AKIMDA KÜTLENİN KORUNUMU VE SÜREKLİLİK DENKLEMİ Kütlenin korunumu kısaca; akım alanındaki bir hacme, bu hacmin bütün yüzeylerinden belli bir zamanda giren kütle miktarı, bu hacımdaki kütlenin aynı zaman içindeki artmasına ( veya çıkan kütle miktarı hacımdaki kütlenin azalmasına ) eşittir şeklinde tariflenir. Kartezyen Koordinatlarda Üç boyutlu Gösteriliş Kartezyen koordinatlarda süreklilik denklemini yazmak için boyutları dx, dy ve dz ve bu elemanın (x,y,z) merkezindeki hız bileşenleri de u,v,w olan sonsuz küçük bir kontrol hacim göz önüne alınsın. Kütlenin korunumu prensibine göre;

x eksenine dik yüzeylerdeki ortalama hızlar; B C D E F G H (x,y,z) dx dz dy z x y u v w x eksenine dik yüzeylerdeki ortalama hızlar; ABCD yüzeyinde: EFGH yüzeyinde: Elemanın merkezinde birim yüzeyden birim zamandaki kütle akısı: ABCD yüzeyinden dt zamanında giren kütle: EFGH yüzeyinden dt zamanında çıkan kütle:

x yönünde dt zamanında elemana giren net kütle: y yönünde:dt zamanında elemana giren net kütle: z yönünde:dt zamanında elemana giren net kütle: dt zamanında elemana giren toplam kütle:

Elemanın kütlesi: dt zamanında hacim içindeki kütlenin artma miktarı: Eleman içinde kütlenin yaratılması veya yok edilmesi söz konusu olmadığına göre bu iki değer eşit olmalıdır. veya

Süreklilik denkleminin Diferansiyel formu elde edilir. Vektörel olarak: (3.13) Denklemi açılırsa:

Vektörel olarak, Sıkışan Değişken akım için Düzenli Akım: yazılarak Sıkışmayan Akımda

Akım Çizgisi Koordinatlarında Bir boyutlu Gösteriliş Akım çizgisi Koordinatlarında kütlenin korunumu prensibini ele alalım. ds uzunluklu eleman akım tüpünün bir parçası olsun ve merkez A kesitindeki ortalama hız V olsun. Buna göre giriş ve çıkış kesitlerindeki ortalama hızlar: , 1 Yüzeyinden dt zamanında giren kütle: 2 1 2 Yüzeyinden dt zamanında çıkan kütle: ds

dt zamanında elemana giren toplam kütle: dt zamanında eleman hacmindeki kütle artması: Buradan sıkışan değişken akımda süreklilik denklemi: Sıkışan Düzenli Akımda: kg/s (kütle debisi) Bu ifade sıkışan düzenli akımda bir kesitten saniyede geçen kütlenin sabit olduğunu gösterir. Bu akışkanın kütle debisi olarak adlandırılır.

Sıkışmayan Değişken Akım: =sabit, A=A(s,t) Sıkışmayan düzenli Akımda: =sabit, Akım Debisi m3/s Akım Debisi m3/s

AKIŞKANIN YERSEL HAREKET BİLEŞENLERİ (x,y) dx dy x y u v Akışkan akımı içinde boyutları dx, dy, olan son derece küçük dikdörtgen akışkan elemanını x,y kartezyen koordinat sistemine göre ele alalım (x,y) noktasındaki hız vektörünün skaler bileşenleri u,v olsun. Akım şartları noktadan noktaya değişeceğinden herhangi bir anda hız bileşenleri elemanın her noktasında değişik olacaktır. x,y düzlemindeki dx,dy yüzünün dört köşesindeki yersel hızlar farklı olduğuna göre dt zamanı içinde bu köşe noktalarının yer değiştirmeleri de farklı olacaktır. Yani elemanın yüzü dt zamanı içinde ötelenme hareketinden başka bir de şekil değişikliğine uğrayacaktır..

