X-IŞINLARI KRİSTALOGRAFİSİ “Nokta Grupları” Prof. Dr. Ayhan ELMALI

Stereografik İzdüşüm Kristalin dış yüzeyleri üzerinde görülen geometrik düzlem parçaları iç yapıdaki simetrinin bir sonucudur. Rasyonel düzlemlerin aralarındaki simetri ilişkilerini incelemek için her düzlemin uzaydaki konumunun kağıt düzlemine doğru olarak geçiren izdüşüm yöntemleri geliştirilmiştir. Bunlardan x-ışınları kristallografisinde kullanılan ‘stereografik izdüşüm’dür. Bu izdüşümlere ‘stereogram’ denir

Her düzlemin bir tane normal doğrultusu vardır. Kristalin bir M yüzeyini alalım. Kristal içindeki herhangi bir O noktasından M yüzüne olan normali n çizelim. O merkezli olmak üzere r yarıçaplı bir küre çizelim. SN, z ekseni doğrultusunda olsun. Normalin küreyi deldiği P noktasını S kutbun birleştirelim. PS doğrusunun D ekvator düzlemini deldiği nokta Q ise, Q kristalin M yüzünün küresel izdüşümüdür. z N r (hkl) P y O x S O

Kare Prizmanın İzdüşümleri (100) (010) (010) P noktası kuzey yarım küresinde ise Q noktası ‘.’(nokta) olarak, güney yarım küresinde ise ‘o’(halka) olarak işaretlenir. Z eksenine paralel düzlemlerin izdüşümleri ekvator çemberinin üzerindedir. M düzlemi z’ye dikse izdüşümü ekvator çemberinin merkezindedir. .

Simetri Öğelerinin Stereografik İzdüşümle Gösterilmesi Simetri öğelerinin izdüşümleri değil kendileri stereografik izdüşümde gösterilebilir. Bu gösterimlerde simetri öğelerinin izdüşüm küresi ile kesişme noktası veya eğrinin stereografik izdüşüm dairesi üzerindeki izi belirlenmiştir. a) O noktasından izdüşüm düzlemine dik geçen 1’li ekseni O noktasındaki x işareti ile göstermektedir. Bu eksen bir A noktasını 360º döndürerek kendisi ile çakıştırır. A 1 x O

b) 1’li inversiyon ekseni: O’dan geçen izdüşüm düzlemine dik 1 inversiyon ekseni A noktasını 360º döndürerek tekrar A’ya getirdikten sonra terslendirerek B’ye götürür. A noktası izdüşüm düzleminin üstünde, B ise altındadır. 1 B A O

c) Şekilde birbirine dik üç tane 2’li eksen görülmektedir: O, K ve L c) Şekilde birbirine dik üç tane 2’li eksen görülmektedir: O, K ve L. O ekseni bir A noktasını (.), B ye götürür(.). K ekseni A yı C ye (altta o) ve B yi D ye (altta o) getirir. L ekseni de A yı D’ ye, C yi B’ ye, D yi A’ ye, B’ yü C ye getirir. C, C’ B, B’ K A, A’ D, D’ L

d) O dan izdüşüm denklemine dik geçen 3’lü eksen, A noktasını 120º döndürerek B ye, B yi de 120º döndürerek C ye götürür. C O A B O

e) 4’lü eksen : A noktasını 90º döndürerek B ye ve aynı işlemi iki kere tekrarlayarak B yi C ye C yi D ye getirir. Dördüncü kez uygulamada D A ya gelir. D C A B O

f) 4’ lü inversion ekseni A noktasını D ye getirip sonra inversini alarak B ye götürür. A, izdüşüm düzleminin üstünde bir nokta B ise altında bir noktadır. Aynı işlem B ye uygulanarak C ve C ye uygulanarak D elde edilir. B C A D O

g) m ayna düzlemi XY düzlemi içinde ise izdüşümde dolu bir çember olarak çizilir. m üstte bulunan A noktası (.) yansıtarak B ye (o) götürür. A,B m .O

h) m simetri düzlemi z eksenini içeriyorsa izdüşümde O dan geçen bir doğru parçası olarak görülür. Şekilde m yansıma düzlemi örneğin sol üstteki bir A noktasını sağ üstte yani B ye getirir. O m

i) Bir küpün 4’ lü, 3’ lü, 2’ li dönme eksenleri ile bazı yansıma düzlemleri. c” c’ B’ B c’’’ c A O

