PARAMETRİK OLMAYAN HİPOTEZ TESTLERİ “Kİ-KARE TESTLERİ”

Normal Dağılış, t Dağılışı, F Dağılışı, Populasyonun incelediğimiz bir özelliğinin dağılışı bilenen dağılışlardan birisine, Normal Dağılış, t Dağılışı, F Dağılışı, gibi bir dağılışa uygun olduğu durumlarda populasyonun parametrelerine ilişkin yapılan hipotez testlerine parametrik hipotez testleri adı verilir.

Parametrik hipotez testleri genellikle normal dağılış varsayımı altıda gerçekleştirilen testlerdir. Merkezi limit teoremi gereğince; “ anakütle dağılışı ne olursa olsun o dağılışa ilişkin örnekleme dağılışının normal dağıldığı “sonucundan hareketle normal dağılışın çok yaygın bir şekilde kullanıldığı açıkça ortadadır.

Populasyonla ilgili belli başlı varsayımların ve parametre tahminlerinin gerçekleştirilemediği, bu sebepten dolayı dağılış varsayımı yapılamadığı durumlarda kullanılan testler, “ Parametrik Olmayan Hipotez Testleri” olarak adlandırılır.

Parametrik Olmayan Hipotez Testlerinin Kullanılabileceği Durumlar: 1) Gözlem ile elde edilen verilerin olması durumunda, 2)Parametrik test varsayımının yerine getirilemediği durumlarda 3)Testte kullanılacak değerler yerine bu değerlerin sıra numaralarının verildiği durumlarda, 4)Testte kullanılacak örneklerin küçük hacimli olduğu durumlarda.

Parametrik Olmayan Hipotez Testlerinin ; AVANTAJLARI Uygulanması için birçok varsayıma gerek yoktur. Anlaşılması ve uygulanması kolaydır. Küçük hacimli bir örnek üzerinden yapılması mümkündür. DEZAVANTAJLARI Örnek hacminin büyük olması halinde uygulanması güçleşir. Bu tür testlerin uygulanmasıyla elde edilen sonuçlar, parametrik testlerin uygulanmasıyla elde edilen sonuçlardan daha az güvenilirdir.

Bu dersin kapsamı içinde parametrik olmayan hipotez testlerinin yalnız bir kısmını oluşturan “Parametrik Olmayan c2 Ki- Kare Hipotez Testleri” ’ne ye verilecektir. Günümüzde birçok araştırmada kullanılan değişkenler niteliksel yapıdadır. Zarın atıldığında alacağı değerler, göz rengi, din, ırk ve dil gibi sınıflamalar.

50 kilonun altında olan kişilere zayıf, Bazı durumlarda ise niceliksel yapıdaki bazı değişkenlerin sınıflandırılarak niteliksel hale dönüştürüldüğü görülür. 50 kilonun altında olan kişilere zayıf, 50-80 kilo arasında olanlara normal, 80 kilonun üstünde olanlara kilolu denmesi gibi. Niteliksel yapıya sahip değişkenler üzerinde yapılan gözlemler çoğunlukla araştırılan özelliği gösteren sınıfların sayıları şeklindedir.

“PARAMETRİK OLMAYAN Kİ-KARE HİPOTEZ TESTLERİ “ Ele alınan değişkenlerin niteliksel yapıda olduğu durumlarda, yapılan ölçüm ve gözlemlerin ilgili sınıflara ait frekanslarını dikkate alan çalışmalar için uygulanan hipotez testleri, “PARAMETRİK OLMAYAN Kİ-KARE HİPOTEZ TESTLERİ “ dir.

Parametrik Olmayan c2 Ki- Kare Hipotez Testleri İyi Uyum Testleri Dağılışa Uyum Testleri Uniform Binom Poisson Normal r x c Bağımsızlık Testleri

test etmek amacıyla kullanılır. Parametrik Olmayan c2 (Ki- Kare) Hipotez Testleri adını kullanılan test istatistiğinden almıştır. Yukarıdaki tabloda ifade edilen 3 faklı Ki-Kare testi; sayımla elde edilen veya ölçülen değerlerin iddia edilen teorik frekanslar uygun olup olmadığını, populasyonun iki farklı özelliğinin birbirinden bağımsız olup olmadığını, populasyonunun dağılışının ifade edilen bilinen bir dağılışa uygun olup olmadığını, ( Binom , Normal vb. ) test etmek amacıyla kullanılır.

