3. Hipergeometrik Dağılım Binom dağılım ekseriyette yerine koymak suretiyle yapılan örneklemelere tatbik edilmektedir. Örnek, kütleden yerine koymadan çekildiği takdirde artık bağımsız olay söz konusu olmadığından binom dağılım uygulanamaz. Bu gibi durumlarda yani deneylerin bağımsız olmadığı durumlarda Hipergeometrik dağılım uygulanır. a: uygun, b: uygun olmayan a+b eleman içeren bir kütleden iadesiz olarak n elaman seçildiğinde x tanesinin uygun, n-x tanesinin uygun olmayan elemanlardan oluşma olasılığı hipergeometrik olasılık fonksiyonu ile ifade edilebilir. Hipergeometrik olasılık fonksiyonu şöyle yazılır. Dağılımın a, b ve n olmak üzer üç paramet- resi vardır.

Hipergeometrik dağılımın beklenen değeri Hipergeometrik dağılım fonksiyonu Beklenen değer: Varyans:

3. Hipergeometrik Dağılım Örnek: Bir dernekte 12 si erkek 8 i bayan toplam 20 üye vardır. 5 Kişilik bir komisyon kura ile seçiliyor. Komisyonda 3 erkek bulunma olasılığı nedir? Bu olasılığı binom dağılımı ile bulursak b) Komisyonda en az iki erkek bulunma olasılığı nedir?

4. Poisson Dağılımı Poisson olasılık fonksiyonu şöyle yazılır: olduğu zaman binom dağılımı, Poisson dağılımına yaklaşır. Bir olayın meydana gelme olasılığı (p) sıfıra, dolayısıyla q=1-p ; 1’e yaklaşırsa (terside mümkün ) ve n çok büyük olursa böyle olaylara nadir meydana gelen olaylar denir. Poisson dağılımı nadir meydana gelen olayların dağılımı olarak ta bilinir. Pratik olarak eğer bir olaydaki deney sayısı en az 50 (n≥50) ve np≤5 oluyorsa böyle olaylar nadir olaylar olarak düşünülebilir. Poisson olasılık fonksiyonu şöyle yazılır:

4. Poisson Dağılımı λ=np olup dağılımın ortalamasıdır (beklenen değeri E(X)=λ) ve dağılımın tek parametresidir. Poisson dağılımının varyansı da λ ya eşittir. Var(x)= λ Poisson dağılımı da Binom dağılımı gibi bağımsız olaylarda kullanılır. Ancak kütle sınırsız olduğu zaman olayların bağımsızlığına bakmaksızın bu dağılımı kullanmak mümkündür. Poisson dağılımı mamul muayenesinde, sigortacılıkta, matbaacılıkta,iş kazalarında, telefon santrallerinde, az rastlanır hastalıkların olasılıklarının tahmininde kullanılır.

Poisson dağılımın beklenen değeri Poisson dağılımının beklenen değeri:

Poisson dağılımının varyansı Bunun için önce E(X2) hesaplanır. Varyans

4. Poisson Dağılımı Örnek: Bir fabrikada iş kazalarının dağılımının Poisson’a uygunluğu tespit edilmiştir. Yıllık kişi başına düşen ortalama iş kazası 0,5 alarak bulunmuştur. Tesadüfen seçilen bir kişinin; Hiç Kaza geçirmemesi, Bir kaza geçirmesi, En az bir kaza geçirmesi olasılıklarını bulunuz? Çözüm:

Örnek: Bir fabrikada üretilen malların 0,03’ü kusurludur Örnek: Bir fabrikada üretilen malların 0,03’ü kusurludur.Muayene için 25 birimlik bir örnek çekildiğinde; 4 kusurlu mal çıkması 3 veya daha fazla kusurlu mal çıkması, En fazla 2 kusurlu mal çıkması olasılığı ne olur? Bu örnek için poisson olasılıklarını bulup grafikte gösteriniz. Çözüm:

