MATEMATİK ÖĞRENEBİLİR www.muratguner.net DİK ÜÇGENDE METRİK BAĞINTILAR HER GENÇ MATEMATİK ÖĞRENEBİLİR MURAT GÜNER ASIM ÜLKER LİSESİ - 2004

    1. Pisagor ve öklid bağıntıları h a2 = b2 + c2 h2 = p . k www.muratguner.net 1. Pisagor ve öklid bağıntıları B H C p k A h b c a  a2 = b2 + c2  h2 = p . k  Pisagor Bağıntısı c2 = p . a  b2 = k . a Öklid Bağıntısı

2. Kenar uzunlukları aşağıdaki gibi olan üçgenler dik üçgendir. www.muratguner.net 2. Kenar uzunlukları aşağıdaki gibi olan üçgenler dik üçgendir. 3k 4k 5k 8k 15k 17k 5k 12k 13k 7k 24k 25k

ÖRNEK ÇÖZÜM 9 12 x = ? 5 y = ? 16 30 z = ? x = 5.3 = 15 y = 13 www.muratguner.net ÖRNEK 9 12 x = ? 5 y = ? 16 30 z = ? ÇÖZÜM x = 5.3 = 15 y = 13 z = 17.2 = 34 3.3 5 8.2 4.3 12 15.2

5-12-13 mü diye sorgulamadan bunu yapma! www.muratguner.net ÖRNEK A B C x 3x – 3 13 x = ? 5-12-13 mü diye sorgulamadan bunu yapma! ÇÖZÜM ( 3x – 3 )2 + x2 = 132  9x2 – 18x + 9 + x2 = 169  10x2 – 18x + 9 = 169  10x2 – 18x – 160 = 0  x = 5

www.muratguner.net ÖRNEK Şekilde ABC dik üçgeninde ha + hb + hc = ? B H C 8 6 A ÇÖZÜM l BC l = 10 ( 3k – 4k – 5k Üçgeni) A ( ABC ) = = 24 A ( ABC ) = = 24  ha . 10 = 48 hb = 6 hc = 8  ha = 4,8

 ÖRNEK Şekilde ABC dik üçgeninde a2 + b2 + c2 = 128 ise www.muratguner.net ÖRNEK Şekilde ABC dik üçgeninde a2 + b2 + c2 = 128 ise a kaç birimdir ? B C b c A a ÇÖZÜM a2 = b2 + c2 a2 + b2 + c2 = 128 a2 + a2 = 128 2 a2 = 128  a2 = 64 a = 8

5-12-13 mü diye sorgulamadan bunu yapma! www.muratguner.net ÖRNEK . x 11 20 x = ? A B C D 13 5-12-13 mü diye sorgulamadan bunu yapma! y ÇÖZÜM 400 = x2 + y2 + 22y +121 l AB l = y olsun. 400 = 169 + 22y +121  400 – 290 = 22y 132 = x2 + y2 110 = 22y  5 = y 202 = x2 + ( y +11 )2  x = 12 ( 5 -12 -13 )

ÖRNEK l AC l = ? ÇÖZÜM y = 9 l AC l2 = 122 + 162 l AC l2 = 144 + 256  www.muratguner.net ÖRNEK l AC l = ? 7 12 B C A 15 E y ÇÖZÜM y = 9 ( 3k – 4k – 5k ) l AC l2 = 122 + 162 l AC l2 = 144 + 256  l AC l2 = 400  l AC l = 20 -

   ÖRNEK Şekilde ABC üçgeninde x = ? ÇÖZÜM Birinci üçgende www.muratguner.net ÖRNEK . A C B K 3 5 x 4 Şekilde ABC üçgeninde x = ?  4  ÇÖZÜM Birinci üçgende İkinci üçgende l BK l = 4 x2 = 42 + ( 4 )2 ( 3 – 4 – 5 üçgeni ) x2 = 16 + 48 x2 = 64  x = 8

 ÖRNEK Şekilde ABC dik üçgeninde l AH l = ? h ÇÖZÜM l AH l = h olsun www.muratguner.net ÖRNEK Şekilde ABC dik üçgeninde l AH l = ? B H C 3 6 A h ÇÖZÜM l AH l = h olsun h2 = l BH l . l HC l h2 = 3. 6  h2 = 18 h = 3

Şekilde ABC dik üçgeninde l AB l = ? www.muratguner.net ÖRNEK B H C Şekilde ABC dik üçgeninde l AB l = ? 4 9 x A ÇÖZÜM x2 = l BH l . l BC l (Öklid Bağıntısı ) x2 = 4. 13 x2 = 52 x =