Ötelenme ABCD eleman yüzünün u ve v hızları ile dt zaman sonra A’B’C’D’ konumuna gelmekle yaptığı harekettir. x ve y yönündeki ötelenme hızları u ve v olduğuna göre dt zamanındaki ötelenmeler udt ve vdt dir. (x,y) x y u v vdt udt A B C D A’ B’ C’ D’

Doğrusal Genleşme (Deformasyon) Paralel kenarlardaki boy değişmeleridir ki buda BD ve CD kenarlarının x ve y yönünde AC ve AB kenarlarına göre farklı hızda olmasından kaynaklanmaktadır. dt zamanındaki değişmeler deformasyonlar aşağıdaki gibidir; Boy değişmeler Doğrusal deformasyon x y A B C D x yönünde : y yönünde : x ve y yönündeki deformasyon hızları:

Açısal Genleşme (Deformasyon) Köşelerdeki açıların değişmesi sonucu ortaya çıkan deformasyondur. Bu da BD ve CD kenarlarının y ve x yönünde AC ve AB kenarlarına göre farklı hızda olmasından kaynaklanır. dx ve dy kenarlarının dt gibi kısa bir zamandaki dönmeleri d ve d küçük olduğu kabul edilirse bu açılar tanjantları ile temsil edilebilirler. Yani x y A B C D d d

Eleman yüzeyinin xy düzlemindeki toplam açısal genleşmesi: xy düzlemindeki açısal deformasyon hızı: yz düzlemindeki açısal deformasyon hızı: zx düzlemindeki açısal deformasyon hızı:

Açısal Dönme Çevrinti (Rotasyon) Akışkan elemanı şeklini değiştirmeden elemanın kenarlarının belli bir açı kadar dönmesi halidir. Akışkan elemanının hacmi değişmemektedir. Akışkan elemanının saat akrebinin tersi yönündeki dönmesi pozitif alınır. Bu tür yersel hareketi içeren akımlara Çevrintili akım denir. A y C D d x B d

Kenarların dönmeleri: ortalama net açısal dönme : Buna göre z eksenine dik açısal hız : diğer eksenlere göre açısal hız bileşenleri :

Bileşke açısal hız: Bileşke açısal hız sıfır ise yani sıfır ise akışkan elemanında net bir dönme söz konusu olmaz bu tip akımlar çevrintisiz (potansiyel) veya irrotasyonel olarak isimlendirilirler. değerine hidromekanikte çevrinti vektörü adı verilir.

Çevrintisiz akımlarda açısal hız vektörü olduğundan çevrinti vektörü sıfır olacaktır. Ayrı ayrı skaler bileşenlerin sıfıra eşitlenmesi ile çevrintisizlik şartları elde edilir. x-y düzleminde : y-z düzleminde : x-z düzleminde :

HIZ POTANSİYEL FONKSİYONU Hız potansiyel fonksiyonu yer ve zamana bağlı öyle bir fonksiyondur ki herhangi bir doğrultuda diferansiyeli alındığında o doğrultudaki hızı verir. Yani Hız Potansiyel Fonksiyonu: Vektörel olarak: Kartezyen koordinatlarda :

Hız potansiyelinin mevcut olduğu akımlar çevrintisiz (irrotasyonel) akımlardır. Bu tür akıma Potansiyel Akım denir. Çevrintisiz akımda şartı sağlanmalıdır.

AKIM FONKSİYONU Akım fonksiyonu çevrintili ve çevrintisiz akımlarda akım çizgilerinin geometrisini temsil eden matematiksel bir fonksiyondur. İki boyutlu, düzenli ve sıkışmayan bir akımda akım fonksiyonu yere bağlı olarak aşağıdaki gibi gösterilebilir. Bu fonksiyon aşağıdaki özelliklere sahiptir. Akım fonksiyonunun y ve x e göre kısmi türevleri hız vektörünün x ve y doğrultusundaki bileşenlerini verir.

Akım fonksiyonu ile akım çizgisi ilişkisi: Bir akım alanındaki akım çizgilerini temsil eden  sabit bir değere eşitlendiğinde bu akım alanındaki akım çizgilerinden birinin denklemi elde edilir. Farklı sabitler farklı akım çizgilerini gösterirler Akım fonksiyonu ile akım çizgisi arasındaki ilişki şöyle gösterilebilir. Akım çizgisi denklemi: , değerleri yerine konursa olur. Bu denklem  nin tam diferansiyelidir. olur ki bu da akım çizgileri ailesinin denklemidir.