Burada ele alınan tüm durumlarda kullanılacak test istatistiği ortak olmakla birlikte Ki-Kare dağılışına uygundur. Gi : Gözlenen Değerler Bi : Beklenen Değerler

İyi Uyum Testleri Gözlenen frekansların teorik beklenen frekanslara uyup uymadığının araştırılmasında kullanılır. Bir zar atıldığında eğer zar hilesiz ise tüm değerlerin ortaya çıkma olasılığının birbirine eşit ve 1 / 6 olması, Bir haftalık süre içinde Çiğli- Kipa’ya gelen müşterilerin % 25’nin Cumartesi , % 25’nin Pazar ve diğer hafta içi 5 günde de her gün % 10’nun gelmesi.

Gözlenen değerler ( Gi ) G1 G2 G3 Gk n Grup 1 2 3 ............ k Toplam Gözlenen değerler ( Gi ) G1 G2 G3 Gk n H0 doğru iken olasılık değeri ( pi ) p1 p2 p3 pk H0 doğru iken beklenen değer ( Bi ) B1 = np1 B2 = np2 B3 =np3 Bk = npk

Kullanılan ki-kare test istatistiği göz önünde bulundurulacak olursa, gözlenen ve beklenen değerler arasındaki farkın anlamlı derecede büyük olması durumunda teorik frekanslara gözlenen frekansların uymadığı sonucuna varılır. H0 : pi’ler ifade edilen teorik olasılık değerlerine eşittir. H1 : En az bir eşitlik geçersizdir. ise H0 red edilir. k : grup sayısı ( kategori sayısı )

Takım FB GS BJK TS Diğer Toplam Taraftar Sayısı 387 259 208 97 49 1000 Örnek: Bir spor yazarı, Türkiye’deki kişilerin % 40 ‘ının Fenerbahçe, % 25 ‘inin Galatasaray, % 20’sinin Beşiktaş , % 10’nun Trabzonspor’u ve geriye kalan % 5‘lik kısmın ise diğer takımları desteklediğini düşünmektedir. Bu amaçla 1000 kişilik bir örnek alındığında aşağıdaki tablodaki sonuçlar elde edilmiştir. Yazarın iddiasını % 5 ‘lik hata payıyla test ediniz. Takım FB GS BJK TS Diğer Toplam Taraftar Sayısı 387 259 208 97 49 1000

H0 : pFB = 0,40, pGS = 0,25, pBJK = 0,20, pTRB = 0,10, pD = 0,05 H1 : En az bir eşitlik geçersizdir. BFB = n pFB = 1000 ( 0,40 ) = 400 , GFB = 387 BGS = n pGS = 1000 ( 0,25 ) = 250 , GGS = 259 BBJK = n pBJK = 1000 ( 0,20 ) = 200 , GBJK = 208 BTRB = n pTRB = 1000 ( 0,10 ) = 100 , GTRB = 97 BD = n pD = 1000 ( 0,05 ) = 50 , GD = 49

olduğundan Ho red edilemez. Spor yazarının taraftarların dağılış yüzdeleriyle ilgili iddiasının % 5 hata payıyla doğru olduğu söylenebilir.

r x c Bağımsızlık Testleri Bir populasyonun iki özelliğinin birbirinden bağımsız olup olmadığını test etmede kullanılır. Örneği meydana getiren bireyler iki farklı kritere göre sınıflanır. Örneğin bireylerin hem sigara içip içmemelerine hem de içki içip içmemelerine gör sınıflandırılması, iktisat bölümündeki öğrencilerin matematik ve istatistik derslerindeki başarı durumuna göre sınıflandırılması gibi.

Populasyonun sınıflandırılmasında iki özellik dikkate alındığından dolayı iki yönlü tablolar ( kontenjans tabloları ) kullanılır. Bu tabloların satırlarında ele alınan özelliklerden birincinin farklı seviye veya durumlarını, sütunlarında ise ikinci karakterlerin farklı seviye veya durumlarını gösterilir. Bu durumlar, sıralayıcı ve sınıflayıcı ölçekler şeklinde olabilir.

