[ Doğrusal Programlama] [DOĞRUSAL PROGRAMLAMA ÖRNEKLERİ] YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I [ Doğrusal Programlama] [DOĞRUSAL PROGRAMLAMA ÖRNEKLERİ] Ahmet AKSOY

[ Doğrusal Programlama] YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I [ Doğrusal Programlama] [MODEL KURMA ÖRNEĞİ] Ahmet AKSOY

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I Soru Bir şeker fabrikası aşağıda sunulan kaynak ve kısıtlar altında jelibon ve bonibon üretiminde karını maksimize etmeyi hedeflemektedir. Günlük olarak kullanılan kaynak miktarı sırasıyla; 40 kg boya ve 120 kg şeker pancarı maddesidir Kaynak İhtiyacı (koli başına) Boya(kg) Şeker Pancarı(kg) Kar (TL) Jelibon 10 40 20 Bonibon 20 30 30 Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I Çözüm Karar değişkenleri X1: üretilecek Jelibon # X2: üretilecek Bonibon # Amaç fonksiyonu ZMAX = 20 X1 + 30 X2 Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I Çözüm Kısıtlamalar ZMAX = 20 X1 + 30 X2 -------- amaç max. kar 10 X1 + 20 X2 ≤ 40 --------- 1.kısıt boya kısıtı 40 X1 + 30 X2 ≤ 120 ----------2.kısıt şeker pancarı kısıtı X1, X2 ≥ 0 Matematiksel Model Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I Çözüm Grafik Çözüm 10 X1 + 20 X2=40 X1=0 için; X2=2 X2=0 için; X1=4 -------1.kısıt 40 X1 + 30 X2=120 X1=0 için; X2=4 X2=0 için; X1=3 --------2.kısıt 20 X1 + 30 X2 =60 X1=0 için; X2=2 X2=0 için; X1=3 -------- amaç fonksiyonu Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I Çözüm X2 1.Kısıt 2.Kısıt Amaç Fonksiyonu 4 Olurlu bölge 3 2 1 X1 1 2 3 4 Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I Çözüm Grafik Çözüm 10 X1 + 20 X2=40 40 X1 + 30 X2=120 ZMAX = 20 X1 + 30 X2 =72 X1=2,4 X2=0,8 Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I Tora Programı Yöneylem Araştırması - I

[ Primal Simpleks Yöntem] [ PRİMAL SİMPLEKS YÖNTEMİNE ÖRNEK ] YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I [ Primal Simpleks Yöntem] [ PRİMAL SİMPLEKS YÖNTEMİNE ÖRNEK ] I.Öğretim / Grup : 07

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I Primal Simpleks Yöntem Kısıtlamalar ZMAX = X1 + 2X2 -------- > amaç max. kar 3X1 + X2 ≤ 6 -------->(1.kısıt ) - X1 + 4 X2 ≤ 8 -------->(2.kısıt ) X1 + X2 ≤ 2 -------->(3.kısıt) X2 ≤ 1 -------->(4.kısıt) X1, X2 ≥ 0 Matematiksel Model Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I Primal Simpleks Yöntem Standart Hali +X1 +2X2 + 0 S1 + 0 S2 + 0 S3 + 0 S4 = ZMAX 3 X1 + X2 + 1 S1 + 0 S2+ 0 S3 + 0 S4 = 6 - X1 + 4 X2 + 0 S1+ 1 S2 + 0 S3 + 0 S4 = 8 X1 + X2 + 0 S1 + 0 S2 + 1 S3 + 0 S4 =2 0 X1 + X2 + 0 S1 + 0 S2 + 0 S3 + 1 S4 =1 X1,X2 ,S1 ,S2 ,S3 ,S4 ≥0 Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I Primal Simpleks Yöntem Başlangıç Tablosu Temel X1 X2 S1 S2 S3 S4 Çözüm Z -1 -2 3 1 6 4 8 2 Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I Primal Simpleks Yöntem Başlangıç Tablosu Anahtar Sütun Temel X1 X2 S1 S2 S3 S4 Çözüm Z -1 -2 3 1 6 4 8 2 1 Anahtar Eleman Anahtar Satır Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I Primal Simpleks Yöntem İterasyon Hesaplamaları/Yeni Anahtar Satır İçin Yeni anahtar Satır = Eski Anahtar Satır/ Anahtar Sayı ( 0 1 0 0 0 1 1 ) /1 = 0 1 0 0 0 1 1 Temel X1 X2 S1 S2 S3 S4 Çözüm Z   0  1  Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I Primal Simpleks Yöntem İterasyon Hesaplamaları / Diğer Satırlar İçin (Yeni Satır) =(Eski Satır) - (İlgili Satırın Anahtar Sütun Elemanı) x (Yeni .anahtar Satırı) Eski Z Satırı : ( -1 -2 0 0 0 0 0 ) - ( -1 ) x Yeni Anahtar Satırı : ( 0 1 0 0 0 1 1 ) =Yeni Z Satırı ( -1 0 0 0 0 2 2 ) Temel X1 X2 S1 S2 S3 S4 Çözüm Z -1 -2 3 1 6 4 8 2 Eski Z Satırı Temel X1 X2 S1 S2 S3 S4 Çözüm Z -1 2 1 Yeni Z Satırı Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I Primal Simpleks Yöntem İterasyon Hesaplamaları / Diğer Satırlar İçin (Yeni Satır) =(Eski Satır) - (İlgili Satırın Anahtar Sütun Elemanı) x (Yeni .anahtar Satırı) Eski S1 Satırı : ( 3 1 1 0 0 0 6 ) - ( 3 ) x Yeni Anahtar Satırı : ( 0 1 0 0 0 1 1 ) =Yeni S1 Satırı ( 3 0 1 0 0 -1 5 ) Temel X1 X2 S1 S2 S3 S4 Çözüm Z -1 -2 3 1 6 4 8 2 Eski S1 Satırı Temel X1 X2 S1 S2 S3 S4 Çözüm Z -1 2 3 1 5 Yeni S1 Satırı Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I Primal Simpleks Yöntem İterasyon Hesaplamaları / Diğer Satırlar İçin (Yeni Satır) =(Eski Satır) - (İlgili Satırın Anahtar Sütun Elemanı) x (Yeni .anahtar Satırı) Eski S2 Satırı : ( -1 4 0 1 0 0 8 ) - ( -1 ) x Yeni Anahtar Satırı : ( 0 1 0 0 0 1 1 ) =Yeni S2 Satırı ( -1 0 0 2 0 -2 4 ) Temel X1 X2 S1 S2 S3 S4 Çözüm Z -1 -2 3 1 6 4 8 2 Eski S2 Satırı Temel X1 X2 S1 S2 S3 S4 Çözüm Z -1 2 3 1 5 -4 4 Yeni S2 Satırı Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I Primal Simpleks Yöntem İterasyon Hesaplamaları / Diğer Satırlar İçin (Yeni Satır) =(Eski Satır) - (İlgili Satırın Anahtar Sütun Elemanı) x (Yeni .anahtar Satırı) Eski S3 Satırı : ( 1 1 0 0 1 0 2 ) - ( 1) x Yeni Anahtar Satırı : ( 0 1 0 0 0 1 1 ) =Yeni S3 Satırı ( 1 0 0 0 1 -1 1 ) Temel X1 X2 S1 S2 S3 S4 Çözüm Z -1 -2 3 1 6 4 8 2 Eski S3 Satırı Temel X1 X2 S1 S2 S3 S4 Çözüm Z -1 2 3 1 5 -4 4 Yeni S3 Satırı Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I Primal Simpleks Yöntem 1.İterasyon Temel X1 X2 S1 S2 S3 S4 Çözüm Z -1 2 3 1 5 -4 4 Z = 2 X2 = 1 X1 = 0 (Temelde var olmadığı için) Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I Primal Simpleks Yöntem 1.İterasyon Temelde olmayan değişkenlerin Z satırındaki değerlerinden S4’in katsayısı negatif değil fakat X1’in katsayısı negatif olduğu için Optimallik Şartı sağlanmamıştır. Temel X1 X2 S1 S2 S3 S4 Çözüm Z -1 2 3 1 5 -4 4 Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I Primal Simpleks Yöntem 2.İterasyon Temel X1 X2 S1 S2 S3 S4 Çözüm Z -1 2 3 1 5 -4 4 X1 = Temele girer S3 = Temelden çıkar Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I Primal Simpleks Yöntem 2.İterasyon İşlemleri Temel X1 X2 S1 S2 S3 S4 Çözüm Z 1 -1 X1 = Temele girer S3 = Temelden çıkar Yeni Anahtar Satır Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I Primal Simpleks Yöntem 2.İterasyon İşlemleri Temel X1 X2 S1 S2 S3 S4 Çözüm Z 1 3 -1 Yeni Z Satırı Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I Primal Simpleks Yöntem 2.İterasyon İşlemleri Temel X1 X2 S1 S2 S3 S4 Çözüm Z 1 3 -3 2 -1 Yeni S1 Satırı Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I Primal Simpleks Yöntem 2.İterasyon İşlemleri Temel X1 X2 S1 S2 S3 S4 Çözüm Z 1 3 -3 2 -5 5 -1 Yeni S2 Satırı Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I Primal Simpleks Yöntem 2.İterasyon İşlemleri Temel X1 X2 S1 S2 S3 S4 Çözüm Z 1 3 -3 2 -5 5 -1 Yeni X2 Satırı Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I Primal Simpleks Yöntem 2.İterasyon Temelde olmayan değişkenlerin Z satırındaki değerleri negatif olmadığı için Optimallik Şartı sağlanmıştır. Optimal Tablo: Temel X1 X2 S1 S2 S3 S4 Çözüm Z 1 3 -3 2 -5 5 -1 Z = 3 X1 = 1 X2 = 1 Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I Tora Programı Yöneylem Araştırması - I