İki akım çizgisini birleştiren AB hattı üzerinden geçen debi dq olsun Akım fonksiyonu – debi ilişkisi : (x,y) düzlemine dik birim derinlikteki iki akım çizgisi arasından geçen hacim debisi akım fonksiyonlarının farkına eşittir. ise İki akım çizgisini birleştiren AB hattı üzerinden geçen debi dq olsun A B  +d dy dx  y x ds

yazılırsa Akım çizgilerinden biri orijinden geçiyor ise debi doğrudan diğer akım çizgisinin değerine eşittir. İki farklı akım alanının bileşiminden meydana gelen bir akım alanını temsil eden yeni akım fonksiyonu bu iki akım fonksiyonunun toplanması ile elde edilir. ifadeleri süreklilik denklemini sağlamalıdır.

O halde iki boyutlu düzenli sıkışmayan bir akımda akım fonksiyonunun varolması için süreklilik denkleminin sağlanması matematiksel olarak gerekli ve yeterli bir şart olmaktadır. olmalı Akım çevrintisiz ise : değerleri çevrintisizlik şartında yerine konursa olur. Bu da iki boyutlu kartezyen koordinatlarda Laplace denklemidir. Çevrintisiz akımlar için akım fonksiyonu da belirli sınır şartları için Laplace diferansiyel denkleminin çözümünden elde edilmektedir.

İKİ BOYUTLU ÇEVRİNTİSİZ BİR AKIMDA  İLE ’NİN GEOMETRİK İLİŞKİSİ: x, y düzleminde =1 ve =1 çizgileri A noktasında kesişsinler. =1 üzerinde; A =1 =1 x y olduğuna göre , =1 üzerinde , buradan olur ki bu da A kesişme noktasında potansiyel çizgi ile akım çizgisi birbirine dik olmaktadır

} ise sıkışmayan bu akımı temsil eden bir  fonksiyonu vardır. AKIM FONKSİYONU İLE HIZ POTANSİYELİNİN VAROLMA ŞARTI ise sıkışmayan bu akımı temsil eden bir  fonksiyonu vardır. Akım çevrintili veya çevrintisiz olabilir. ise akım çevrintisiz sıkışmayan bir akımdır.  vardır ve denklemi sağlanır. } ise akım çevrintisiz, dolayısıyla potansiyeldir. Sıkışan veya sıkışmayan olabilir. yazılabilir. ve ise akım sıkışmayan potansiyel bir akımdır. yazılabilir. eşitliği sağlanır. İki boyutlu çevrintisiz akımda  ile  arasındaki ilişki kartezyen koordinatlarda: Cauchy – Riemann Denklemleri (3.37)

AKIM AĞI İki boyutlu bir akım alanında birbirine dik olarak çizilen potansiyel ve akım çizgilerinden oluşan çizgiler topluluğuna akım ağı denir. Akım ağı, iki boyutlu çevrintisiz bir akımın verilen sınır şartlarına göre grafiksel olarak çözümünü sağlar. Akım çizgilerinin aralıkları eşit debi geçirecek şekilde; potansiyel çizgilerinin aralıkları da akım çizgileri ile küçük kareler teşkil edecek şekilde ayarlanır. Çözülecek problemin sınır şartları göz önüne alınır.

Akım çizgisinin yönü s ve buna dik olan potansiyel çizgisinin yönü n ile gösterilecek olursa; yazılabilir ve bir akım tüpünden geçen debi; olacağından bir noktadaki hızın değeri yaklaşık olarak Bu ifadeden akım ağının sıklaştığı yerlerde hız büyük, seyrekleştiği yerlerde ise küçüktür.

AKIM AĞININ YER ALTI AKIMINA UYGULANMASI H1 H2 s A H Refereans düzlemi Darcy’nin yaptığı deneylerden şekildeki özelliklere sahip bir toprağın içindeki suyun hızı aşağıdaki gibi bulunmuştur. k= geçirgenlik katsayısı olup akışkanın viskozitesine ve zeminin özelliklerine bağlıdır.

Yukarıdaki hız ifadesi diferansiyel formda yazılırsa; Bu potansiyel akıma uymaktadır. Yani yer altı akımı potansiyel akımdır İki boyutlu akım alanında olarak elde edilir.

REGÜLATÖR ALTINDAN GEÇEN AKIMIN DEBİSİ Akım ağının bir karesini ele alalım. Resim düzlemine dik birim genişlikten geçen akımın debisi; s = n s n  + İki potansiyel çizgi arasındaki ortalama hız Debi:

s = n olduğuna göre, elde edilir. Akım çizgilerinin sayısı N ise , resim düzlemine dik genişlik b ise, N : Potansiyel çizgileri aralık sayısı olduğuna göre Sonuç olarak regülatörün altından geçen debi elde edilir.