2. Hafta: Sigorta İhtiyacı

Risk nedir? Risk, genellikle kayıpla sonuçlanabilecek bir belirsizlik durumu olarak tanımlanmaktadır. Bu tanımda iki unsur öne çıkmaktadır: kayıp ve belirsizlik. Dolayısıyla, kaybın kesinlikle oluşacağı durumlarda veya gerçekleşecek belirsiz olayın kayıp doğurmadığı durumlarda risk kavramından söz edilemez Riskin öngörülemezliğini yönetebilmek ve stratejiler geliştirebilmek için olasılık teorisi ve istatistiksel çıkarımlardan yararlanılmaktadır.

Örnek 1: Elinde 100.000 TL olan birisi aşağıdaki bahislere para yatırmalı mıdır? Hilesiz bir zar atıldığında çift geldiğinde yatırdığının iki katını alacak, tek geldiğinde hiçbirşey alamayacak. Hilesiz bir zar atıldığında 2 veya 5 geldiğinde yatırdığının üç katını alacak. Diğer sayılarda hiç birşey alamayacak Hilesiz bir zar atıldığında 2 veya 5 geldiğinde yatırdığının iki katını alacak. Diğer sayılarda hiç birşey alamayacak Hilesiz bir zar atıldığında 6 geldiğinde yatırdığının beş katını alacak. Diğer sayılarda hiç birşey alamayacak Hilesiz bir zar atıldığında 2 veya 5 geldiğinde yatırdığının iki katını alacak. 1 ve 4 geldiğinde yatırdığını geri alacak. Diğer sayılarda hiç birşey alamayacak 2016-2017 sezonunda Galatasaray’ın şampiyon olacağı

Örnek 2: Yukarıdaki örnekteki 100.000 TL’si olan adam; örnekteki oyunlara 50.000 TL yatırmalı mıdır? örnekteki oyunlara 10.000 TL yatırmalı mıdır? örnekteki oyunlara 5.000 TL yatırmalı mıdır?

Fayda Theorisi ve Tercihler Riske karşı üç tür tavır alınabilir. Riske iştah duyulabilir. (risk seeking) Riske karşı nötr davranılabilir. (risk neutral) Riskten kaçınılabilir. (risk averse) İnsanların çoğunluğu riskten kaçınır. Dolayısıyla insanların çoğunluğunun fayda fonksiyonları içbükeydir (concave).

Örnek 3: Örnek 2’de yer alan kişinin fayda fonksiyonu U(w) = w0,5 ise örnek 2’deki durumlar için bu kişinin beklenen faydasını hesaplayınız.

Sigorta İhtiyacı İnsanların çoğunluğu riskten kaçınır. Bu nedenle beklenen kayıplarını en aza indirmek, beklenen faydalarını en yüksekte tutmak ve bu değerlerdeki oynaklığı en az seviyede tutmak için sigorta yaptırırlar. Sigorta etkili bir risk yönetim aracıdır.

Örnek 4: Örnek 3’te yer alan bilgiler ışığında kişinin sigorta ihtiyacını irdeleyiniz. Bu kişinin ödemeyi kabul edeceği prim tutarlarını hesaplayınız.

Sigorta Primlerinin belirlenmesi Kişilerin verecekleri sigorta priminin değeri beklenen hasar değeri ile kişinin beklenen faydası arasındadır. Beklenen hasar değeri altındaki primler sigortacı için, beklenen faydanın üstündeki primler ise sigortalı için anlamlı değildir. Ancak, faydanın ölçülebilirliği ile ilgili sorunlar nedeniyle, fayda fonksiyonları kullanılarak prim belirlenmesi pratikte mümkün değildir. Ayrıca, sigorta piyasasında tam rekabet olduğu için oluşan fiyatlar beklenen hasar değerlerine yakınsamaktadır.