İki Yönlü ( Kontenjans ) Tablolarda Beklenen Değerlerin Hesaplanması Özellik A Özellik B 1 2 3 C Toplam G11 G12 ....... G1c R1 G21 G22 G2c R2 G31 G32 G3c R3 .... ...... ........ R Gr1 Gr2 Grc Rr C1 C2 C3 Cc N

Herhangi bir hücrenin beklenen değerin hesaplanmasında iki özelliğin var olması sebebiyle, o hücrenin bulunduğu satır ve sütun toplamlarının çarpımının örnek hacmine bölünmesiyle hesaplanır. i. inci satır , j. inci sütundaki bir gözlemin beklenen değeri , şeklinde bulunur. 1. satır , 2. sütundaki hücrenin beklenen değeri, şeklindedir.

H0 : Populasyonun iki özelliği birbirinden bağımsızdır H0 : Populasyonun iki özelliği birbirinden bağımsızdır. ( aralarında ilişki yoktur. ) H1 : Populasyonun iki özelliği birbirinden bağımsız değildir. ( aralarında ilişki vardır. ) Test İstatistiği: ise H0 red edilir.

Cinsiyet Kadın Erkek Partiler A 100 150 B 200 C Örnek: İzmir’in Buca ilçesinde yapılan bir anket çalışmasında kişilerin oy verdikleri parti ile cinsiyet arasında bir ilişki olup olmadığı araştırılmaktadır. Aşağıdaki tabloda anket sonucunda elde edilen bilgiler bulunmaktadır. Buca ilçesinde oturan kişilerin cinsiyetleri ile oy verdikleri parti arasında ilişki olup olmadığını a = 0,01 önem seviyesinde test ediniz. Cinsiyet Kadın Erkek Partiler A 100 150 B 200 C

Cinsiyet Kadın Erkek Toplam Partiler A 250 B 400 C 350 500 1000 H0 : Cinsiyet ile oy verilen parti birbirinden bağımsızdır. H1 : Cinsiyet ile oy verilen parti birbirinden bağımsız değildir. Cinsiyet Kadın Erkek Toplam Partiler A 100 125 150 125 250 B 200 200 400 C 200 175 150 175 350 500 1000

17,14 > 9,21 olduğundan dolayı H0 red edilir 17,14 > 9,21 olduğundan dolayı H0 red edilir. % 99 olasılıkla Buca ilçesindeki kişiler için oy verilen partiler ile cinsiyet arasında bir ilişki olduğu söylenebilir.

DAĞILIŞA UYUM TESTLERİ Örnek verilerinden yola çıkarak populasyonun dağılımı hakkında ortaya atılan iddiayı test etmek için “Dağılışa Uyum Testleri” kullanılır. Örnek verileri gözlenen değerler olarak, örnek hacmi dikkate alınarak ilgili dağılışın olasılık değerlerinden yola çıkarak beklenen değerler (teorik frekanslar) hesaplanır.

Dağılışa Uyum Testlerinde Kullanılacak Olan Test İstatistiği: Dağılışa Uyum Testlerinde de kullanılacak olan test istatistiği dağılışına uymaktadır. Örnekten elde edilen gözlenen değerler ile dağılıştan yola çıkarak hesaplanan beklenen değerler birbirine yakınsa hesaplanan değeri küçük çıkacak ve örnek verilerinin dağılışının iddia edilen dağılışa uygun olduğu sonucu ortaya çıkacaktır. Ho: Örnek verileri ilgili dağılışa uygundur. H1: Örnek verileri ilgili dağılışa uygun değildir. Dağılışa Uyum Testlerinde Kullanılacak Olan Test İstatistiği:

Hesaplanan değeri ile tablodan bulunan değeri karşılaştırılarak iddianın doğruluğu hakkında karar verilir. v = k - 1- g k : değeri bulunurken dikkate alınan grup sayısı g : İlgili dağılış için örnek verileri kullanılarak hesaplanan (tahmin edilen) parametre sayısı

ise H0 red edilir. > H0 ‘ın red edilemediği durumlarda örnek verilerinin dağılışı parametresi bilinen veya örnekten tahmin edilen dağılışa uygun olduğu sonucuna varılır.

KESİKLİ ÜNİFORM(DÜZGÜN) DAĞILIŞ Tanımlı olduğu değerleri eşit olasılıklar ile alan şans değişkenlerinin dağılışıdır. Kesikli üniform dağılışı gösteren bir şans değişkeni N farklı değeri eşit olasılıklar ile alıyorsa her bir değeri alma olasılığı 1/N’ e eşittir.