Şekilde verilenlere göre www.muratguner.net ÖRNEK Şekilde verilenlere göre B H C x 4x c A ÇÖZÜM c2 = l BH l . l BC l (Öklid Bağıntısı ) c2 = x. 5x. c2 = 5x2 c =

 ÖRNEK ÇÖZÜM l AD l = y olsun x2 = y . 6 42 = y . ( 6 + y ) www.muratguner.net ÖRNEK . 4 x 6 x = ? A B C D y ÇÖZÜM l AD l = y olsun x2 = y . 6 ( Öklid ) 42 = y . ( 6 + y ) x2 = 2 . 6 ( Öklid ) x2 = 12 16 = 6y + y2 0 = y2 + 6y – 16  x = 2 y = 2

ÖRNEK l AK l = 4 . l BK l ise x = ? ÇÖZÜM a = 2 x www.muratguner.net ÖRNEK B H C 4 x A l AK l = 4 . l BK l ise x = ? K 4a a ÇÖZÜM l AK l = 4 . l BK l ise l BK l = a , l AK l = 4a l BK l = a , l AK l = 4a l AH l2 = 82 + 42 x2 = lAHl2 + lHCl2 42 = l BK l . l KA l x2 = 80 + l AH l2 = 64 + 16 16 = a.( 4a ) l AH l2 = 80 x2 = 80 + 41 x2 = 121 a2 = 4 x = 11 a = 2

www.muratguner.net ÖRNEK B C b c A H ÇÖZÜM

  ÖRNEK ÇÖZÜM = 3 4 c b b 4k = c 3k = 5k BC = 5k BC = 20 k = 4 A c b www.muratguner.net ÖRNEK B C b c A H ÇÖZÜM = 3 4 c b b 4k  = c 3k = 5k BC ( 3k – 4k – 5k Üçgeni ) = 5k BC  = 20 k = 4

Şekilde verilenlere göre l BH l = x = ? www.muratguner.net ÖRNEK 1999 B H x A K 20 16 Şekilde verilenlere göre l BH l = x = ? ÇÖZÜM B H x A K 20 16 l KH l = h = 12 ( 3k – 4k – 5k Üçgeni ) 122 = l BK l . 16 ( Öklid Bağıntısı ) l BK l = 9 9 12 l BH l = x = 15 ( 3k – 4k – 5k Üçgeni )

m ( A ) = 90° ve l AH l kenarortay ise www.muratguner.net 3. MUHTEŞEM ÜÇLÜ A B H C A B H C m ( A ) = 90° ve l AH l kenarortay ise  l AH l = l BH l = l HC ise  l AH l = l BH l = l HC l m ( A ) = 90°

Şekilde ABC dik üçgeninde l BH l = l HC l ise l AC l = ? www.muratguner.net ÖRNEK B H C Şekilde ABC dik üçgeninde l BH l = l HC l ise l AC l = ? 10 A 13 ÇÖZÜM 10 B H C A 13 l BH l = l HC l ise muhteşem üçlü gereği l BH l = l HC l = l AH l = 13 l AC l = 24 ( 5k–12k–13k Üçgeni ) 13

Şekilde ABC dik üçgeninde lABl = ? www.muratguner.net ÖRNEK B H C Şekilde ABC dik üçgeninde lABl = ? 7 A 10 ÇÖZÜM l AB l2 + 102 = 142 B H C 7 A 10 !? Muhteşem üçlü gereği 90° olmalı l AB l2 + 100 = 196 l AB l2 = 196 – 100 l AB l2 = 96 l AB l = 4

 ÖRNEK l BD l = l DC l ise x = ? ÇÖZÜM l AD l = 10 www.muratguner.net ÖRNEK 6 8 x A B H D C l BD l = l DC l ise x = ? ÇÖZÜM 6 8 x A B H D C l AD l = 10 ( 3k – 4k – 5k Üçgeni ) l BD l = l DC l ise [ AD ] kenarortaydır. 10 l BD l = l DC l = l AD l ( Muhteşem … ) l BH l = 10 – 6 = 4 4 10 x2 = 82 + 42  4 x2 = 80

ABC üçgeninin çevresi kaç birimdir? www.muratguner.net ÖRNEK B H C A 5 12 ABC üçgeninin çevresi kaç birimdir? ÇÖZÜM B A H C 5 12 F K l BF l = l FA l = l FH l = 5 ; muhteşem… 12 5 l AK l = l KC l = l KH l = 12 ; muhteşem… l BC l = 26 ; 5k – 12k – 13k Üçgeni 5 Ç (ABC ) = 10 + 24 +26 = 60

www.muratguner.net 4. ÖZEL DİK ÜÇGENLER  Dik üçgende 30° nin karşısındaki kenar hipotenüsün yarısına eşittir.  60° nin karşısındaki kenar hipotenüsün yarısının katına eşittir. 60° 30° 60° 30° 2a 2a a a

www.muratguner.net  İkizkenar dik üçgende hipotenüs dik kenarlardan birinin katına eşittir. 45° a a a