4. Poisson Dağılımı Kusurlu sayısı Olasılık f(x) 0,4723666 1 0,3542749 0,4723666 1 0,3542749 2 0,1328531 3 0,0332133 4 0,0062275 5 0,0009341 6 0,0001168 7 1,251E-05 8 1,173E-06 9 9,774E-08 10 7,33E-09 11 4,998E-10 12 3,124E-11 13 1,802E-12 14 9,654E-14 15 4,827E-15

1.5- Bir örnek dağılım (Kesikli düzgün dağılım)  

6. Geometrik Dağılım Geometrik dağılımın beklenen değer ve varyansı Binom dağılımının uygulandığı bazı durumlarda, verilen herhangi bir deneyde uygun halin ilk defa meydana gelmesi olasılığı sorulabilir. Eğer uygun hal x inci deneyde ilk defa meydana geliyorsa x-1 sayıdaki deneyde uygun olmayan hal meydana gelmiş demektir. Bunun olasılığı dir. Buna göre X inci deneyde uygun halin ilk defa meydana gelme olasılığı şöyle olur. Buna göre geometrik dağılım fonksiyonu şöyle yazılır. Dağılımın tek parametresi p olup uygun hal olasılığını göstermektedir. Geometrik dağılımın beklenen değer ve varyansı

6. Geometrik Dağılım Örnek: Bir bilardo oyuncusunun sayı yapma olasılığı 0,7 tür. Oyuncunun; 6. atışta ilk defa sayı yapmama olasılığını, En az 6 sayı yapmama olasılığını bulunuz. Oyuncunun sayı yapabilmesi için aralıksız kazanması gerekmektedir. Çözüm: a) b)

7. Negatif Binom Dağılımı x.inci deneyde uygun halin r.inci defa meydana gelme olasılığıenın belirlenmesinde negatif binom dağılımı uygulanmalıdır. Negatif binom olasılık fonksiyonu şöyle yazılır. Özel olarak r=1 olursa geometrik dağılım elde edilir. Bu dağılımda x-1 deney binom dağılımı gösterir. x. Deneyin sonucu da uygun hal (p) olup x-1 deneyin dağılımı ile çarpılmaktadır. Negatif Binom dağılımının beklenen değer ve varyansı

7. Negatif Binom Dağılımı Örnek: Bir avcının hedefi vurma olasılığı %30 dur. a) Avcının yaptığı 5. atışın 3. isabetli atış olma olasılığı ne olur? 10. atışın en fazla 2. isabetli atış olma olasılığı ne olur? Çözüm: a) b)

8. Multinomial Dağılım (Çok terimli dağılım) olaylarının meydana gelme olasılıklarının sırasıyla verilmesi halinde defa meydana gelme olasılığı Multinomial dağılım aracılığıyla bulunur. Burada

8. Multinomial Dağılım (Çok terimli dağılım) Örnek: Bir işletmede çalışan mühendisler arasından 9 kişilik bir proje grubu oluşturulacaktır. İşletmede 10 makine, 6 elektrik, 4 endüstri mühendisi çalışmaktadır. Proje grubunda 4 makine 3 elektrik, 2 endüstri mühendisi bulunma olasılığı ne olur. Çözüm: N=9 x1=4, x2=3, x3=2

Örnek Problemler Bir işletmede 40 işçi çalışmaktadır. İşçilerden 10 tanesi bayandır. a) Bu işçilerden rastgele 8 tanesi seçilerek bir komisyon oluşturulduğunda 2 tanesinin bayan olma olasılığı ne olur? b) Seçilen 8 kişilik komisyonda en az 3 tane bayan eleman bulunma olasılığı ne olur?

Örnek Problemler Bir işletmede bulunan bir makinenin herhangi bir günde arıza yapma olasılığı %3 tür. a) 50 günlük bir üretim süresinde makinenin ortalama arıza sayısı ve varyansı ne olur? b) 50 gün içinde makinenin 3 kere arıza yapma olasılığı ne olur? c) 50 gün içinde makinenin en az 2 kere arıza yapma olasılığı ne olur? d) yukarıdaki şıklardan bağımsız olmak üzere 50 gün içerisinde makinenin en az bir kez arıza yapma olasılığı %70 olduğuna göre makinenin bu süre içinde beklenen arıza sayısı ve herhangi bir günde arızalanma olasılığı ne olur?