Hilesiz bir zar atıldığında zarın yüzeylerinde bulunan 6 sayının zarın ön yüzünde gelmesinin olasılığı birbirine birbirine eşit ve 1/6 olacaktır.

İşe gelmemesi beklenen işçi sayısı(Bi) Örnek: Büyük bir işletmede hafta içerisindeki 5 gün içerisindeki işe gelmeme sayılarının dağılışı araştırılmaktadır. Bu amaçla bir hafta boyunca her gün işe gelmeyen işçi sayıları kontrol edilerek not edilmiştir. Hafta içerisinde iş yerine gelmeyen işçi sayılarının dağılışının Üniform(Düzgün) Dağılışa uygun olup olmadığını % 5 hata payıyla test ediniz. Günler işe gelmeyen işçi sayısı(Gi) pi İşe gelmemesi beklenen işçi sayısı(Bi) Pazartesi 15 1/5 12 0,75 Salı 9 Çarşamba Perşembe 11 0,08 Cuma 16 1,33 toplam 60 1 3,66

olduğundan Ho red edilemez. Ho: İlgili işletmedeki hafta içi günlerdeki işe gelmeyen işçi sayılarının dağılışı Üniform Dağılışına uygundur. H1: İlgili işletmedeki hafta içi günlerdeki işe gelmeyen işçi sayılarının dağılışı Üniform Dağılışına uygun değildir. v = k - 1- g = 5-1-0 =4 Üniform Dağılışında tahmin edilen parametre sayısı 0’dır. olduğundan Ho red edilemez. İlgili işletmedeki hafta içi günlerdeki işe gelmeyen işçi sayılarının dağılışı Üniform Dağılışına uygun olduğu % 5 hata payıyla söylenebilir.

Örnek: Meyve suyu üreticisi bir firma ürettiği meyve sularını her birinde 20 şişe bulunmak üzere kutular halinde poşetlemektedir. İşletmenin deposundan 100 kutu seçilerek kutuların her birindeki hatalı şişelenmiş olan meyve suları sayılarak kayıt edilmiştir. Aşağıdaki tabloda kutuların sayısı ve içerisindeki hatalı bulunan şişe sayıları verilmiştir. a) Toplam kaç şişe kontrol edilmiştir? b) Toplam kaç hatalı şişe bulunmuştur? c) Örnekteki hatalı şişelerin oranını nedir? d) Kutuların içerisindeki bulunan hatalı meyve sularının sayılarının Binom Dağılışına uygun olup olmadığını % 5 hata payıyla test ediniz.

Toplam 100 kutu kontrol edilmiştir Toplam 100 kutu kontrol edilmiştir. Her bir kutu içerisinde 20 şişe meyve suyu bulunduğuna göre toplam 2000 adet şişe kontrol edilmiştir. b) c) d) Ho: Kutularda bulunan hatalı şişelerin sayısı n=20 olan Binom Dağılışına uygundur. H1: Kutularda bulunan hatalı şişelerin sayısı n=20 olan Binom Dağılışına uygun değildir.

Beklenen Kutu Sayısı (Bi) Hatalı Şişe Sayısı 1 2 3 4 5 ve daha fazla Kutu Sayısı (Gi) 48 25 15 8 pi 0,3585 0,3774 0,1887 0,0596 0,0133 0,0025 Beklenen Kutu Sayısı (Bi) 35,85 37,74 18,87 5,96 1,33 0,25 (Ki-Kare) Parametrik Olmayan Testler’de herhangi bir hücrenin veya grubun beklenen değer 5’ten küçük ise kendisine en yakın olan hücre veya grup ile birleştirilir. Bu işleme herhangi bir hücre veya grup içerisinde 5’ten küçük bir beklenen değer ifadesi kalmayıncaya kadar devam edilir.

Beklenen Kutu Sayısı (Bi) Hatalı Şişe Sayısı 1 2 3 ve daha fazla Kutu Sayısı (Gi) 48 25 15 12 Beklenen Kutu Sayısı (Bi) 35,85 37,74 18,87 7,54 Binom Dağılışında parametre sayısı 2 (n,p) olmasına rağmen soruda tahmin edilen parametre sayısı 1 (p) ‘dir olduğundan Ho red edilir.. Kutularda bulunan meyve sularının içerisinde hatalı şişelenenlerinin sayısının n = 20 olan Binom Dağılışına uygun olmadığı % 5 hata payıyla söylenebilir.