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I [M YÖNTEMİ] [ M Yöntemine Örnek]

Yöneylem Araştırması - I Doğrusal Programlama M Yöntemi Kısıtlamalar ZMİN = 4X1 + 5X2 -------- > amaç min. kar 5X1 + 5X2 = 60 -------->(1.kısıt ) 6X1 + 4X2 ≥ 60 -------->(2.kısıt ) 3X1 + X2 ≤ 27 --------> (3.kısıt) X1, X2 ≥ 0 Matematiksel Model Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I M Yöntemi Standart Hali 4X1 + 5X2 = ZMİN 5X1 + 5X2 + 0X3 + 0X4 = 60 6X1 + 4X2 - X3 + 0X4 = 60 3X1 + X2 + 0 X3 + X4 =27 X1,X2 , X3, X4 ≥0 Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I M Yöntemi Yapay Değişken Eklemek 4X1 + 5X2 = ZMİN 5X1 + 5X2 + R1 = 60 6X1 + 4X2 - X3 + R2 = 60 3X1 + X2 + X4 =27 X1,X2 , X3, X4 ≥0 Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I M Yöntemi Yapay Değişken Eklemek 4X1 + 5X2 + MR1 + MR2 = ZMİN 5X1 + 5X2 +0 X3 + R1 + 0R2 + 0X4 = 60 6X1 + 4X2 - X3 + 0R1 + R2 + 0X4 = 60 3X1 + X2 +0 X3 + 0R1 + 0R2 + X4 =27 X1,X2 , X3, X4 ≥0 Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I M Yöntemi R1 ve R2’nin Çekilmesi R1 = 60 - 5X1 - 5X2 R2 = 60 - 6X1 – 4X2 + X3 Z =4X1 + 5X2 + MR1 + MR2 Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I M Yöntemi R1 ve R2’nin Çekilmesi R1 = 60 - 5X1 - 5X2 R2 = 60 - 6X1 – 4X2 + X3 Z =4X1 + 5X2 + MR1 + MR2 Z=4x1 + 5 x2 + M (60 - 5X1 - 5X2 ) + M(60 - 6X1 – 4X2 + X3 ) Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I M Yöntemi Z= (4-11M) X1 + (5-9M) X2+ MX3 + 120M Başlangıç Tablosuna: Z- (4-11M) X1 - (5-9M) X2 + MX3 = 120M 5X1 + 5X2 + R1 = 60 6X1 + 4X2 - X3 + R2 = 60 3X1 + X2 + X4 =27 Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I M Yöntemi Başlangıç Tablosu Temel X1 X2 X3 R1 R2 X4 Çözüm Z 11M-4 9M-5 -M 120M 5 1 60 6 4 -1 3 27 Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I M Yöntemi 1. İterasyon işlemleri Anahtar Sütun ve Satırın Belirlenmesi Temel X1 X2 X3 R1 R2 X4 Çözüm Z 11M-4 9M-5 -M 120M Oran 5 1 60 60/5=12 6 4 -1 60/6=10 3 27 27/3=9 Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I M Yöntemi 1.İterasyon işlemleri Yeni anahtar satır = Eski X4 / Anahtar Eleman Temel X1 X2 X3 R1 R2 X4 Çözüm Z 1 1/3 9 Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I M Yöntemi 1. İterasyon işlemleri Yeni Z satırı Temel X1 X2 X3 R1 R2 X4 Çözüm Z (16M-11)/3 -M (4-11M)/3 21M+36 1 1/3 9 Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I M Yöntemi 1. İterasyon işlemleri Yeni R1 satırı Temel X1 X2 X3 R1 R2 X4 Çözüm Z (16M-11)/3 -M (4-11M)/3 21M+36 10/3 1 -5/3 15 1/3 9 Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I M Yöntemi 1. İterasyon işlemleri Yeni R2 satırı Temel X1 X2 X3 R1 R2 X4 Çözüm Z (16M-11)/3 -M (4-11M)/3 21M+36 10/3 1 -5/3 15 2 -1 -2 6 1/3 9 Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I M Yöntemi 2. İterasyon işlemleri Anahtar Sütun ve Satırın Belirlenmesi Temel X1 X2 X3 R1 R2 X4 Çözüm Z (16M-11)/3 -M (4-11M)/3 21M+36 Oran 10/3 1 -5/3 15 15/10/3=4,5 2 -1 -2 6 6/2=3 1/3 9 9/1/3=27 Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I M Yöntemi 2. İterasyon işlemleri Yeni anahtar satır = Eski R2 / Anahtar Eleman Temel X1 X2 X3 R1 R2 X4 Çözüm Z 1 -1/2 1/2 -1 3 Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I M Yöntemi 2. İterasyon işlemleri Yeni Z satırı Temel X1 X2 X3 R1 R2 X4 Çözüm Z (10M-11)/6 (11-16M)/6 (3M-7)/3 5M+47 1 -1/2 1/2 -1 3 Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I M Yöntemi 2. İterasyon işlemleri Yeni R1 satırı Temel X1 X2 X3 R1 R2 X4 Çözüm Z (10M-11)/6 (11-16M)/6 (3M-7)/3 5M+47 5/3 1 -5/3 5 -1/2 1/2 -1 3 Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I M Yöntemi 2. İterasyon işlemleri Yeni X1 satırı Temel X1 X2 X3 R1 R2 X4 Çözüm Z (10M-11)/6 (11-16M)/6 (3M-7)/3 5M+47 5/3 1 -5/3 5 -1/2 1/2 -1 3 1/6 -1/6 2/3 8 Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I M Yöntemi 2. İterasyon işlemleri Anahtar Sütun ve Satır Belirlemesi Temel X1 X2 X3 R1 R2 X4 Çözüm Z (10M-11)/6 (11-16M)/6 (3M-7)/3 5M+47 Oran 5/3 1 -5/3 5 5/(5/3)=3 -1/2 1/2 -1 3 3/(-1/2)=-6 1/6 -1/6 2/3 8 8/(1/6)=48 Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I M Yöntemi 3. İterasyon işlemleri Yeni anahtar satır = Eski R1 / Anahtar Eleman Temel X1 X2 X3 R1 R2 X4 Çözüm Z 1 3/5 -1 3 Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I M Yöntemi 3. İterasyon işlemleri Yeni Z satırı Temel X1 X2 X3 R1 R2 X4 Çözüm Z (-10M+11)/10 -M (-4M-3)/6 105/2 1 3/5 -1 3 Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I M Yöntemi 3. İterasyon işlemleri Yeni X2 satırı Temel X1 X2 X3 R1 R2 X4 Çözüm Z (-10M+11)/10 -M (-4M-3)/6 105/2 1 3/5 -1 3 3/10 -1/2 9/2 Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I M Yöntemi 3. İterasyon işlemleri Yeni X1 satırı Temel X1 X2 X3 R1 R2 X4 Çözüm Z (-10M+11)/10 -M (-4M-3)/6 105/2 1 3/5 -1 3 3/10 -1/2 9/2 -1/10 8/6 15/2 Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I M Yöntemi Temel X1 X2 X3 R1 R2 X4 Çözüm Z (-10M+11) /10 -M (-4M-3)/6 105/2 1 3/5 -1 3 3/10 -1/2 9/2 -1/10 8/6 15/2 Nihai Çözüm: Z =105/2 X1 =15/2 X2=9/2 Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I Tora Programı Yöneylem Araştırması - I

[İKİ AŞAMALI YÖNTEME ÖRNEK ] YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I [İki Aşamalı Yöntem] [İKİ AŞAMALI YÖNTEME ÖRNEK ]

