 x5 ise, f ‘(x) = 3 . 5 . x5-1 = 15 x4 tür. f (x) = 4 ise, f (x) = 4 . x -3 olduğundan, f ‘ (x) = - 3 . 4 .x –3 – 1 = - 12 . x – 4 = - 12 bulunur. x3 x4 3. f (x) = 1 = 1 = x –1/3 olduğundan, f ‘(x) = - 1 . x - 1/3 – 1 = - 1 . x –4/3 = -1 = -1 olur. 3 V x x 1/3 3 3 3 .3 Vx4 3x 3Vx 4. f (x) = 5 x2 + 1 = 5 x2 + x –1 olduğundan, f ‘(x) = 10x – x -2 = 10 x - 1 dir. x x2 5. f (x) = Vx . (x3 – 2x) f ‘(x) = (Vx )’. (x3 – 2x) + (x3 – 2x)’ . Vx = 1 . (x3 – 2x) + (3x2 – 2) .Vx bulunur. 2 Vx 6. y = x - 1 ise, y ‘ = (x – 1)’ . (x2 – 2x) – (x2 – 2x)’ . (x – 1) = 1 . (x2 – 2x) – (2x – 2) . (x – 1) olur. x2 – 2x (x2 – 2x)2 (x2 – 2x)2 7. f (x) = sin x ise, f ‘(x) = cos x 8. f (x) = cos x ise, f ‘(x) = - sin x 9. f (x) = tan x ise, f ‘(x) = 1 + tan2 x = 1 = sec2 x cos2 x 10. f (x) = cot x ise, f ‘(x) = - (1 + cot2 x) = 1 = - cosec2 x sin2 x

ÖRNEK: sin x + 1 ise, y = cos x – 1 (sinx + 1)’ .(cosx – 1) – (cosx –1)’ . (sinx + 1) = + cosx (cosx – 1) + sinx (sinx + 1) (cosx – 1)2 (cosx – 1)2 y ‘= cos2x + sin2x + sinx + cosx 1 + sinx – cosx olur. (cosx – 1)2 (cosx – 1)2 =

TERS FONKSİYONUN TÜREVİ f, (a , b) de türevli ve bire – bir , f –1 fonksiyonu da f (a , b) de türevli ise, f (x0) = y0 iken, 11. (f –1)’ (y0) = 1 olur. f ‘(x0) 4x + 1 ise, (f –1)’ (1) = ? f (x) = ÖRNEK : 2x – 3 ÇÖZÜM : y0 = 1 olduğundan 4x0 + 1 = 1  x0 = - 2 bulunur. 2x0 – 3 4 (2x – 3) – 2 (4x + 1) - 14 - 14 = - 2_ (2x – 3)2 (2x – 3)2 49 7 f ‘(x) = = f ’(-2) = (f –1 )’ (1) = 1 1 -7 bulunur. f ‘(-2) -2 2 7

TERS TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARI f (x) = sin x fonksiyonu R de bire-bir değildir. Ancak uygun bir tanım kümesi seçilerek seçilen aralıkta bire-bir olması sağlanabilir. İşte f (x) = sin x fonksiyonunun bire-bir olduğu bir aralıkta; f –1 (x) = sin –1 x ters fonksiyonu vardır ve y = arcsin x biçiminde gösterilir. Aynı biçimde y = arccos x, y = arctan x ve y = arccot x fonksiyonları elde edilebilir. Burada; arcsin 1  , arc tan 1  ... v.s. yazılabilir. Ayrıca, arc sin (sin x) = sin – 1 (sin x) = x arc cot (cot x) = cot –1 (cot x) = x ...v.s. olur. 2 6 4

} } ÖRNEK tan (arc sin x) = ? ÇÖZÜM arc sin x = y olsun. sin y = x olacaktır. Yandaki şekilden; } tan (arc sin x) = tan y x bulunur. y V 1 – x2 x 1 ÖRNEK tan (2 . arc sin x) = ? ÇÖZÜM V 1 – x2 x 1 y arc sin x = y olsun. sin y = x olur. } tan (2.arc sin x) = tan (2y) = 2 tan y = 2x__ __x2__ 1 - 1 – x2 . 1 – x2 bulunur. = 1 – 2x2