Örnek: Bir havaalanında uçuşlar kalkış zamanına göre zamanında ve gecikmeli olarak iki şekilde sınıflandırılmıştır. Aşağıdaki tabloda 1 saatlik süre içerisindeki gecikmeli gerçekleşen uçuşların sayıları ifade edilmiştir. a) Bir saatlik süre içerisinde ortalama kaç adet gecikmeli uçuş yapılmaktadır ? b) Bir saatlik süre içerisindeki gerçekleşen gecikmeli uçuş sayılarının Poisson Dağılışına uygun olup olamadığını % 5 hata payıyla test ediniz?

a) b) Ho: Bir saatlik süre içerisindeki zamanında gerçekleşmeyen uçuşların sayısı Poisson Dağılışına uygundur. Ha: Bir saatlik süre içerisindeki zamanında gerçekleşmeyen uçuşların sayısı Poisson Dağılışına uygun değildir.

olduğundan Ho red edilemez. Poisson Dağılışında parametre sayısı 1 (l)’dir. olduğundan Ho red edilemez. Havaalanında 1 saatlik süre içerisinde gerçekleşen gecikmeli uçuş sayılarının Poisson Dağılımın uygun olduğu % 5 hata payıyla söylenebilir.

Normal Dağılışa Uyum Testi Örneği: Kimyasal bir madde üreten bir firma günlük satışlarının ( 1000 galon) normal dağılışa uygun olup olmadığını araştırmak istemektedir. Bu amaçla 200 gün boyunca satılan miktarlar kayıt edilerek aşağıdaki sınıflanmış veri seti elde edilmiştir. Buna göre % 5 hata payıyla satışların normal dağılışa uygun olup olmadığını test ediniz.

Satışlar (1000 galon) Satılan Gün Sayısı x < 34,0 34,0 ≤ x < 35,5 13 35,5 ≤ x < 37,0 20 37,0 ≤ x < 38,5 35 38,5 ≤ x < 40,0 43 40,0 ≤ x < 41,5 51 41,5 ≤ x < 43,0 27 43,0 ≤ x < 44,5 10 44,5 ≤ x <46,0 1 46,0 ≤ x Toplam 200

Uyumu araştırılacak dağılış olan normal dağılışın parametreleri ifade edilmediğinden verilen örnekten yola çıkılarak, örnek istatistikleri tahmin edilir. Her bir sınıfa ait olan olasılık değerleri sınıflanmış verilerin aralığına düşmesi olasılığına karşılık gelir. Anakütle dağılışının uygun olduğu varsayılan normal dağılışla ilişkin olasılık hesaplamaları standart normal dağılışa ( z ) dönüştürme yoluyla hesaplanır.

Hesaplanan bu olasılıklar toplam örnek hacmiyle çarpılarak beklenen değerler elde edilir. B1 = np1 = 0,0082 * 200 = 1,64 B6 = np6 = 0,2257 * 200 = 54 Ho: Satışlar normal dağılışa uygundur. H1: Satışlar normal dağılışa uygun değildir.

G1=13, B1= 7,18 Satışlar Gi pi Bi = npi Gi- Bi (Gi- Bi)2/Bi x < 34,0 0,0082 1,64 5,82 4,7176 34,0 ≤ x < 35,5 13 0,0227 5,54 35,5 ≤ x < 37,0 20 0,0792 15,84 4,16 1,0925 37,0 ≤ x < 38,5 35 0,1592 31,84 3,16 0,3136 38,5 ≤ x < 40,0 43 0,2257 45,14 -2,14 0,1015 40,0 ≤ x < 41,5 51 5,86 0,7607 41,5 ≤ x < 43,0 27 -4,84 0,7357 43,0 ≤ x < 44,5 10 -5,84 2,1531 44,5 ≤ x <46,0 1 0,0277 -6,18 5,3193 46,0 ≤ x G8=1, B8= 6,18

olduğundan Ho red edilir. v = k - 1- g = 8-1-2 =5 olduğundan Ho red edilir. Firmanın günlük satışlarının normal dağılışa uygun olmadığı % 5 hata payıyla söylenebilir.