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I İki Aşamalı Yöntem Kısıtlamalar ZMAX = 3X1 + 2X2 + 3X3 -------- > amaç fonksiyonu X1 + X2 + X3 ≤ 2 -------->(1.kısıt ) 3X1 + 4X2 + 2X3 ≥ 20 -------->(2.kısıt ) X1, X2 , X3 ≥ 0 Matematiksel Model Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I İki Aşamalı Yöntem Standart Hali RMİN = R1 X1 + X2 + X3 + 0X4 + 1X5 + 0R1 = 2 3X1 + 4X2 + 2X3 - X4 + 0X5 + 1R1= 8 X1,X2 , X3, X4, R1, R2 ≥0 Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I İki Aşamalı Yöntem Standart Hali R1 = 2 - X1 -X2 - X3 - 0X4 - 1X5 Max r =2 - X1 -X2 - X3 - 0X4 - 1X5 X1 + X2 + X3 + 0X4 + 1X5 = 2 X1 + X2 + X3 + 0X4 + 1X5 + 0R1 = 2 3X1 + 4X2 + 2X3 - X4 + 0X5 + 1R1= 8 X1,X2 , X3, X4, R1, R2 ≥0 Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I İki Aşamalı Yöntem Başlangıç Tablosu Temel X1 X2 X3 X4 X5 R1 Çözüm r 3 4 2 -1 8 1 Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I İki Aşamalı Yöntem 1.İterasyon Anahtar Sütun Temel X1 X2 X3 X4 X5 R1 Çözüm r 3 4 2 -1 8 1 Anahtar Eleman Anahtar Satır Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I İki Aşamalı Yöntem 1.İterasyon Temel X1 X2 X3 X4 X5 R1 Çözüm r -5 -2 -1 -4 2 1 Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I İki Aşamalı Yöntem 1.Aşama Tablosu : Temel X1 X2 X3 X4 X5 R1 Çözüm r -5 -2 -1 -4 2 1 Min r =0 çıktığından Olurluluk sağlanmıştır. İkinci aşamaya geçilebilir Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I İki Aşamalı Yöntem 1.Aşama Tablosu Temel X1 X2 X3 X4 X5 R1 Çözüm r -5 -2 -1 -4 2 1 Birinci aşama tablosundaki yapay değişkenler ile ilgili sütunları ve amaç fonksiyonu satırı atılır. Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I İki Aşamalı Yöntem 2.Aşama Tablosu Temel X1 X2 X3 X4 X5 Çözüm r -5 -2 -1 -4 2 1 ZMAX = 3X1 + 2X2 + 3X3 2X1 + X2 + X3 + 0X4 + X5= 2 -5X1 + 0X2 - 2X3 - X4 - 4 X5 = 0 Yeni ZMAX = X1 - X3 + 2 X5 Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I İki Aşamalı Yöntem 2.Aşama Tablosu Temel X1 X2 X3 X4 X5 Çözüm Z 1 -1 2 4 -5 -2 -4 Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I İki Aşamalı Yöntem 2.Aşama Tablosu Temel X1 X2 X3 X4 X5 Çözüm Z 7/2 1/2 4 -1/2 1 -1 2 5/2 Nihai Çözüm: Z =4 X2 =2 X3 =0 Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I Tora Programı Yöneylem Araştırması - I

[DUAL YÖNTEMİNE ÖRNEK ] YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I [ Dual Yöntemi ] [DUAL YÖNTEMİNE ÖRNEK ]

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I Dual Yöntemi Kısıtlamalar ZMAX = 2X1 + 3X2 -------- > amaç max. kar 2X1 + 3X2 ≤ 6 -------->(1.kısıt ) 2X1 + X2 ≥ 4 -------->(2.kısıt ) 3X1 + X2 ≤ 3 -------->(3.kısıt) X1, X2 ≥ 0 Matematiksel Model Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I Dual Yöntemi Standart Hali 2X1 +3X2 + 0 X3 + 0 X4 + 0 X5 = ZMAX 2 X1 + 3X2 + 1 X3 + 0X4 + 0X5 = 6 - 2X1 - 2X2 + 0 X3 + 1 X4 + 0 X5 = -4 3X1 + X2 + 0 X3 + 0 X4 + 1 X5 =3 X1,X2 , X3, X4, X5 ≥0 Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I Dual Yöntemi Başlangıç Tablosu Temel X1 X2 X3 X4 X5 Çözüm Z -2 -3 2 3 1 6 -4 Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I Dual Yöntemi Başlangıç Tablosu Dual yönteminde ilk olarak satır seçilir. Çözüm sütununda en negatif değerin olduğu satır Anahtar Satırdır. Temel X1 X2 X3 X4 X5 Çözüm Z -2 -3 2 3 1 6 -4 Anahtar Satır Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I Dual Yöntemi Başlangıç Tablosu Anahtar sütunu da bulmak için: Z satırını X4 ‘ün negatif değerlerine mutlak değer içinde böleriz : 𝐼𝑍𝐼 IX4I Oranlama sonuçlarının en küçük olan oran Anahtar Sütundur Anahtar Sütun Temel X1 X2 X3 X4 X5 Çözüm Z -2 -3 2 3 1 6 -4 𝐼−2𝐼 𝐼−2𝐼 =1 𝐼−3𝐼 𝐼−2𝐼 = 3 2 Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I Primal Simpleks Yöntem Başlangıç Tablosu Anahtar Sütun Temel X1 X2 X3 X4 X5 Çözüm Z -2 -3 2 3 1 6 -4 Anahtar Eleman Anahtar Satır Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I Dual Yöntemi İterasyon Hesaplamaları/Yeni Anahtar Satır İçin Yeni anahtar Satır = Eski Anahtar Satır/ Anahtar Sayı ( -2 -2 0 1 0 2 ) / (-2) = 1 1 0 -1/2 0 2 Temel X1 X2 X3 X4 X5 Çözüm Z 1 -1/2 2 Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I Dual Yöntemi İterasyon Hesaplamaları/Yeni Anahtar Satır İçin (Yeni Satır) =(Eski Satır) - (İlgili Satırın Anahtar Sütun Elemanı) x (Yeni .anahtar Satırı) Eski Z Satırı : ( -2 -3 0 0 0 0 ) - ( -2) x Yeni Anahtar Satırı : ( 1 1 0 -1/2 0 2) =Yeni Z Satırı ( 0 -1 0 -1 0 4) Temel X1 X2 X3 X4 X5 Çözüm Z -2 -3 2 3 1 6 -4 Eski Z Satırı Temel X1 X2 X3 X4 X5 Çözüm Z -1 4 1 -1/2 2 Yeni Z Satırı Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I Dual Yöntemi İterasyon Hesaplamaları/Yeni Anahtar Satır İçin (Yeni Satır) =(Eski Satır) - (İlgili Satırın Anahtar Sütun Elemanı) x (Yeni .anahtar Satırı) Eski X3 Satırı : ( 2 3 1 0 0 6 ) - ( 2) x Yeni Anahtar Satırı : ( 1 1 0 -1/2 0 2) =Yeni X3 Satırı ( 0 1 1 1 0 2) Temel X1 X2 X3 X4 X5 Çözüm Z -2 -3 2 3 1 6 -4 Eski X3 Satırı Temel X1 X2 X3 X4 X5 Çözüm Z -1 4 1 2 -1/2 Yeni X3 Satırı Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I Dual Yöntemi İterasyon Hesaplamaları/Yeni Anahtar Satır İçin (Yeni Satır) =(Eski Satır) - (İlgili Satırın Anahtar Sütun Elemanı) x (Yeni .anahtar Satırı) Eski X5Satırı : ( 3 1 0 0 1 3 ) - ( 3) x Yeni Anahtar Satırı : ( 1 1 0 -1/2 0 2) =Yeni X5 Satırı ( 0 -2 0 3/2 1 -3) Temel X1 X2 X3 X4 X5 Çözüm Z -2 -3 2 3 1 6 -4 Eski X5 Satırı Temel X1 X2 X3 X4 X5 Çözüm Z -1 4 1 2 -1/2 -2 3/2 -3 Yeni X5 Satırı Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I Dual Yöntemi 1.İterasyon Temel X1 X2 X3 X4 X5 Çözüm Z -1 4 1 2 -1/2 -2 3/2 -3 Çözüm değerlerinde ( -3) negatif olduğu için OLURLULUK sağlanmamıştır. Dual Yöntemine devam etmeliyiz. Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I Dual Yöntemi 1.İterasyon Temel X1 X2 X3 X4 X5 Çözüm Z -2 -1 4 2 1 1/2 -1/2 3/2 -3 Yöneylem Araştırması - I

Dual Yöntemi YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I 1.İterasyon Temel X1 X2 X3 X4 X5 Çözüm Z -7 -4 16 1 7 4 -10 -1 -3 -2 6 Optimallik sağlandı fakat Olurlu değil ! Olurlu bir çözümü yoktur. Yöneylem Araştırması - I

[ DUALİTE KAVRAMI –EKONOMİK YORUMLAR] YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I [ Dualite Kavramı-Ekonomik Yorumlar] [ DUALİTE KAVRAMI –EKONOMİK YORUMLAR]

[ Dualite Kavramı-Ekonomik Yorumlar] YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I [ Dualite Kavramı-Ekonomik Yorumlar] Örnek: ZMAX = X1 + 2X2 3X1 + 1X2 ≤ 6 -1X1 + 4X2 ≤ 8 1X1 + 1X2 ≤ 2 0X1 + 1X2 ≤ 1 X1, X2 ≥ 0 Optimal Tablo: Temel X1 X2 X3 X4 X5 X6 Çözüm Z 1 3 -3 2 -5 5 -1 Yöneylem Araştırması - I