Örnek 5: Bir çiftçi tarlasına dikeceği üründen 250.000 TL gelir beklemektedir. Ancak, mevsim aşırı sıcak ve kurak geçerse %30, aşırı yağışlı geçerse %10 kayba uğrayacaktır. Her bir olayın yıl içinde gerçekleşme ihtimali sırasıyla %5 ve %3’dür. (Her bir doğa olayı ayrıktır.) Çiftçinin riskini belirleyiniz Çiftçinin beklenen kaybını belirleyiniz. Çiftçinin beklenen kaybı prim kabul edilip sigorta yaptırılırsa sigortacının riskini belirleyiniz.

Büyük Sayılar ve Toplam Hasarlar Sigortalı sigorta işlemini yaparken riski sigortacıya transfer eder. Sigortacı ise birçok kişinin riskini alarak büyük sayılardan yararlanır ve riski dağıtmış olur. Ayrıca, sigortacı zarar riskini azaltabilmek için prime güvenlik yüklemesi yapmak zorundadır. Bu yükleme genellikle şirket tarafından belirlenen bir güven seviyesinde kar oluşturacak prim seviyesi belirlenerek yapılır.

Örnek 6: 100.000 TL’lik bir araca hasar geldiğinde 10.000 TL zarar vermesi bekleniyor. Yılda en fazla bir kez hasar gelebileceği ve hasar gerçekleşme olasılığı %10 olduğu biliniyorsa, tek bir araç için beklenen hasar değerini hesaplayınız. Bu tutar prim olarak belirlenirse, Sigortacı 100 araç sigortaladığında riskini belirleyiniz. Sigortacı 10.000 araç sigortaladığında riskini belirleyiniz. Yukarıdaki durumlar için sigortacının %90 ihtimalle kar elde edeceği prim seviyelerini hesaplayınız.

𝑉𝑎𝑟 𝑆 =𝐸 𝑁 𝑉𝑎𝑟 𝑋 +𝑉𝑎𝑟(𝑁)𝐸 𝑋 2 Fiyatlamada toplam hasar modelleri ile belirlenen toplam hasarın beklenen değeri ve varyansı kullanılır. Şirketlerin riski toplam hasar varyansına göre belirlenir. Şirketler fiyatlarını toplam hasarın beklenen değerine yükleme yaparak ayarlarlar. İstatistikler ve beklentiler önemlidir. Unutulmaması gereken iki formül: 𝐸 𝑆 =𝐸 𝑋 𝐸(𝑁) 𝑉𝑎𝑟 𝑆 =𝐸 𝑁 𝑉𝑎𝑟 𝑋 +𝑉𝑎𝑟(𝑁)𝐸 𝑋 2

Örnek 8: Herbir poliçenin üreteceği hasar sayıları 𝑁𝑖~𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛(0,1), hasar şiddeti ise 𝑋𝑖~𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 (𝜇=1500, 𝜎 2 =500) şeklinde dağılım gösteren bir risk için sigorta şirketinin %90 ihtimalle kar elde etmesini sağlayacak prim yüklemesi % kaçtır. Şirket 1000 poliçe üretmeyi hedeflemektedir?

ÖDEV Bir çiftçi tarlasına mısır veya buğdaydan birisini ekecektir. Mısır iyi hava koşullarında buğdaydan daha iyi performans sergilerken, kötü hava koşullarına tepkisi de daha sert olmaktadır. Buğday ve mısırın iyi ve kötü hava koşullarındaki getiri durumlarını gösteren matris aşağıdadır. Çiftçi hangi ürünü ekmelidir. Yorumlayınız. Çiftçinin riske karşı nötr olduğu kabulü ile Buğday ve Mısır arasında kararsız kalmasına neden olacak iyi hava koşulları yaşanma ihtimalini hesaplayınız. Hesapladığımız iyi hava koşulları yaşanma ihtimali için, her iki ürün için de sigorta primlerini hesaplayınız. Sigorta yaptırmak çiftçinin tercihlerini nasıl etkiler yorumlayınız. 100 çiftçi bulunduğu durumda her bir ürün için sigortacının %90 ihtimalle kar etmesini sağlayacak güvenlik yüklemesini hesaplayınız. Not: A, B, C, D öğrenci numaranızın son 4 hanesini oluşturan rakamlardır.   İyi Hava Koşulları Kötü Hava Koşulları Buğday 5A 3B Mısır 10C 1D