 67,5° – 22 ,5 – 90° ve 75° – 15° – 90° üçgenleri www.muratguner.net  67,5° – 22 ,5 – 90° ve 75° – 15° – 90° üçgenleri A 67,5° 22,5° B C h H A 75° 15° B C h H   m ( B ) = 67,5° m ( B ) = 75° l BC l = 2 h dır. l BC l = 4h dır.

= 3 10 ÖRNEK Şekilde ABC dik üçgeninde x = ? ÇÖZÜM B C 20 x A 60° www.muratguner.net ÖRNEK Şekilde ABC dik üçgeninde x = ? B C 20 x A 60° ÇÖZÜM = 3 10

 ÖRNEK Şekilde ABC dik üçgeninde x = ? ÇÖZÜM x 4 = x = 8 2 x 4 30° . www.muratguner.net ÖRNEK Şekilde ABC dik üçgeninde x = ? . 4 x 30° ÇÖZÜM x  4 = x = 8 2

Şekilde ABC dik üçgeninde x = ? www.muratguner.net ÖRNEK Şekilde ABC dik üçgeninde x = ? . 3 x 45° ÇÖZÜM . 3 45° 45° x = 3 3

ÖRNEK x = ? 12 ÇÖZÜM l HB l = 12 l AB l = x = 12 x A B H C 5 13 12 www.muratguner.net ÖRNEK A B H C 5 13 12 x x = ? 12 ÇÖZÜM l HB l = 12 ( 5 – 12 – 13 Üçgeni ) l AB l = x = 12 ( 45° – 45° - 90° üçgeni )

ÖRNEK l AB l = 2 cm ise A( ABC ) = ? ÇÖZÜM 2 A 67,5° 22,5° B C A 2 D 2 www.muratguner.net ÖRNEK C A 67,5° B 22,5° l AB l = 2 cm ise A( ABC ) = ? ÇÖZÜM A 2 D 2 45° 2 2 45° 67,5° 22,5° 22,5° B C

   ÖRNEK l BD l = l DC l , l AD l = 5 cm İse l AB l kaç cm’ dir? www.muratguner.net ÖRNEK . B D C A l BD l = l DC l , l AD l = 5 cm İse l AB l kaç cm’ dir? 5 y 3 x x ÇÖZÜM y2 + x2 + 3x2 = 52 l AB l = y olsun. 25 + 3x2 = 52 52 = x2 + y2  3x2 = 52 – 25 3x2 = 27  x2 = 9  x = 3 y2 + 4x2 = 52 y = 4 ; 3 – 4 – 5 üçgeni

     ÖRNEK Şekilde ABC dik üçgeninde x = ? ÇÖZÜM B H C 6 x A 60° www.muratguner.net ÖRNEK Şekilde ABC dik üçgeninde x = ? B H C 6 x A 60° ÇÖZÜM B H C 6 x A 60°   30°   60° 30° 

ÖRNEK ÇÖZÜM 2a 2a a a a 2 A B D C 45° 30° A B D C 45° 30° www.muratguner.net ÖRNEK A B D C 45° 30° ÇÖZÜM A B D C 45° 30° 2a 2a a a 2 a

ÖRNEK 1996-ll ÇÖZÜM l AH l = 3 l BH l = 3 x = A l AB l = ? x 6 45° 30° www.muratguner.net ÖRNEK 1996-ll 30° A B C x l AB l = ? 45° 6 ÇÖZÜM A l AH l = 3 ; 30° nin karşısındaki... 45° 60° x 6 l BH l = 3 ; İkizkenar dik üçgen 3 x = 45° 30° ; İkizkenar dik üçgen B 3 H C