[ Dualite Kavramı-Ekonomik Yorumlar] YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I [ Dualite Kavramı-Ekonomik Yorumlar] Dual Form : ZMAX =1X1 + 2X2 + 0X3 + 0X4 + 0X5 + 0 X6 3X1 + X2 + 1X3 + 0X4 + 0X5 + 0 X6 = 6 ------- y1 -1X1 + 4X2 + 0X3 + 1X4 + 0X5 + 0 X6 = 8 ------- y2 1X1 + X2 + 0X3 + 0X4 + 1X5 + 0 X6 =2 -------- y3 0X1 + X2 + 0X3 + 0X4 + 0X5 + 1 X6 =1 ------- y4 WMİN = 6y1 + 8y2 + 2y3 + 1y4 0y1 + 1y2 + 0y3 + 0y4 >=0 3y1 +-1y2 + 1y3 + 0y4 >=1 0y1 + 0y2 + 1y3 + 0y4 >=0 1y1 + 4y2 + 1y3 + 1y4 >= 2 0y1 + 0y2 + 0y3 + 1y4 >=0 1y1 + 0y2 + 0y3 + 0y4 >=0 Yöneylem Araştırması - I

[ Dualite Kavramı-Ekonomik Yorumlar] YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I [ Dualite Kavramı-Ekonomik Yorumlar] Dualite Kavramı: ZMAX = X1 + 2X2 3X1 + 1X2 ≤ 6 -1X1 + 4X2 ≤ 8 1X1 + 1X2 ≤ 2 0X1 + 1X2 ≤ 1 X1, X2 ≥ 0 Standart Hali: ZMAX =1X1 + 2X2 + 0X3 + 0X4 + 0X5 + 0 X6 3X1 + X2 + 1X3 + 0X4 + 0X5 + 0 X6 = 6 -1X1 + 4X2 + 0X3 + 1X4 + 0X5 + 0 X6 = 8 1X1 + X2 + 0X3 + 0X4 + 1X5 + 0 X6 =2 0X1 + X2 + 0X3 + 0X4 + 0X5 + 1 X6 =1 Yöneylem Araştırması - I

[ Dualite Kavramı-Ekonomik Yorumlar] YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I [ Dualite Kavramı-Ekonomik Yorumlar] Optimal Tablo : Temel X1 X2 X3 X4 X5 X6 Çözüm Z 1 3 -3 2 -5 5 -1 B-1 Yöneylem Araştırması - I

[ Dualite Kavramı-Ekonomik Yorumlar] YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I [ Dualite Kavramı-Ekonomik Yorumlar] Optimal Tablo : XB=(X3,X4,X1,X2) CB=(C3,C4,C1,C2)=(0,0,1,2)   Y= (0,0,1,2)* 𝟏 𝟎 𝟎 𝟏 −𝟑 𝟐 𝟏 −𝟓 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟏 −𝟏 𝟎 𝟏 =(0,0,1,1) W= X1+2X2=1.1+2.1=3 Y=CBB-1   W=Yb   Yöneylem Araştırması - I

[ Dualite Kavramı-Ekonomik Yorumlar] YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I [ Dualite Kavramı-Ekonomik Yorumlar] 1-Gölge( Dual) Fiyatlar: 1-Gölge( Dual) Fiyatlar: Kaynakların birim değeridir. Sağ taraf değerinin 1 birim arttırılması ile amaç fonksiyonunun kaç birim artacağını veya azalacağını ifade eder. Zmax=X1+2X2 Y=(0,0,1,1) 3X1 + 1X2 ≤ 6 -------6-7 olunca Zmax değeri +0 artar. Yani etkilenmez. -1X1 + 4X2 ≤ 8 -------8-9 olunca Zmax değeri +0 artar. Yani etkilenmez. 1X1 + 1X2 ≤ 2 -------2-3 olunca Zmax değeri +1 artar. 0X1 + 1X2 ≤ 1 -------1-2 olunca Zmax değeri +1 artar. 2-Ekonomik Yorum: Ekonomik yorum: Z(amaç fonksiyonu) maksimum olduğu için 3. ve 4. kısıtlarda meydana gelen artışlar iyi ama 1. ve 2. kısıtlardaki artışlar Z’yi etkilemez. Yöneylem Araştırması - I

[ Dualite Kavramı-Ekonomik Yorumlar] YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I [ Dualite Kavramı-Ekonomik Yorumlar] 3-İndirgenmiş Maliyetler: Zmax= 60X1+ 30X2 + 20X3 8X1+ 6X2 + 1X3 <= 48 4X1+ 2X2 + 1.5X3 <=20 2X1+ 1.5X2 + 0.5X3<=8 X1,X2,X3>=0 Temel X1 X2 X3 X4 X5 X6 Çözüm Z 20 10 400 4 1 -1 28 2 8 Yöneylem Araştırması - I

[ Dualite Kavramı-Ekonomik Yorumlar] YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I [ Dualite Kavramı-Ekonomik Yorumlar] 2-İndirgenmiş Maliyetler: X2 ve X1 temel değişken olduklarından indirgenmiş maliyetleri 0’dır. XB=(X4,X3,X6) CB=(C4,C3,C6)=(0,20,0) Y=(0,20,0)* 1 −1 0 0 1 0 0 0 1 = (0,20,0) Z1=8y1+4y2+2y3=8.0+4.20+2.0=80 C1=60 Z1> C1 olduğundan X1 optimal değildir. X1’i optimal yapabilmek için; r2= işlem 2’deki ürün 1’in birim başına indirimi Z1=8y1+4y2+2y3 Z1=8y1+(4- r2)y2+2y3= 8.0+(4- r2).20+2.0=80-20 r2 C1 > Z1 -------- 60>80-20 r2 20 r2>20 -------- r2>10 Yöneylem Araştırması - I

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I [ Duyarlılık Analizi] [ DUYARLILIK ANALİZİ ]

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I Optimalliği Etkileyen Değişimler 1. AMAÇ FONKSİYONUNUN KATSAYISINI DEĞİŞTİRME : Bu işlemlerin sonucu iki durum ortaya çıkabilir ; 1.1. Optimallik bozulmamışsa mevcut çözüm aynen kalır,ancak amaç fonksiyonu değerei (Z) değişir. 1.2. Optimallik bozulmuşsa optimalliği sağlamak için primal simpleks yöntem uydulanır. Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I Optimalliği Etkileyen Değişimler Kısıtlamalar ZMAX = X1 + 2X2 -------- > amaç max. kar 3X1 + X2 ≤ 6 -------->(1.kısıt ) - X1 + 4 X2 ≤ 8 -------->(2.kısıt ) X1 + X2 ≤ 2 -------->(3.kısıt) X2 ≤ 1 -------->(4.kısıt) X1, X2 ≥ 0 Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I Optimalliği Etkileyen Değişimler Standart Hali +X1 +2X2 + 0 X3 + 0 X4 + 0 X5+ 0 X6 = ZMAX 3 X1 + X2 + 1 X3 + 0 X4 + 0 X5 + 0 X6 = 6 - X1 + 4 X2 + 0 X3 + 1 X4 + 0 X5 + 0 X6 = 8 X1 + X2 + 0 X3 + 0 X4 + 1 X5 + 0 X6 =2 0 X1 + X2 + 0 X3 + 0 X4 + 0 X5 + 1 X6 =1 X1,X2 , X3 , X4 , X5 , X6 ≥0 Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I Optimalliği Etkileyen Değişimler Başlangıç Tablosu Temel X1 X2 X3 X4 X5 X6 Çözüm Z -1 -2 3 1 6 4 8 2 Optimal Tablo: Temel X1 X2 X3 X4 X5 X6 Çözüm Z 1 3 -3 2 -5 5 -1 Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I Optimalliği Etkileyen Değişimler Standart Hali Eski Amaç Fonksiyonu  ZMAX = X1 + 2X2 Yeni Amaç Fonksiyonu  ZMAX =3X1 + 4X2 3X1 + 4X2+ 0 X3 + 0 X4 + 0 X5+ 0 X6 = ZMAX 3 X1 + X2 + 1 X3 + 0 X4 + 0 X5 + 0 X6 = 6 - X1 + 4 X2 + 0 X3 + 1 X4 + 0 X5 + 0 X6 = 8 X1 + X2 + 0 X3 + 0 X4 + 1 X5 + 0 X6 =2 0 X1 + X2 + 0 X3 + 0 X4 + 0 X5 + 1 X6 =1 X1,X2 , X3 , X4 , X5 , X6 ≥0 Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I Optimalliği Etkileyen Değişimler Başlangıç : Temel X1 X2 Çözüm Z CB*B-1*A - C1 CB*B-1*A – C2 CB*B-1*b=Y*b XB B-1*A B-1*b CB = Yeni amaç fonksiyonunun katsayılarına bakılacak.optimal tablodaki sıraya göre değerler alınacak. B-1 = Başlangıç tablosundaki birim matrisin yerini kullanarak,optimal tablodaki değerler alınacak. A=Başlangıç tablosunda ,optimal tabloda temelde olmayan değişkenlerin (amaç fonksiyonu hariç)sütun olarak alırız. b=Sağ taraf değerleri… C1 =Amaç fonksiyonun katsayıları… C2 = Başlangıç tablosundaki optimal tabloda temelde olmayan değişkenlerin amaç fonksiyonundaki değerleri… Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I Optimalliği Etkileyen Değişimler Optimal Tablo: Amaç Fonksiyonunun Katsayıları Değişirse; Temelde Olmayan Kısıtlar Temel X1 X2 X3 X4 X5 X6 Çözüm Z 1 3 -3 2 -5 5 -1 Temelde olmayan değişkenlerin amaç fonksiyonu satırının (Zj-Cj ) yeniden hesaplanması gerekir; Y= CB*B-1 dual fiyat vektörü hesaplanır. Temelde olmayan Xj ‘lerin tümü için Zj-Cj =Y* Aj - C1 hesaplanır. Z satırındaki yeni çözüm değeri hesaplanır. XB= (X3 , 𝐗 𝟒 , 𝐗 𝟏 , 𝐗 𝟐 ) 𝐓 = ( 𝟐 , 𝟓 , 𝟏 , 𝟏 ) 𝐓 Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I Optimalliği Etkileyen Değişimler ÖRENEK : XB = (X3 , X4 , X1 , X2 ) CB = ( C3 , C4 , C1 , C2) = (0 , 0 , 3 , 4 ) Y=(Y1 , Y2 , Y3 , Y4 )  YB = CB*B-1 (Y1 , Y2 , Y3 , Y4 ) =(0 , 0 , 3 , 4 )* 0 0 0 1 −3 2 1 −5 0 0 0 0 1 −1 0 1 Y=(Y1 , Y2 , Y3 , Y4 )=( 0 , 0 , 3 , 1 ) Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I Optimalliği Etkileyen Değişimler ÖRENEK : Temel X1 X2 Çözüm Z CB*B-1*A - C1 CB*B-1*A – C2 CB*B-1*b=Y*b XB B-1*A B-1*b Z5-C5= Y*A – CII Y*A – CII =( 0 , 0 , 3 , 1 ) * 0 0 0 0 1 0 0 1 −( 0 , 0) (Z5-C5 , Z6-C6 ) = ( 3 , 1 ) Başlangıç tablosunda , optimal tabloda temelde olmayan değişkenlerin sütunu Temel X1 X2 X3 X4 X5 X6 Çözüm Z -1 -2 3 1 6 4 8 2 Optimallik bozulmadı Başlangıçta X5 ,X6 ‘nın amaç fonksiyonundaki katsayıları Yöneylem Araştırması - I