BİLEŞKE FONKSİYONUN TÜREVİ VE TÜREVDE ZİNCİR KURALI 12. f (x) = arc sin x ise, f ‘(x) 1 . = V 1 – x2 13. f (x) = arc cos x ise, f ‘(x) -1 . 14. f (x) = arc tan x ise, f ‘(x) 1 . 1 + x2 15. f (x) = arc cot x ise, f ‘(x) -1 olur. BİLEŞKE FONKSİYONUN TÜREVİ VE TÜREVDE ZİNCİR KURALI f, x0 da, g de f (x0) da türevli fonksiyonlar olsun. Bu durumda, (gof) ‘(x0) = g ‘(f (x0)). f ‘(x0) olur. Örneğin; y = 3 (x2 – 3x)5 fonksiyonu f (x) = x2 – 3x ve g (x) = 3x5 olmak üzere y = (gof) (x) fonksiyonudur. g ‘(x) = 15x4, g ‘(f(x)) = 15(x2 – 3x)4 , f ‘(x) = 2x – 3 olduğundan, y ‘ = g ‘(f(x)).f ‘(x) = 15(x2 – 3x)4 .(2x – 3) bulunur. Daha çok fonksiyonun bileşkesi için; y = f (g (h (t (x) ) ) ) y ‘ = f ‘ (g (h (t (x) ) ) ) . g ‘(h (t (x) ) ) . h ‘(t (x) ) . t ‘(x) bulunur.

UYARI y = g (f (h (t (x) ) ) ) için: u = t (x)  y = g (f (h (u) ) ) ÖRNEK y = sin3 (x2 + x) ise, y ‘= 3 sin2 (x2 + x) . cos (x2 + x) .(2x + 1) olur. ÖRNEK y sin2 V cos (2x) ise, y ‘ = 2 sin V cos 2x . Cos V cos 2x . _____1____ . (- sin 2x) .2 olur. 2 V cos 2x UYARI y = g (f (h (t (x) ) ) ) için: u = t (x)  y = g (f (h (u) ) ) v = h (u)  y = g (f (v) ) z = f (v)  y = g (z) k = g (z)  y = k yazılırsa, dy/dx = dy/dk . dk/dz . dz/dv . dv/du . du/dx eşitliği yardımıyla da türev alınabilir.

Buna göre türev kuraları; ÖRNEK f (x) = sin3 (cos x) ise, f ‘(x) = ? ÇÖZÜM u = cos x  f (u) = sin3u, v = sin u  f (v) = v3 df/dx= df/dv . dv/du . du/dx = 3v2 . cos u . (- sin x) = (- 3 sin2u . cos (cos x) . sin x = - 3 sin2 (cos x) . cos (cos x) . sin x olur. Buna göre türev kuraları; 1. y = (f (x) )n ise, y ‘ = n . (f(x) )n – 1 . f ‘(x) 2 . V f (x) 2. y = V f (x) ise, y ‘ = _____f ‘(x)____ 3. y = nV(f(x))m ise, y ‘ = _____ f ‘ (x) _____ n . n V f (x)n – m 4. y = cos f (x) = ise, y ‘ = - f ‘(x) . sin f (x) 5. y = sin(f (x) ) =ise, y ‘ = f ‘(x) . cos f (x) 7. y = tan(f (x) ) = ise, y ‘ = f ‘(x) . ( 1 + tan2 (f (x) ) 6. y = arc sin (f (x) ) = ise, y ‘ = ____f ‘(x)___ V 1 – f 2 (x) 8. y = arc tan x ise, y ‘ = ____f ‘(x)____ 1 + f 2 (x) ÖRNEK f (x) = arc tan V x ise, f ‘(x) = ? ÇÖZÜM f ‘(x) olur. ___1___ 2 V x ______________ = 1 + x