Bileşik Dönme Eksenleri Eğer iki enantiyamorfik (sol) şekil bir dönme ile üst üste gelirse bu dönme işlemine birlşik dönme, bu işlemi yaptıran eksene de birleşik eksen denir. Birleşik dönme eksenleri “inversionlu” eksenlerdir. Saf dönme ekseni “n” ile inversionlu dönme ekseni n ile gösterilir. (Eğer bir eksen, bir saf dönme ekseni ile bu eksen üzerinde bulunan bir inversion merkezinin yaptığı işlemi yalnız başına yerine getiriyorsa, böyle bir eksene karışık dönme ekseni denir. Şimdi bu eksenleri tek tek tanıyalım. Dönme eksenleri bildiğimiz gibi dönme simetri öğeleridir. Dönme eksenlerini iki grupta toplayabiliriz: a) Saf dönme eksenleri b) Bileşik dönme eksenleri. Eğer iki idantik ve kongrüant (sağ) şekil bir dönme sonunda çakışırsa bu dönme işlemine saf dönme, bu işlemi yaptıran eksenede saf dönme ekseni denir.Daha önce görüğümüz eksenler saf dönme eksenlerdir.

a) 1 ekseni A noktasını 1 ekseni kendi etrafında döndürerek tekrar A’ ya getirir.i inversion merkezi de A’ yı B’ ye götürür. B noktası etrafında 360 döndürülüp i de inversionu alınınca tekrar A ya dönmüş oluruz. Böylece işlem biter. 1≡+1i dir. Bu eksenin çizim sembolü “o” ve yazım simgesi 1 dir. A i O B

b) 2 ekseni bir A noktası kendi etrafında 180º döndürüp A’ noktasına, i inversion merkezide A’ nü B ye götürür. Çizimi tamamlamak için B’ yi 180º döndürüp B’ ye ve B’ nün inversini alıp sonuçta A’ ya ulaşırız. Şu halde 2 ekseni A yı B ye getirir: A ve B m ayna düzlemine göre birbirinin simetriğidir. Şu halde 2 ekseni bir 1 li eksenle ona dik bir m ayna düzleminin işlevini yerine getirir. 2 ≡ 1/m A’ A i B’ B

c) 3 ekseninin işlevi ve stereografik izdüşümü yanda gösterilmiştir c) 3 ekseninin işlevi ve stereografik izdüşümü yanda gösterilmiştir. Bu eksen bir A noktasını B ye, B yi C ye, C yi D ye, D yi E ye ve E yi F ye götürür. Her iki şekilden 3 ≡ 3 + i olduğu görülür. Bu eksenin çizim simgesi “ “, yazım simgesi “3” dür. C A E O B D F B D A E

d) 4 ekseni bir A1 noktasını kendi ekseni etrafında 90º döndürüp A2 ye getirdikten sonra B3 e götürür. Yani A1 in simetriği B3 dür. B3 aynı yöntemle C5 e ve C5 de D7 ye gelir. D7 yi önce D8 e sonrada inversini alarak A1 e getirir. İşlem tamamlanır. Sonuçta dört nokta elde edilir. A1, B3,C5 ve D7. A1 ve C5 yukarıda, B3 ve D7 aşağıdadır.4 ekseninin bir simetri merkezi yoktur. 4 başka simetri elemanlarına ayrılmaz. Gösterimi : ,4 C’6 C5 A1 A’2 B3 D’8 B’4 D7

e) 6 ekseni üstte A, C, E ve altta B, D, F noktalarını oluşturur e) 6 ekseni üstte A, C, E ve altta B, D, F noktalarını oluşturur. Üstteki ve alttaki noktalar m aynasına göre simetriktirler. Diğer yandan A, C, ve E (aynı zamanda B, D, C ) bir üçlü eksene göre simetriktirler. Şu halde, 6 ≡ 3/m Gösterimi , 6 E C’ E’ C A A’ O m B F’ B’ F D D’ E,B C,F A,D