Z değeri 3 ‘ten 7’ye yükseldiği için bu değişiklik olumludur. YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I Optimalliği Etkileyen Değişimler SONUÇ : Yeni amaç fonksiyonunun değeri : ZMAX =3X1 + 4X2 = 3*1 + 4*1 = 7 Yeni Optimal Tablo : Temel X1 X2 X3 X4 X5 X6 Çözüm Z 3 1 7 -3 2 -5 5 -1 Optimallik Bozulmadı. Z değeri 3 ‘ten 7’ye yükseldiği için bu değişiklik olumludur. Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I Optimalliği Etkileyen Değişimler 2. SAĞ TARAF DEĞERLERİNİ DEĞİŞTİRME : Bu işlemlerin sonucu iki durum ortaya çıkabilir ; 2.1. Olurluluk bozulmamışsa mevcut çözüm aynen kalır. 2.2. Olurluluk bozulmuşsa olurluluğu sağlamak için Dual- simpleks yöntem uygulanır. Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I Optimalliği Etkileyen Değişimler Başlangıç Tablosu: TEMEL X1 X2 X3 X4 X5 ÇÖZÜM Z -6 -8 2 4 1 3 6 5 7 35 Optimal Tablo: Temel X1 X2 X3 X4 X5 Çözüm Z 4 3 9 1 2 1/2 3/2 -1/2 9/2 -3 -5/2 55/2 Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I Optimalliği Etkileyen Değişimler Kısıtlamalar ZMAX = 6X1 + 8X2 2X1 + 4X2 ≤ 3 -------->(1.kısıt ) + X1 +3 X2 ≥ 6 -------->(2.kısıt ) 5X1 + 7X2 ≤ 35 -------->(3.kısıt) X1, X2 ≥ 0 Yeni Kısıtlamalar 2X1 + 3X2 ≤ 2 -------->(1.kısıt ) X1 + 2 X2 ≥ 6 -------->(2.kısıt ) 5X1 + 7X2 ≤ 25 -------->(3.kısıt) Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I Optimalliği Etkileyen Değişimler Sağ Taraf Değerleri Değişirse; Temel X1 X2 Çözüm Z CB*B-1*A - C1 CB*B-1*A – C2 CB*B-1*b=Y*b XB B-1*A B-1*b Y= CB*B-1*b=Y*b hesaplanır. B-1*b hesaplanır. XB = (X1 , X4 , X5 ) CB = ( C1 , C4 , C5) = (6 , 0 , 0) Y=(Y1 , Y2 , Y3)  YB = CB*B-1 (Y1 , Y2 , Y3) =(6 , 0 , 0)* 1/2 0 0 −1/2 1 0 −5/2 0 1 Y=(Y1 , Y2 , Y3)=( 3 , 0 , 0) Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I Optimalliği Etkileyen Değişimler ÖRENEK : Temel X1 X2 Çözüm Z CB*B-1*A - C1 CB*B-1*A – C2 CB*B-1*b=Y*b XB B-1*A B-1*b CB*B-1*b=(3 , 0 , 0) * 2 6 25 =(𝟔) B-1*b = 1/2 0 0 −1/2 1 0 −5/2 0 1 * 2 6 25 = 𝟏 𝟓 𝟐𝟎 Kısıtların yeni sağ taraf değerleri Yöneylem Araştırması - I

Optimalliği Etkileyen Değişimler YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I Optimalliği Etkileyen Değişimler Yeni Optimal Tablo: Temel X1 X2 X3 X4 X5 Çözüm Z 4 3 6 1 2 1/2 -1/2 5 -3 -5/2 20 Sağ taraf değerleri ve Z’nin değeri pozitif çıktığından Olurluluk bozulmadı. Nihai Sonuç: Z =6 X1 =1 X2 =0 ( Temelde olmadığından dolayı) Z değeri 9 ‘dan 6 ‘ya düştü.Çözüm olumlu değildir Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I Optimalliği Etkileyen Değişimler 3. KISITLARIN KATSAYISINI DEĞİŞTİRME : Hem Optimallik hem de Olurluluk etkilenir. Eğer hem optimallik hem de olurluluk bozulduysa olurluluk göz ardı edilerek önce primal simpleks da ha sonra dual-simpleks uygulanır. Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I Optimalliği Etkileyen Değişimler Başlangıç Tablosu: TEMEL X1 X2 X3 X4 X5 ÇÖZÜM Z -6 -8 2 4 1 3 6 5 7 35 Optimal Tablo: Temel X1 X2 X3 X4 X5 Çözüm Z 4 3 9 1 2 1/2 3/2 -1/2 9/2 -3 -5/2 55/2 Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I Optimalliği Etkileyen Değişimler Kısıtlamalar ZMAX = 6X1 + 8X2 2X1 + 4X2 ≤ 3 -------->(1.kısıt ) + X1 +3 X2 ≥ 6 -------->(2.kısıt ) 5X1 + 7X2 ≤ 35 -------->(3.kısıt) X1, X2 ≥ 0 Yeni Kısıtlamalar ZMAX= 6X1 + 8X2 2X1 + 3X2 ≤ 3 -------->(1.kısıt ) X1 + 2 X2 ≥ 6 -------->(2.kısıt ) Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I Optimalliği Etkileyen Değişimler Kısıtların Katsayıları Değişirse; Temel X1 X2 Çözüm Z CB*B-1*A - C1 CB*B-1*A – C2 CB*B-1*b=Y*b XB B-1*A B-1*b Temelde olmayan değişkenlerin amaç fonksiyonu satırının (Zj-Cj ) yeniden hesaplanması gerekir; Y= CB*B-1 dual fiyat vektörü hesaplanır. Temelde olmayan Xj ‘lerin tümü için Zj-Cj =Y* Aj - C1 hesaplanır. B-1* Aj Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I Optimalliği Etkileyen Değişimler ÖRENEK : XB = (X1 , X4 , X5 ) CB = ( C1 , C4 , C5) = (6 , 0 , 0) Y=(Y1 , Y2 , Y3)  YB = CB*B-1 (Y1 , Y2 , Y3) =(6 , 0 , 0)* 1/2 0 0 −1/2 1 0 −5/2 0 1 Y=(Y1 , Y2 , Y3)=( 3 , 0 , 0) CB*B-1 −C2 = (3 , 0 , 0) * 3 2 7 −8=(𝟏) B-1*A1 = 1/2 0 0 −1/2 1 0 −5/2 0 1 * 3 2 7 = 𝟑/𝟐 𝟏/𝟐 −𝟏/𝟐 Yöneylem Araştırması - I