KAPALI FONKSİYONLAR VE TÜREVİ F (x,y) = 0 biçimindeki bağıntılara kapalı fonksiyon denir. Burada, y = f (x) tir. y3x2 + 2x2y + 3x – 5y2 +2 = 0 yx – x + y = 0 gibi. ÖRNEK y .x2 + 5y2 x – x2 + 3y + 2 = 0 ise, y ‘ = ? ÇÖZÜM y = f (x) olduğundan fonksiyon, f (x) . x2 + 5 . (f (x) )2 . x – x2 + 3 f (x) + 2 = 0 biçiminde yazılabilir. f ‘(x) . x2 + 2x .f (x) + 5 . 2f (x). f ‘(x) . x + 5 . (f (x) )2 – 2x + 2f ‘(x) = 0 f ‘(x) (x2 + 10x f (x) + 3) = -2x f (x) – 5 (f (x) )2 + 2x f ‘(x) olur. = - 2x f (x) – 5 (f (x) )2 + 2x ___________________________ x2 + 10x f (x) + 3 y ‘ bulunur. - 2xy – 5y2 + 2x _______________ x2 + 10xy + 3 UYARI y sabit düşünülerek alınan türev f ‘(x) , x sabit düşünülerek alınan türev f ‘(y) ise; y ‘ - f ‘(x) f ‘(y) _________ olur.

LOGARİTMİK FONKSİYONLARDA TÜREV 1. y = lnx ise, y ‘ = 1/x 2. y = lnf (x) ise, y ‘ = f ‘(x) / f (x) 3. y = log a x ise, y ‘ = 1/x . log a e 4. y = log a f (x) ise, y ‘ = f ‘(x) / f (x) . log a e ÖRNEK f (x) = ln (cos2x) ise f ‘(/8) = ? ÇÖZÜM f ‘(x) = - 2 sin 2x cos 2x - 2 tan 2x _____________ - 2 tan __ - 2 bulunur. 4  f ‘( ) 8

ÜSTEL FONKSİYONLARDA TÜREV 1. y = e x ise, y ‘ = e x 2. y = e f (x) ise, y ‘ = f ‘(x) . e f (x) 3. y = a x ise, y ‘ = a x . lna 4. y = a f (x) ise, y ‘=f ‘(x) . a f (x) . lna ÖRNEK y = (2x2 + 1)sin x ise, y ‘ = ? ÇÖZÜM Her iki tarafın doğal logaritması alınırsa lny = ln (2x2 + 1)sin x  lny = sin x . Ln (2x2 + 1) cos x . ln (2x2 + 1) + . sin x ___ __________ y ‘ y 4x 2x2 + 1 y ‘ = (2x2 + 1)sin x . [cos x . ln (2x2 + 1) + 4x . sin x ____________ 2x + 1 bulunur.

YÜKSEK MERTEBEDEN TÜREVLER ( ARDIŞIK TÜREV ) Bir y = f (x) fonksiyonun türevinin türevine 2 nci türev, onun da türevine 3 ncü türev denir. y = f (x) in 3 ncü türevi y’’’ = f ‘’’(x) veya biçiminde gösterilir. d 3 f dx3 _______ ÖRNEK dx df _____ d2f dx2 d4f dx4 ____ d3f = d5f dx5 8x3 +15x2 , 24x2 +15x , 48x +15 , 48 , 0 bulunur. f (x) = 2x4 + 5x3 + 7 ise ,

TÜREVİN GEOMETRİK ANLAMI f (x) – f (x0) ____________ x – x0 oranı, AB kirişinin Ox ile pozitif yönde yaptığı açının tanjantı yani AB nin eğimidir. x x0 olması durumunda AB kirişi eğriye A noktasında çizilen teğete yaklaşır. O halde, f ‘(x0) = lim değeri y = f (x) eğrisine, x = x0 da x x0 çizilen teğetin eğimini vermektedir. y f (x) f (x0) x x0 A B C . y = f (x) 