İKİZKENAR ÜÇGENİN ÖZELLİKLERİ www.muratguner.net İKİZKENAR ÜÇGENİN ÖZELLİKLERİ

www.muratguner.net 1. İkizkenar üçgende [ BC ] tabanına ait yükseklik ,açıortay ve kenarortay aynı doğru parçasıdır. A C l AH l = Va = na =ha B H 2. İkizkenarlara ait yükseklikler birbirine ,açıortaylar birbirine ve kenarortaylar birbirine eşittir. A B C A B C A hb hc nb nc Vb Vc hb = hc nb = nc B C Vb = Vc

www.muratguner.net 3. İkizkenar üçgende taban üzerindeki herhangi bir noktadan ikizkenarlara çizilen yüksekliklerin toplamı ikizkenarlardan birine ait olan yüksekliğe eşittir. F E B C A D Yani ; D  [ BC ] , l AB l = l AC l ise l DE l + l DF l = hb = hc

www.muratguner.net 4. İkizkenar üçgende taban üzerindeki herhangi bir noktadan ikizkenarlara çizilen paralel doğru parçalarının uzunlukları toplamı ikizkenarlardan birinin uzunluğuna eşittir. B F E A D C       Yani ; D  [ BC ] , l AB l = l AC l , DF // AC , DE // AB ise l DE l + l DF l = l AB l = l AC l = b

D  BC – [ BC ] , l AB l = l AC l , DE  AC , DF  AB ise www.muratguner.net 5 İkizkenar üçgende taban üzerindeki herhangi bir noktadan ikizkenarlara indirilen dikmelerin uzunlukları farkı ikizkenarlardan birine ait yüksekliğe eşittir. A B C D F E Yani ; D  BC – [ BC ] , l AB l = l AC l , DE  AC , DF  AB ise l l DF l – l DE l l = hb = hc

ÖRNEK x = ? ÇÖZÜM l AD l = l DB l l CD l = 12 l MD l = 9 – 4 = 5 www.muratguner.net ÖRNEK 15 14 4 x x = ? ÇÖZÜM C l AD l = l DB l ; İkizkenar üçgende yükseklik tabanı iki eş parçaya ayırır. 15 15 l CD l = 12 ; 5 – 12 – 13 üçgeni x 12 l MD l = 9 – 4 = 5 5 9 A 4 x = 13 M D 14 B ; 5 – 12 – 13 üçgeni 4 14

ÖRNEK ÇÖZÜM Şekilde verilenlere göre l AB l = l AC l ise l AB l = ? ; www.muratguner.net ÖRNEK F E B C A D Şekilde verilenlere göre l AB l = l AC l ise l AB l = ? 5 3 30° ÇÖZÜM F E B C A D İkizkenarlara çıkılan dikmelerin toplamı ikizkenarlardan birinin yüksekliğine eşittir. ; hc = 3 + 5 = 8 30° hc= 8 l AB l = l AC l = 16 ; 30° nin karşısındaki kenar… 5 3

ÖRNEK l BC l = ? ÇÖZÜM l AH l = 2 l HC l = l BC l = A 120° 4 30° C B A www.muratguner.net ÖRNEK 120° 30° A B C 4 l BC l = ? ÇÖZÜM A l AH l = 2 ; 30° nin karşısındaki ….. 60° 120° 60° 4 l HC l = 4 ; 60° nin karşısındaki … 2 l BC l = 30° 30° B H C

3 2 3  3 ÖRNEK l AB l = 2 ise l BC l = ? ÇÖZÜM l BD l 2 l BD l = 4 = www.muratguner.net ÖRNEK l AB l = 2 ise l BC l = ? 105° 60° A B C ÇÖZÜM l BD l  A 2 l BD l = 4 = 2 105° 15° 4 3 = 3 2 2 l AD l = 2 3 2 60° 3 30° 15° l BC l = 4 + 2 B 4 D 2 3 C

 ÖRNEK 1999 ÇÖZÜM M( AKB ) = 30° 8 x = x = 4 2 www.muratguner.net ÖRNEK 1999 30° x M L 6 2 B D A AL // MB , l AD l = 6 cm l BD l = 2 olduğuna göre l ML l = x kaç cm dir? ÇÖZÜM 30° x M L 6 2 B D A M( AKB ) = 30°  ; ( İçters açı ) 8  x x = x = 4 2 2 30° K

www.muratguner.net ÖRNEK 7 A D B C E 24 l DC l = 7br , l AD l = 24br , l AE l = l EB l ise l BD l =? ÇÖZÜM 7 A D B C E 24 İkizkenar üçgende yükseklik tabanı iki eşit parçaya ayırır. l AC l = l BC l ; x + 7 x + 7 = 25 ; 7 – 24 – 25 Üçgeni x = 18 x

ÖRNEK ÇÖZÜM Şekilde ABC dik üçgeninde x = ? 102 = 6.( 12 + x ) www.muratguner.net ÖRNEK Şekilde ABC dik üçgeninde x = ? 10 B A C D 12 x ÇÖZÜM 10 B A C D x 102 = 6.( 12 + x ) 6 12 E 6 100 = 72 + 6x 100 – 72 = 6x 28 = 6x 14 / 3 = x