Optimalliği Etkileyen Değişimler YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I Optimalliği Etkileyen Değişimler Yeni Tablo: X2‘in katsayılarını değiştirdiğimiz için X2 sütununun değerlerini düzenledik. Temel X1 X2 X3 X4 X5 Çözüm Z 1 3 9 3/2 1/2 -1/2 9/2 -5/2 55/2 X1 ‘in amaç satırındaki değeri pozitif olduğundan Optimallik bozulmadı Nihai Çözüm Değişmez. Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I Optimalliği Etkileyen Değişimler 4. YENİ DEĞİŞKEN EKLEME: Bu işlemlerin sonucu iki durum ortaya çıkabilir ; 1.İlave kısıt mevcut çözüm tarafından sağlanırsa: Bu durumda bu kısıt gereksizdir ve onun ilave edilmesi çözümü değiştirmeyecektir. 2. 1.İlave kısıt mevcut çözüm tarafından sağlanmazsa: Bu durumda olurluluk bozulur, yeni çözüm dual-sipleks yöntemi kullanılarak çözülür. * Eğer 𝑧𝑗−𝑐𝑗≥0 ise (Maks problemi için) mevcut temel en iyi kalır ve mevcut çözüm değişmez. * Eğer 𝑧𝑗−𝑐𝑗<0 ise (Maks problemi için) mevcut temel en iyi değildir, xj çözüme girer ve oran testi ile hangi değişkenin çözümden çıkacağı belirlenerek yeni çözüm simpleks yöntem ile elde edilir. Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I Optimalliği Etkileyen Değişimler Başlangıç Tablosu: TEMEL X1 X2 X3 X4 X5 ÇÖZÜM Z -6 -8 2 4 1 3 6 5 7 35 Optimal Tablo: Temel X1 X2 X3 X4 X5 Çözüm Z 4 3 9 1 2 1/2 3/2 -1/2 9/2 -3 -5/2 55/2 Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I Optimalliği Etkileyen Değişimler Kısıtlamalar ZMAX = 6X1 + 8X2 2X1 + 4X2 ≤ 3 -------->(1.kısıt ) X1 +3 X2 ≥ 6 -------->(2.kısıt ) 5X1 + 7X2 ≤ 35 -------->(3.kısıt) X1, X2 ≥ 0 Yeni Kısıtlamalar ZMAX= 6X1 + 8X2 + 2 X6 2X1 + 4X2 + X6 ≤ 3 -------->(1.kısıt ) X1 + 3 X2 + 3X6 ≥ 6 -------->(2.kısıt ) 5X1 + 7X2 + 2X6 ≤ 35 ------->(3.kısıt) Kısıtlamalar ZMİN = 6X1 + 8X2 2X1 + 4X2 ≤ 3 -------->(1.kısıt ) X1 +3 X2 ≥ 6 -------->(2.kısıt ) 5X1 + 7X2 ≤ 35 -------->(3.kısıt) X1, X2 ≥ 0 Yeni Kısıtlamalar ZMİN = 6X1 + 8X2 + 2 X6 2X1 + 4X2 + X6 ≤ 3 -------->(1.kısıt ) X1 + 3 X2 + 3X6 ≥ 6 -------->(2.kısıt ) 5X1 + 7X2 + 2X6 ≤ 35 ------->(3.kısıt) Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I Optimalliği Etkileyen Değişimler Yeni Tablo Oluşturma: Temel X1 X2 X6 X3 X4 X5 Çözüm Z 4 3 9 1 2 1/2 3/2 -1/2 9/2 -3 -5/2 55/2 Temel X1 X2 Çözüm Z CB*B-1*A - C1 CB*B-1*A – C2 CB*B-1*b=Y*b XB B-1*A B-1*b Y1 Y2 Y3 Temel X1 X2 X3 X4 X5 Çözüm Z 4 3 9 1 2 1/2 3/2 -1/2 9/2 -3 -5/2 55/2 Z = y1 + 3y2 + 2y3 - C1 Z = 1*3 + 3*0 + 2*0 – 2 Z=1 Yöneylem Araştırması - I

Optimalliği Etkileyen Değişimler YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I Optimalliği Etkileyen Değişimler ÖRENEK : (Y1 , Y2 , Y3) =(6 , 0 , 0)* 1/2 0 0 −1/2 1 0 −5/2 0 1 Y=(Y1 , Y2 , Y3)=( 3 , 0 , 0) CB*B-1*A – C2 =( 3 , 0 , 0). 1 3 2 -(2) = 1 B-1 * A = 1/2 0 0 −1/2 1 0 −5/2 0 1 * 1 3 2 = 𝟏/𝟐 𝟓/𝟐 −𝟏/𝟐 Yeni eklenen değişkenin C değeri (yeni amaç fonksiyonundaki değeri) Y1 Y2 Y3 Temel X1 X2 X3 X4 X5 Çözüm Z 4 3 9 1 2 1/2 3/2 -1/2 9/2 -3 -5/2 55/2 Yeni değişkenin kısıtlardaki katsayıları Yöneylem Araştırması - I

Mevcut Çözüm değişmedi. YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I Optimalliği Etkileyen Değişimler Yeni Tablo : Temel X1 X2 X6 X3 X4 X5 Çözüm Z 4 1 3 9 2 1/2 3/2 5/2 -1/2 9/2 -3 -5/2 55/2 Eklenen yeni değişkenin (X6) amaç satırındaki değeri pozitif olduğundan Optimallik Bozulmadı. Mevcut Çözüm değişmedi. Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I Optimalliği Etkileyen Değişimler 5. YENİ KISIT EKLEME: Bu işlemlerin sonucu iki durum ortaya çıkabilir ; 5.1.İlave edilen kısıt mevcut çözüm tarafından sağlanırsa: Bu durumda bu kısıt gereksizdir ve onun ilave edilmesi çözümü değiştirmeyecektir. 5.2.İlave edilen kısıt mevcut çözüm tarafından sağlanmazsa: Bu durumda olurluluk bozulur , yeni çözüm dual-simpleks metot kullanılarak elde edilir. Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I Optimalliği Etkileyen Değişimler Başlangıç Tablosu: TEMEL X1 X2 X3 X4 X5 ÇÖZÜM Z -6 -8 2 4 1 3 6 5 7 35 Optimal Tablo: Temel X1 X2 X3 X4 X5 Çözüm Z 4 3 9 1 2 1/2 3/2 -1/2 9/2 -3 -5/2 55/2 Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I Optimalliği Etkileyen Değişimler Kısıtlamalar ZMAX= 6X1 + 8X2 2X1 + 4X2 ≤ 3 -------->(1.kısıt ) X1 +3 X2 ≥ 6 -------->(2.kısıt ) 5X1 + 7X2 ≤ 35 -------->(3.kısıt) X1, X2 ≥ 0 Yeni Kısıtlamalar ZMAX = 6X1 + 8X2 2X1 + 3X2 ≤ 3 -------->(1.kısıt ) X1 + 2 X2 ≥ 6 -------->(2.kısıt ) 5X1 + 7X2 ≤ 35 -------->(3.kısıt) X1 ≤ 1 -------->(4.kısıt) Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I Optimalliği Etkileyen Değişimler Yeni Tablo Oluşturma : Temel X1 X2 X3 X4 X5 X8 Çözüm Z 4 3 9 1 2 1/2 3/2 -1/2 9/2 -3 -5/2 55/2 Yöneylem Araştırması - I

Optimalliği Etkileyen Değişimler YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I Optimalliği Etkileyen Değişimler Yeni Kısıt Eklenirse : X1 ≤ 1 X1 =3/2 ≥ 1 olduğundan çözüm değeri kısıt tarafından sağlanmamaktadır. Çözüm sonucu etkilenir! RMC Modeline,günlük dış boya talebinin 1 tondan fazla olamayacağını kabul edelim. Olurluluğu sağlamak için: 1.Yeni kısıt standart hale getirilir. 2.Yeni kısıt değişkenleri nihai tabloya eklenir. 3.Dual simpleks uygulanır. Yöneylem Araştırması - I

Optimalliği Etkileyen Değişimler YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I Optimalliği Etkileyen Değişimler Yeni Kısıt Eklenirse : X1 ≤ 1 X1 =3/2 ≥ 1 olduğundan çözüm değeri kısıt tarafından sağlanmamaktadır. X1 +X8 = 1 X1 + 2X2 +1/2X3 =3/2 X1 = -2X2 -1/2X3 + 3/2  X1 +X8 = 1’te yerine konulur; -2X2 -1/2X3 + 3/2 + X8 = 1 -2X2 -1/2X3 + X8 = -1/2 -2X2 -1/2X3 + X8 = -1/2 Tabloya ilave edilir. Yöneylem Araştırması - I