ÖRNEK f (x) eğrisine x0 = 1 de çizilen teğetin eksenlerle oluşturduğu üçgenin alanı nedir ? V x 2x – 1 = ÇÖZÜM x0 = 1  y V 1 2 – 1 1, A (1,1) f ‘(x) 1 _____ 2 Vx . (2x – 1) – 2 . V x ___________________________ (2x – 1)2 m = f ‘(1) = 2 ___ _____________ . 1 – 2 - 2 = 3 - değerleri y – y0 = m (x – x0) da yerine yazılırsa; y – 1 = (x – 1)  y = x + 5 olur. x = 0  y = , y = 0  x = ve A = _________ . 25 12

ÖRNEK y = x2 + 2x eğrisinin y = 4x + 1 doğrusuna paralel teğetinin A değme noktasının koordinatları nedir ? ÇÖZÜM y = 4x + 1 doğrusunun eğimi m = 4 olduğundan, teğetin eğimi de 4 olmalıdır. f ‘(x0) = 4  2x0 + 2 = 4  x0 = 1 x0 = 1  y0 = 12 + 2 .1 = 3 ve A(1,3) olur.

ÖRNEK Bir cisim 20m/sn ilk hızla dikey olarak fırlatılıyor. Bu cisim kaç metre yüksekliğe ulaşır? ÇÖZÜM Cisim maksimum yüksekliğe ulaştığında hızı sıfırdır. x(t) at2 + V0 . t den, x(t) = -5t2 + 20t olur. 1 2 ____ = - x’(t) = - 10t + 20 = 0  t = 2. saniye ve x(2) = -5.4 + 20.2 = 20 m yüksekliğe ulaşır. 5 m/sn I.   10 m 2 m/sn II. Yandaki şekilde birbirini dik kesen iki yolda, iki aracın başlangıç durumları verilmiştir. Aynı anda ok yönünde 2m/sn ve 5m/sn hızlarla hareket eden bu iki aracın 1. Saniyede birbirlerinden uzaklaşma hızı ne olur ? I . hareketli x(t) = 10 + 5t , II . hareketli x(t) = 2t kuralı ile yol alır. Aralarındaki uzaklık ; l(t) = V 4t2 + (10 + 5t)2 l(t) = V 29t2 + 100t + 100  l(t) 58t + 100 2 V 29t2 + 100t + 100 ________________ ve l’(1) = 158 ______ 2 . V229 V229 79 m/sn bulunur.

TÜREVİN HAREKET PROBLEMLERİNE UYGULANMASI Zaman yol fonksiyonu verilen bir hareketlinin, t1 saniyede aldığı yol x (t1) olsun. x (t) – x (t1) ____________ t – t1 oranı t1, t zaman aralığındaki ortalama hızı, t  t1 için limitte t1 anındaki ani hızı verir. Vort = , V (t1) = t  t1 lim  x  t _____ = x’ (t1) olur. Yani, yolun zamana göre türevi hızı verir. Benzer düşünülürse hızın zamana göre türevinin (yolun zamana göre 2. türevi) anlık ivmeyi verdiği bulunur.

2. x = x1 ve x = x3 için yerel maximum, x = x2 için yerel minimum var. TÜREVİN UYGULAMALARI TANIM: Bir fonksiyonun [a,b] aralığında aldığı en büyük ve en küçük değerlere maximum ve minimum veya extramum değerler denir. TANIM: Bir f(x) fonksiyonu > 0 için, (x1 - , x1 + ) aralığında extramum değer alıyorsa, bu değerlere yerel maximum ve minimum denir. A C Yandaki şekilde f:[a,b]  R, y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. a y x b x3 x2 x1 1. [a,b] aralığında, x = a için fonksiyonun minimum değeri, x = x3 için maximum değeri elde edilir. 2. x = x1 ve x = x3 için yerel maximum, x = x2 için yerel minimum var.