EŞKENAR ÜÇGENİN ÖZLLİKLERİ www.muratguner.net EŞKENAR ÜÇGENİN ÖZLLİKLERİ

1. İkizkenar üçgenin bütün özelliklerini sağlar. www.muratguner.net A B C 60° a ha na Va H 1. İkizkenar üçgenin bütün özelliklerini sağlar. 2. Bütün yükseklik , açıortay ve kenarortay eşittir. Va = na =ha = x Vb = nb =hb = x Vc= nc =hc = x

[ MD ]  [ AB ] , [ DK ]  [ AC ] , [DN ]  [ BC ] ise www.muratguner.net 3. Eşkenar üçgende üçgen içinde alınan herhangi bir noktadan kenarlara çizilen dikmelerin uzunlukları toplamı , bir yüksekliğe eşittir. D A B C K N M h Yani ; [ MD ]  [ AB ] , [ DK ]  [ AC ] , [DN ]  [ BC ] ise l DK l + l DM l + l DN l = h =

[ MD ] // [ AC ] , [ DK ] // [ BC ] , [DN ] // [ AB ] ise www.muratguner.net 4. Eşkenar üçgende , üçgen içinde alınan herhangi bir noktadan kenarlara çizilen paralellerin uzunluklar toplamı, üçgenin bir kenar uzunluğuna eşittir. D A B C K N M    a Yani ; [ MD ] // [ AC ] , [ DK ] // [ BC ] , [DN ] // [ AB ] ise l DK l + l MD l + l DN l = a

 ÖRNEK ABC eşkenar üçgen , l BC l = 2.l CD l = 2 cm ise x = ? ÇÖZÜM www.muratguner.net ÖRNEK ABC eşkenar üçgen , l BC l = 2.l CD l = 2 cm ise x = ? B C D A x ÇÖZÜM l BC l = 2.l CD l = 2  A l CD l = 1 , l BC l = 2 60° l BH l = l HC l = 1 ; Eşkenar üçgende yükseklik tabanı iki eş parçaya ayırır. 2 l AH l = ; 60° nin karşısındaki…. B 1 H 1 C 1 D 2

    x = 2 ÖRNEK ABC dik üçgen , BEF eşkenar üçgen www.muratguner.net ÖRNEK ABC dik üçgen , BEF eşkenar üçgen l AE l = 2.l EF l ve l FC l = 10 ise A B C E F l BF l = ? ÇÖZÜM A B C E F l AE l = 2.l EF l  l EF l = x , l AE l = 2x 2x 2 x + 10 3x =  6x = x + 10 x 60° x  5x = 10 60° 60° 30° x 10  x = 2

ÖRNEK  ÇÖZÜM l AD l = 7 cm , l BC l = 5 cm m( ADC ) = m ( BCD ) = 60° www.muratguner.net ÖRNEK A l AD l = 7 cm , l BC l = 5 cm 60° m( ADC ) = m ( BCD ) = 60°  B ise l DC l = x kaç cm ’ dir? D C ÇÖZÜM A B C D 60° l DC l = x = 4 + 5 = 9 2 60° E 30° 4 7 60° 5 5 5 60° 4 5

  ÖRNEK 1997-l ÇÖZÜM Yandaki şekilde ABC eşkenar üçgenler , www.muratguner.net ÖRNEK 1997-l A D B C Yandaki şekilde ABC eşkenar üçgenler , E ÇÖZÜM A D B C E  l DC l = 2k , l DA l = 3k 3k 2k  30° 60° 4k k

www.muratguner.net ÖRNEK 1996-l C D O A B E L x Yandaki şekilde ABC ve DOC eşkenar üçgenler , l CL l = l LB l l AO l = l OB l , [ DE ] // [ AB ] ve l DE l = 8 cm olduğuna göre l OL l = x kaç cm dir? D O A B C E L ÇÖZÜM l OC l = h olsun 30° x  8 Eşkenar üçgende yükseklik tanımı 30° x ; x 60° 60°

Şekilde ABC üçgeni eşkenar üçgendir. [ DE ] // [ BC ] [ GD] // [ AC ] www.muratguner.net ÖRNEK Şekilde ABC üçgeni eşkenar üçgendir. [ DE ] // [ BC ] [ GD] // [ AC ] [DF ] // [ AB ] ve l ABl = 6 br ise l DF l + l GD l + l DE l = ? D A B C E F G ÇÖZÜM l DF l + l GD l + l DE l = l AB l = 6