Optimalliği Etkileyen Değişimler YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I Optimalliği Etkileyen Değişimler Yeni Tablo Oluşturma : Temel X1 X2 X3 X4 X5 X8 Çözüm Z 4 3 9 1 2 1/2 3/2 -1/2 9/2 -3 -5/2 55/2 -2 X8 çözüm değeri -negatif olduğu için Olurluluk Bozuldu. Dual-Simpleks yöntemini uygulayacağız Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I Optimalliği Etkileyen Değişimler Başlangıç Yablosu: Temel X1 X2 X3 X4 X5 X8 Çözüm Z 4 3 9 1 2 1/2 3/2 -1/2 9/2 -3 -5/2 55/2 -2 Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I Optimalliği Etkileyen Değişimler 1.İterasyon : Temel X1 X2 X3 X4 X5 X8 Çözüm Z -1 2 5 1 -3/2 -1/2 1/2 7/2 61/2 Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I Optimalliği Etkileyen Değişimler 2.İterasyon : Temel X1 X2 X3 X4 X5 X8 Çözüm Z -2/3 4/3 16/3 1 1/3 -1 -1/2 4 -7/6 91/3 2/3 1/6 Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I Optimalliği Etkileyen Değişimler Optimal Tablo : Temel X1 X2 X3 X4 X5 X8 Çözüm Z -6 -8 -20/3 2 4 1 10/3 3 5/2 6 5 7 35/6 35 Nihai Çözüm : Z=0 X1=0 X2=0 Yöneylem Araştırması - I

[MALİYET KATSAYILI ULAŞTIRMA PROBLEMİ ENBÜYÜKLEME(MAKSİMİZASYON) ] YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I MALİYET KATSAYILI ULAŞTIRMA PROBLEMİ [MALİYET KATSAYILI ULAŞTIRMA PROBLEMİ ENBÜYÜKLEME(MAKSİMİZASYON) ]

MALİYET KATSAYILI ULAŞTIRMA PROBLEMİ ENBÜYÜKLEME(MAKSİMİZASYON) YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I MALİYET KATSAYILI ULAŞTIRMA PROBLEMİ MALİYET KATSAYILI ULAŞTIRMA PROBLEMİ ENBÜYÜKLEME(MAKSİMİZASYON) Başlangıç ulaştırma tablosundaki maliyet katsayıları(taşıma , üretim vb.) (cij) , -1 ile çarpılarak kârlar negatif olarak, işlem gördürülür.Herhangi bir negatif değerli fonksiyonun en küçüklenmesi bu fonksiyonun en büyüklenmesine eşittir. Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I MALİYET KATSAYILI ULAŞTIRMA PROBLEMİ Kuzey-Batı köşesine göre başlangıç çözüm elde edilmek istenirse daha önce maliyetlerin enküçüklenmesinde ele aldığımız işlemin aynısı yapılır. Vogel Yaklaşım Yöntemine göre başlangıç çözüm ise şu şekilde elde edilir. Satır ceza ve sütün ceza değerleri ilgili olduğu satır ve sütundaki mutlak değerce en küçük değerli iki kâr katsayıları arasındaki fark belirlenerek bulunur. Çoğaltan Yöntemi ile optimal çözüme ancak temel olmayan değişkenlerin net değişim maliyetleri sıfır veya pozitif olduğunda ulaşılır . Eğer temel olmayan değişkenlerden birinin net değişim maliyeti negatif olursa bu gözeye yapılacak dağıtım kârı arttıracaktır. Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I MALİYET KATSAYILI ULAŞTIRMA PROBLEMİ ÖRNEK : Vogel Yaklaşım Yöntemine göre başlangıç çözüm ise şu şekilde elde edilir . Satır ceza ve sütün ceza değerleri ilgili olduğu satır ve sütundaki mutlak değerce en küçük değerli iki kâr katsayıları arasındaki fark belirlenerek bulunur. Söz gelimi herhangi bir ulaştırma probleminde negatif maliyet katsayıları veya kâr katsayıları; C11= -240 C12=-180 C13=-200 C14=-290 C15=0 C21=-250 C22=-280 C23=-150 C24=-230 C25=0 C31=-120 C32=-200 C33=-180 C34=-260 C35=0 olsun. Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I MALİYET KATSAYILI ULAŞTIRMA PROBLEMİ ÖRNEK : Bu durumda satır ceza değerleri ; 1 nolu tüketim merkezi için : -240 - (-250) =10 2 nolu tüketim merkezi için : -200 - (-280) = 80 3 nolu tüketim merkezi için : -180 - (-200) =20 4 nolu tüketim merkezi için : -260 – (-290) =30 5 nolu tüketim merkezi için : 0 - 0 =0 olur. Bu durumda sütün ceza değerleri ; 1 nolu üretim merkezi için : -240 – (-290) = 50 2 nolu üretim merkezi için : -250 – (-280) = 30 3 nolu üretim merkezi için : -200 – (-260) =60 olur. Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I MALİYET KATSAYILI ULAŞTIRMA PROBLEMİ ÖRNEK : Ulaştırma tablosunda hangi gözeye dağıtım yapılacağına karar verilirken ilk önce en yüksek cezalı satır veya sütun belirlenir .Sonra en yüksek cezalı gözeye istem ve sunum koşullarına göre dağıtım yapılır .Toplam kârlar belirlenirken ulaştırma tablosundaki negatif değerleri katsayılar pozitif olarak düşünülür ve temel değişkenlerin değerleri ile çarpılıp toplanarak bulunur. Örneğin; Vogel Yaklaşım Yöntemine göre enbüyükleme tipi ulaştırma problemin çözümünde temel değişkenlerin değerleri; X11=80 X14=4 X22=75 X32=25 X33=50 X34=5 X35=5 Olarak bulduğumuzu kabul edelim.Buna göre; TOPLAM KÂR =80*200 + 78*280 + 25*200 + 50*180 + 40*290 + 5*260 + 5*0 = 67940 Yöneylem Araştırması - I

ARZ =TALEP eşitliğini sağlarız. YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I MALİYET KATSAYILI ULAŞTIRMA PROBLEMİ Vogel Yaklaşım Yöntemine Göre Örnek : Vogel Yaklaşım Yöntemine göre başlangıç çözüm ise şu şekilde elde edilir. Satır ceza ve sütün ceza değerleri ilgili olduğu satır ve sütundaki mutlak değerce en küçük değerli iki kâr katsayıları arasındaki fark belirlenerek bulunur. ARZ =TALEP eşitliğini sağlarız.   D1 D2 D3 D4 D5 ARZ S1 -240 -180 -200 -290 120 S2 -250 -280 -150 -230 75 S3 -120 -260 85 TALEP 80 100 50 45 5 280 Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I MALİYET KATSAYILI ULAŞTIRMA PROBLEMİ Vogel Yaklaşım Yöntemine Göre Örnek :   D1 D2 D3 D4 D5 ARZ S1 -240 -180 -200 -290 120 S2 -250 -280 -150 -230 75 75  S3 -120 -260 85 TALEP 80 100 50 45 5 280 50 30 60 10 80 20 30 Satır ceza ve sütün ceza değerleri ilgili olduğu satır ve sütundaki mutlak değerce en küçük değerli iki kâr katsayıları arasındaki fark belirlenerek bulunur. Belirlenen sütün veya satırın mutlak değerce en büyük maliyetli bölümüne atama yapılır. Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I MALİYET KATSAYILI ULAŞTIRMA PROBLEMİ Vogel Yaklaşım Yöntemine Göre Örnek :   D1 D2 D3 D4 D5 ARZ S1 -240 -180 -200 -290 120 80  S2 -250 -280 -150 -230 75 75  S3 -120 -260 85 TALEP 80 100 50 45 5 280 50 90 30 X 60 10 80 20 30 120 Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I MALİYET KATSAYILI ULAŞTIRMA PROBLEMİ Vogel Yaklaşım Yöntemine Göre Örnek :   D1 D2 D3 D4 D5 ARZ S1 -240 -180 -200 -290 120 80  40  S2 -250 -280 -150 -230 75 75  S3 -120 -260 85 TALEP 80 100 50 45 5 280 50 90 30 X 60 10 80 20 30 120 X Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I MALİYET KATSAYILI ULAŞTIRMA PROBLEMİ Vogel Yaklaşım Yöntemine Göre Örnek :   D1 D2 D3 D4 D5 ARZ S1 -240 -180 -200 -290 120 80  40  S2 -250 -280 -150 -230 75 75  S3 -120 -260 85 5  TALEP 80 100 50 45 5 280 Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I MALİYET KATSAYILI ULAŞTIRMA PROBLEMİ Vogel Yaklaşım Yöntemine Göre Örnek :   D1 D2 D3 D4 D5 ARZ S1 -240 -180 -200 -290 120 80  40  S2 -250 -280 -150 -230 75 75  S3 -120 -260 85  25 5  TALEP 80 100 50 45 5 280 Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I MALİYET KATSAYILI ULAŞTIRMA PROBLEMİ Vogel Yaklaşım Yöntemine Göre Örnek :   D1 D2 D3 D4 D5 ARZ S1 -240 -180 -200 -290 120 80  40  S2 -250 -280 -150 -230 75 75  S3 -120 -260 85  25  50 5  TALEP 80 100 50 45 5 280 Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I MALİYET KATSAYILI ULAŞTIRMA PROBLEMİ Vogel Yaklaşım Yöntemine Göre Örnek :   D1 D2 D3 D4 D5 ARZ S1 -240 -180 -200 -290 120 80  40  S2 -250 -280 -150 -230 75 75  S3 -120 -260 85  25  50 5   5 TALEP 80 100 50 45 5 280 TOPLAM KÂR =80*200 + 78*280 + 25*200 + 50*180 + 40*290 + 5*260 + 5*0 = 67940 Yöneylem Araştırması - I