TEOREM: f:[a,b] R, fonksiyonu [a,b] de sürekli, (a,b) de türevli olsun. Bu fonksiyon x1 C (a,b) de extramum değer alıyorsa, f ‘(x1) = 0 dır. TANIM: x1 < x2  f(x1) < f(x2) ise, artan x1 < x2  f(x1) > f(x2) oluyorsa, f(x) azalan fonksiyon dur. TEOREM: Bir fonksiyonun artan olduğu aralıkta türev pozitif, azalan olduğu aralıkta türev negatiftir. f:[a,b]  R 1. x1 ve x3 te yerel minimum, x2 de yerel maximum var. f ‘(x1) = f ‘(x2) = f ‘ (x3) = 0 dır. x1 y x a b x2 x3 x4 x5 x6 y=f(x) 2. f, (a,x1), (x2,x3) aralıklarında azalan. Bu nedenle f ‘(x4)<0, f ‘(0)<0 dır. 3. f, (x1,x2), (x3,b) aralıklarında artan. Bu nedenle f ‘(x6) >0, f ‘(x5)>0 olur.

İKİNCİ TÜREVİN GEOMETRİK ANLAMI İkinci türevin pozitif olduğu aralıklarda eğri içbükey, negatif olduğu aralıklarda eğri dışbükey dir. F “(x0) = 0 için, x0 da ikinci türev işaret değiştiriyorsa, x = x0 da dönüm noktası vardır denir. Öğrendiklerimizi aşağıdaki grafikte özetleyelim. x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x y D.N y=f(x) 1. f(x1) = 0, f ‘(x1)> 0, f “(x1)< 0 2. f “(x4) = f “(0) = 0, f ‘(x3) = f ‘(x5) = f ‘(x6),= f ‘(x8) = 0 3. f(x2) > 0, f ‘(x2)> 0, f “(x2) < 0

I. f ‘(x1) = 0, f “(x1) > 0 ise, x1 de yerel minimum vardır. SONUÇLAR I. f ‘(x1) = 0, f “(x1) > 0 ise, x1 de yerel minimum vardır. II. f ‘(x2) = 0, f “(x1) < 0 ise, x2 de yerel maximum vardır. ÖRNEK f(x) = x3 – 6x2 – 1 fonksiyonunun artan – azalan olduğu aralıklar, extramum noktalar ve dönüm noktasını bulunuz. ÇÖZÜM + - max. D.N min Artan dış bükey Azalan dış bükey Artan iç bükey Azalan iç bükey y’=3x2-12x y’’=6x-12 x 2 4

YANIT : A ÇÖZÜMLÜ TESTLER SORU - 1 f(x) =[x+1]+x2-x-6 +sgn x ise f ‘( ) = ? ÇÖZÜM 1 ___ 2 x civarında; [x+1] = 1, x2-x-6 = -x2+x-6 ve sgn(x) = 1 olduğundan, = f ‘(x) = 0-2x+1+0 = -2x+1 ve f ‘( ) = -2 . +1 = 0 bulunur. SORU - 1 A) 0 B) – 1 C) 1 D) – E) YANIT : A

SORU - 2 f(x) =x2 , g(x) = 6x – 1 ve h(x) = sinx olduğuna göre (fogoh)’( ) = ?  6 _____ A) 12 V 3 B) 6 V 3 C) 3 V 3 D) 2 V 3 E) 3 ÇÖZÜM (fogoh)’(x) = f ‘(g(h(x))) . g’(h(x)) . h’(x) olduğundan, f ‘(x) = 2x  f ‘(g(h(x))) = 2 . (6sinx – 1) g ‘(x) = 6  g‘(h(x)) = 6, h’(x) = cosx olduğundan, (fogoh) ‘(x) = 2 . (6sinx – 1) . 6 . Cosx ve (fogoh) ‘ ( ) 2 . (6sin - 1) . 6 . cos 2 . (6. -1) . 6 . = 12V 3 olur.  6 ___ 1 2 _____ V 3 YANIT : A

YANIT : E SORU - 3 A) B) C) D) E) ÇÖZÜM x = arctan - arctan olduğuna göre, sin x = ? 1 2 _____ 3 7 V 7 5 V 2 5 V 2 x = arctan - arctan her iki tarafın tanjantı alınırsa; tanx = tan(arctan ) – tan(arctan ) __ 1 + tan(arctan ) . tan(arctan ) _____________________________ - + . _______________ 6 _________ ____ olur. sinx = bulunur.

