Dinamik Sistem Dinamik sistem: (T, X, φt ) φt : X X a1) φ0=I Zaman Durum Gelişim Fonksiyonu Dinamik sistem: (T, X, φt ) φt : X X a1) φ0=I a2) φt+s =φt ◦ φs ▪

Yörünge: Or(xo) xo ilk koşulundan başlayan bir yörünge, x durum uzayının sıralı bir alt kümesidir. Lineer otonom sistem Lojistik dönüşüm

Denge noktası- Sabit nokta: Denge noktası-Sabit nokta nasıl belirlenir? Ayrık Zaman Sürekli Zaman Çevrim: periyodik yörüngesi Çevrimdir. Ayrık Zaman Sürekli Zaman Y.A. Kuznetsov, “Elements of Applied Bifurcation Theory”3rd Edition, Springer, 2004,

Sürekli zaman, dinamik bir sisteme ait bir çevrimin komşuluğunda başka Limit Çevrim: Sürekli zaman, dinamik bir sisteme ait bir çevrimin komşuluğunda başka bir çevrim yoksa bu çevrim Limit Çevrimdir. Hangisi çevrim, hangisi limit çevrim? Faz Portresi: Dinamik bir sistemin durum uzayının yörüngeler ile bölümlenmesi faz portresini verir. Bu yörüngeleri birbirinden farklı kılan nedir? Faz portresine bakarak neleri anlayabiliriz?

Değişmez Küme (S) : Değişmez küme sistemin asimptotik durumları hakkında bilgi veriyor. Dinamik sistemin yörüngelerini içeriyor ve her yörünge bir değişmez küme. Durum uzayı bir metrik uzay ise kapalı değişmez kümeleri tanımlayabiliriz. Kapali: M metrik uzay X’in alt kumesi olmak uzere acik kumedir eger her x elemani M icin bir B acik yuvari varsa. K’nin X’deki tumleyenleri acik ise K kapali kumedir. En basit kapalı değişmez alt küme Denge noktası, limit çevrim Manifold Tuhaf çekici

Değişmez kümeleri gözlemeleyebilmemiz için kolayca bulabilmemiz gerek, bu ne zaman olası? Civarlarındaki yörüngeler de zaman ilerledikçe değişmez kümeye yaklaşırsa Kararlı değişmez küme: tam metrik uzay kapalı değişmez küme Lyapunov anlamında kararlılık Bu tanımı değişmez küme tanımından farklı kılan ne? ‘nun yeterince küçük herhangi bir komşuluğunda bir komşuluğu var öyle ki ‘nun bir komşuluğu vardır öyle ki Değişmez Küme (S) : Asimptotik kararlılık Lyapunov anlamında kararlılık Y.A. Kuznetsov, “Elements of Applied Bifurcation Theory”3rd Edition, Springer, 2004,

Lyapunov anlamında kararlılık nasıl tanımlanmıştı, hatırlayalım Tanım: Lyapunov anlamında kararlılık sistemine ilişkin bir denge noktası olsun. Verilen herhangi bir için eşitsizliği eşitsizliğini gerektirecek şekilde bir bulunabiliyorsa denge noktası Lyapunov anlamında kararlıdır. Denge noktası kararlı olsun. ise denge noktası asimptotik kararlıdır.

Bir başka Lyapunov anlamında kararlılık verilen sistemin herhangi bir çözümü olsun Tanım: Lyapunov anlamında kararlılık (Wiggens, sf.7) sistemine ilişkin bir çözüm olsun. Verilen herhangi bir için herhangi bir başka çözüm olmak üzere eşitsizliği eşitsizliğini gerektirecek şekilde bir bulunabiliyorsa çözümü Lyapunov anlamında kararlıdır. kararlı olsun. ise çözümü asimptotik kararlıdır. S. Wiggens, “Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos ”2nd Edition, Springer, 2003,

Bir Örnek Strogatz, sf.16

Dinamik sistemin kararlılığını incelemenin kolay bir yolu var mı? niye böyle bir soru sorduk? Teorem 1: (ayrık zaman sisteminin sabit noktasının kararlılığı için yeter koşul) kararlıdır

Bir örnek: Henon Dönüşümü

Teorem 2: (Ayrık zaman sisteminin sabit noktasının varlığı ve kararlılığı için yeter koşul) tam metrik uzay bu metrik uzayda tanımlanmış bir metrik Ayrık zaman dinamik sisteminin bir kararlı sabit noktası vardır ve . Teorem 1’den farklı ne söylemekte?

Sürekli zaman dinamik sistemlerinin kararlılığını nasıl inceleyeceğiz? Öncelikle , çözümün varlığından tekliğinden ve ilk koşullara sürekli bağımlılığından emin olmalıyız Teorem 3: (Sürekli zaman dinamik sisteminin çözümünün varlığı, tekliği ve ilk koşullara sürekli bağlılığı için yeter koşul ) açık bölge ‘de için aşağıdaki koşulları sağlayan tek bir vardır. ‘da başlayan çözüm

Artık çözümlerin varlığı ve tekliğini biliyoruz , çözümü her için neleri belirliyor? trajectory çözüm orbit yörünge Gelişim fonksiyonu Peki, ayrık zamanda ne oluyordu? Artık çözümlerin varlığı ve tekliğini biliyoruz , yeniden kararlı değişmez kümelere bakalım Ayrık zaman için yazılan Teorem 1 gibi bir teorem sürekli zaman için de var mı? Teorem 4: (Lyapunov ) kararlıdır

Bir örnek: Lorenz Osilatörü

Teorem 5: (Lyapunov’un ikinci metodu) Bu teorem benzer şekilde ayrık zaman içinde var kararlıdır Lyapunov fonksiyonunu nasıl bulacağız? Sakınımlı sistemler Fiziksel sistemin davranışına ilişkin denklemler Fiziksel sistemde depolanmış enerjiye ilişkin denklemler Gradyen sistemler

Hamiltonyan Sistemler LC devresi Sürtünmesiz Sarkaç Verilen örneklerin hamiltonyen oldugunu goster