maliyetlerin enküçüklenmesinde ele aldığımız işlemin aynısı yapılır. YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I KUZEY-BATI KÖŞESİNE GÖRE ENBÜYÜKLEME(MAKSİMİZASYON) ; Kuzey-Batı Köşesine Vogel Yaklaşım Yöntemine Göre Örnek : Kuzey-Batı köşesine göre başlangıç çözüm elde edilmek istenirse daha önce maliyetlerin enküçüklenmesinde ele aldığımız işlemin aynısı yapılır. ARZ =TALEP eşitliğini sağlarız.   D1 D2 D3 D4 D5 ARZ S1 -240 -180 -200 -290 120 S2 -250 -280 -150 -230 75 S3 -120 -260 85 TALEP 80 100 50 45 5 280 Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I KUZEY-BATI KÖŞESİNE GÖRE ENBÜYÜKLEME(MAKSİMİZASYON) ; Kuzey-Batı Köşesine Vogel Yaklaşım Yöntemine Göre Örnek :   D1 D2 D3 D4 D5 ARZ S1 -240 -180 -200 -290 120 80 S2 -250 -280 -150 -230 75 S3 -120 -260 85 TALEP 100 50 45 5 280 Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I KUZEY-BATI KÖŞESİNE GÖRE ENBÜYÜKLEME(MAKSİMİZASYON) ; Kuzey-Batı Köşesine Vogel Yaklaşım Yöntemine Göre Örnek :   D1 D2 D3 D4 D5 ARZ S1 -240 -180 -200 -290 120 80 40 S2 -250 -280 -150 -230 75 S3 -120 -260 85 TALEP 100 50 45 5 280 Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I KUZEY-BATI KÖŞESİNE GÖRE ENBÜYÜKLEME(MAKSİMİZASYON) ; Kuzey-Batı Köşesine Vogel Yaklaşım Yöntemine Göre Örnek :   D1 D2 D3 D4 D5 ARZ S1 -240 -180 -200 -290 120 80 40 S2 -250 -280 -150 -230 75 60 S3 -120 -260 85 TALEP 100 50 45 5 280 Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I KUZEY-BATI KÖŞESİNE GÖRE ENBÜYÜKLEME(MAKSİMİZASYON) ; Kuzey-Batı Köşesine Vogel Yaklaşım Yöntemine Göre Örnek :   D1 D2 D3 D4 D5 ARZ S1 -240 -180 -200 -290 120 80 40 S2 -250 -280 -150 -230 75 60 15 S3 -120 -260 85 TALEP 100 50 45 5 280 Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I KUZEY-BATI KÖŞESİNE GÖRE ENBÜYÜKLEME(MAKSİMİZASYON) ; Kuzey-Batı Köşesine Vogel Yaklaşım Yöntemine Göre Örnek :   D1 D2 D3 D4 D5 ARZ S1 -240 -180 -200 -290 120 80 40 S2 -250 -280 -150 -230 75 60 15 S3 -120 -260 85 35 TALEP 100 50 45 5 280 Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I KUZEY-BATI KÖŞESİNE GÖRE ENBÜYÜKLEME(MAKSİMİZASYON) ; Kuzey-Batı Köşesine Vogel Yaklaşım Yöntemine Göre Örnek :   D1 D2 D3 D4 D5 ARZ S1 -240 -180 -200 -290 120 80 40 S2 -250 -280 -150 -230 75 60 15 S3 -120 -260 85 35 45 TALEP 100 50 5 280 Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I KUZEY-BATI KÖŞESİNE GÖRE ENBÜYÜKLEME(MAKSİMİZASYON) ; Kuzey-Batı Köşesine Vogel Yaklaşım Yöntemine Göre Örnek :   D1 D2 D3 D4 D5 ARZ S1 -240 -180 -200 -290 120 80 40 S2 -250 -280 -150 -230 75 60 15 S3 -120 -260 85 35 45 5 TALEP 100 50 280 TOPLAM KÂR =80*240 + 40*180 + 60*280 + 15*150 + 35*180 + 45*260 + 5*0 =63450 Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I MALİYET KATSAYILI ULAŞTIRMA PROBLEMİ Çoğaltan Yöntemi : Çoğaltan Yöntemi ile optimal çözüme ancak temel olmayan değişkenlerin net değişim maliyetleri sıfır veya pozitif olduğunda ulaşılır . Eğer temel olmayan değişkenlerden birinin net değişim maliyeti negatif olursa bu gözeye yapılacak dağıtım kârı arttıracaktır. dij=ui + vj - cij En büyük negatif dij değerini veren hücreye atama yapılır   V1= V2= V3= V4= V5= ARZ U1= -240 -180 -200 -290 120 75 40  U2= -250 -280 -150 -230 U3= -120 -260 85  5  25 50 5 TALEP 80 100 45 280 Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I MALİYET KATSAYILI ULAŞTIRMA PROBLEMİ Çoğaltan Yöntemine Göre Örnek :   V1=-240 V2=-130 V3=-210 V4=-290 V5=-30 ARZ U1=0 -240 50  -180 -10  -200 -290 -30  120 80  -θ 40  +θ  U2=50  60 -250 -280 -150 -230  50 75 U3=30 -90  -120 -260  30 85  25 50 5 -θ  TALEP 100 45 280 80-θ 40+θ 5-θ +θ Θ=5 Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I MALİYET KATSAYILI ULAŞTIRMA PROBLEMİ Çoğaltan Yöntemine Göre Örnek :   V1= V2= V3= V4= V5= ARZ U1= -240 -180 -200 -290 120 75 40  U2= -250 -280 -150 -230 U3= -120 -260 85  5  25 50 5 TALEP 80 100 45 280 Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I MALİYET KATSAYILI ULAŞTIRMA PROBLEMİ Çoğaltan Yöntemine Göre Örnek :   V1=-240 V2=-320 V3=-300 V4=-290 V5=-120 ARZ U1=0 -240 -140 -180 -100 -200 -290 -120  120 75  -θ  +θ  40  U2=40 50  -250 -280 -110  -150 -20  -230  40 U3=120 -120  90 -260 85  5  25  -θ  50 5 TALEP 80 100 45 280 Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I MALİYET KATSAYILI ULAŞTIRMA PROBLEMİ Çoğaltan Yöntemine Göre Örnek :   V1=-240 V2=-320 V3=-300 V4=-290 V5=-120 ARZ U1=0 -240 -180 -100  -200 -290 -120  120 50  -θ  25 40   +θ  U2=40 50  -250 -280  -110 -150 -20  -230  40 75 U3=120 -120 0   90 -260 85  30   +θ 5 TALEP 80 100 45 280 Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I MALİYET KATSAYILI ULAŞTIRMA PROBLEMİ Çoğaltan Yöntemine Göre Örnek :   V1=-240 V2=-180 V3=-300 V4=290 V5=0 ARZ U1=0 -240 -180  -100 -200 -290 120 45   -θ  25  +θ    40  5 U2=-100 -90  -250 -280 -250  -150 -160  -230 -100  75  -θ     +θ  U3=120 -120  140  90 -260  120 85  35 50 TALEP 80 100 5 280 Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I MALİYET KATSAYILI ULAŞTIRMA PROBLEMİ Çoğaltan Yöntemine Göre Örnek :   V1=10 V2=-180 V3=-50 V4=-290 V5=0 ARZ U1=0 250  -240 -180 150  -200 -290 120 70 +θ  40  -θ   5  U2=-100  160 -250 -280 -150 -160  -230  -100 75 30 45 +θ U3=-130 -120 -150   -160 -260  -130 85  80 5 TALEP 80 100 50 280 Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I MALİYET KATSAYILI ULAŞTIRMA PROBLEMİ Çoğaltan Yöntemine Göre Örnek :   V1=-150 V2=-180 V3=-210 V4=-290 V5=0 ARZ U1=0  90 -240 -180  -10 -200 -290 120 40 +θ  10   -θ  5 U2=60  160 -250 160  -280 -150 -230 60  75 45 -θ  30  U3=30 -120 50   0 -260  30 85  80 5 TALEP 80 100 50 280 Yöneylem Araştırması - I

Yöneylem Araştırması - I ARAŞTIRMASI - I MALİYET KATSAYILI ULAŞTIRMA PROBLEMİ Çoğaltan Yöntemine Göre Örnek :   V1=-140 V2=-180 V3=-200 V4=-280 V5=0 ARZ U1=0  100 -240 -180 -200 -10  -290 120 40  10  -θ +θ   5 U2=50  160 -250  150 -280 -150 -230 50  75 35  +θ 40  U3=20 -120  0 -260 20  85 80  5 TALEP 80 100 50 45 280 Yöneylem Araştırması - I