YANIT : D SORU - 4 lim sinx A) B) C) - 1 D) +  E) -  ÇÖZÜM x2+ x2 – 4x + 4 _____________ = ? 1 2 ___ 4 - = lim  . cos  x x2+ 2x - 4 + 

SORU - 5 x y A B -4 2 y= f(x) y= 9x-16 y = 9x – 16 doğrusunu apsisi – 4 olan A noktasından kesen ve aynı doğruya B noktasında teğet olan üçüncü derece fonksiyonu hangisidir ? A) f (x) = x3 – 3x B) f (x) = x3 – 3x – 2 C) f (x) = x3 – x + 1 D) f (x) = x3 – 3x – 1 E) f (x) = x3 – 3x – 3 ÇÖZÜM f (x) = x3 + ax2 + bx olur. x = 2  f (x) = 2 ve 4a + 2b = - 6  2a + b = - 3 ( I ) Ayrıca, ortak çözüm x = - 4 için sağlanmalıdır. Buna göre; x3 + ax2 + bx = 9x - 16 ifadesinde; x = - 4 ise, - 64 + 16 – 4b = - 36 – 16  4a – b = 3 ( II ) 2a + b = - 3 YANIT A 4a – b = 3  a = 0, b = - 3 ve f (x) = x3 – 3x olur.

SORU - 6 f : [0 , 6]  R olmak üzere üçüncü dereceden y = f (x) polinom fonksiyonunun grafiği yandaki şekilde verilmiştir. Aşağıdakilerden hangisi YANLIŞTIR ? A) f (3) < 0 B) f ‘(3) < 0 C) f “(3) < 0 D) f ‘(1) > 0 E) f “(1) > 0 ÇÖZÜM f , x = 1 civarında dış bükey olduğundan f ”(1) < 0 olmalıdır. Oysa, E çeldiricisinde bunun tersi yazılıdır. YANIT E 2 4 5 6 y x D.N

SORU - 7 f (x) = A) – 2 B) – 1 C) 0 D) 1 E) 2 ÇÖZÜM f ‘(x) = YANIT E x2 + ax + 2 x2 + 2x eğrisinin – 1 apsisli noktasında extramumu vardır. a = ? (2x+a)(x2+2x) – (2x+2) (x2+ax+2) (x2+2x)2 x = - 1  f ‘(x) = 0 olduğundan, (- 2 + a) (1 - 2) – (-2 + 2) (1 - a + 2) = 0  - 2 + a = 0  a = 2 olur.

y = x olsun. l ny = (x2 –1) . l nx = 2x l nx + .(x2 – 1). l nx SORU - 8 f (x) = A) B) C) 2 D) 0 E) 1 ÇÖZÜM YANIT D x2 - 1 ise f ’ (1) = ? y = x olsun. l ny = (x2 –1) . l nx = 2x l nx + .(x2 – 1). l nx f ’(x) = . [ 2x.l nx+ x2-1 ] f ’(1)=10.[2.1.0.0]=0 bulunur. 1 2 y1 y x x2 – 1

SORU - 9 A) B) C) D) E) e e f (x) + e – f (x) = 2x ve f (1) = 2 olduğuna göre f ‘(1) = ? 2 e2 – e-2 2e e4 – e2 e2 e2 – 1 ÇÖZÜM (ef (x) + e-f (x))’ = (2x)’ f ‘(x) . ef (x) - f ‘(x) . e-f (x) = 2 f ‘(x) = ef (x) – e-f (x) olur. f ‘(1) = YANIT D