7 AĞIRLIK VE GEOMETRİK MERKEZ

Parçacık Sisteminin Ağırlık Merkezi ve Kütle Merkezi Ağırlık Merkezi; Bir birlerine paralele kuvvetler sisteminden oluşan n adet parçacıktan (W1, W2, …, Wn) ibaret bir sistemin ağırlığı, uygulama yeri belirli tek bir (eşdeğer) bileşke ağırlıkla (WR) değiştirilebilir. Bu eşdeğer ağırlığın etki ettiği noktaya (G) ağırlık merkezi denir. Bileşke ağırlık = n parçacığın toplam ağırlığı olur. Bütün parçacıkların x, y, z eksenlerine göre momentlerinin toplamı, bu eksenlere göre bileşke ağırlığın momentine eşittir. Yani; Kütle Merkezi; Her bir parçacık için g yer çekimi ivmesi sabit ise W = mg bu denklem yukarıdaki eşitliklerde yerine yazılırsa kütle merkezi;

Bir Cismin Ağırlık, Kütle ve Geometrik Merkezleri Rijit bir cisim sonsuz sayıda parçacıktan oluştuğu varsayılır. Bu sonsuz parçacıklardan biri, dV hacminde ve dW ağırlığında sonsuz küçük bir diferansiyel eleman olarak gösterilebilir. Eğer bu diferansiyel elamanın koordinatları 𝑥 , 𝑦 , 𝑧 ile gösterilirse, bu cismin ağırlık merkezi; Kütle merkezi için;

Bir Alanın Geometrik Merkezi İçin; Bir cismin geometrik merkezini tanımlayan noktadır. Cismi meydana getiren malzeme düzgün veya homojense, yoğunluk veya özgül ağırlık tüm cisimde sabit olacaktır. Sonuç olarak elde edilen formüller, cismin ağırlığından bağımsız ve sadece cismin geometrisine bağlı olup geometrik merkezi ifade eder. Bir Hacmin Geometrik Merkezi İçin; Bir Alanın Geometrik Merkezi İçin; Bir Çizgisel Hattın Geometrik Merkezi İçin; İpucu: Konuşmacı notlarınızı buraya ekleyin.

Geometrik merkez belirlenirken yapılacak analizde : Yukarıdaki durumların hepsinde geçerli olmak üzere, C’nin konumu cismin içinde veya üzerinde olmak zorunda değildir. Bu nokta uzayda cismin dışında da olabilir Bazı şekillerin geometrik merkezi, simetri koşulları kullanılarak kısmen veya tamamen belirlenebilir Şeklin bir simetri ekseni varsa geometrik merkez bu eksen üzerinde yer alacaktır. Bir şeklin 2 veya 3 simetri ekseni olması durumunda, geometrik merkez bu eksenlerin kesişme noktasında yer alır. İpucu: Konuşmacı notlarınızı buraya ekleyin. Geometrik merkez belirlenirken yapılacak analizde : Uygun bir koordinat sistemi seçilir ve geometri üzerinden uygun bir diferansiyel eleman alınır. Çizgiler için bu dL elemanı bir diferansiyel çizgi parçası olarak gösterilir. Alanlar için dA elemanı genellikle sonlu uzunluğa ve sonlu genişliğe sahip bir dikdörtgendir. Hacimler için dV elemanı, sonlu uzunluğa, sonlu genişliğe ve sonlu yüksekliğe sahip bir hacimdir.

Sonlu elemanın konumu, şeklin sınırları içinde keyfi bir 𝑥 , 𝑦 , 𝑧 noktasında seçilir. Elemanın dL uzunluğu, dA alanı veya dV hacmi, şekil sınırlarını tanımlamak için kullanılan koordinatlar cinsinden ifade edilir. Yukarıda hesaplanan veriler (dL, dA, dV) uygun denklemlere yerleştirilir ve integrasyon işlemleri yapılır. İntegral işlemi, ancak integrali alınacak fonksiyon elemanın diferansiyel kalınlığı ile aynı değişken cinsinden ifade edilmelidir. İntegral sınırları, integrasyon yapıldığında tüm cismi ifade edecek şekilde uç noktalarından bulunur. Örnek 1: Aşağıda verilen parabolik şeklin geometrik merkezini belirleyiniz. İpucu: Konuşmacı notlarınızı buraya ekleyin.

Örnek 2: Şekilde görülen maviyle boyanmış alanın geometrik merkezini belirleyiniz. Çözüm 1 İpucu: Konuşmacı notlarınızı buraya ekleyin.

Çözüm 2 Örnek 3: Şekilde görülen maviyle boyanmış alanın geometrik merkezini belirleyiniz. İpucu: Konuşmacı notlarınızı buraya ekleyin.

Örnek 4: Şekilde gösterilen dairesel çubuğun geometrik merkezini belirleyiniz. Örnek 5: Şekilde gösterilen çeyrek dairenin geometrik merkezini belirleyiniz. İpucu: Konuşmacı notlarınızı buraya ekleyin.

Örnek 6: Şekilde gösterilen çelik plağın kalınlığı 0 Örnek 6: Şekilde gösterilen çelik plağın kalınlığı 0.3 m ve yoğunluğu 7850 kg/m3’tür. Geometrik merkezin konumunu belirleyiniz. Ayrıca pimdeki ve tekerlek mesnetteki tepkileri hesaplayınız. (x2,y2) 𝒙 , 𝒚 (x1,y1) İpucu: Konuşmacı notlarınızı buraya ekleyin.

𝒙 , 𝒚 Ax Ay W B Örnek 7: Şekilde gösterilen paraboloid ’in geometrik merkezinin y konumunu belirleyiniz. İpucu: Konuşmacı notlarınızı buraya ekleyin.

Örnek 8: Şekilde gösterilen silindirik kütlenin yoğunluğu z eksenine bağımlı olarak ( ) değişmektedir. kütle merkezinin konumunu belirleyiniz. Birleşik Cisimler Birleşik cisimler, dikdörtgen, üçgen, yarım daire, v.s. şeklinde birbirine bağlı basit şekiller takımından oluşur. Böyle bir cisim genellikle parçalara bölünür. Bu parçaların her birinin ağırlığı ve ağırlık merkezinin konumu bilinirse, tüm cismin ağırlık merkezini belirlemek için integral işlemine gerek kalmaz. Bu durumda; İpucu: Konuşmacı notlarınızı buraya ekleyin. Birleşik cismin geometrik merkezi Birleşik cismi oluşturan her bir parçanın geometrik merkezi Birleşik cismin toplam ağırlığını gösterir

Örnek 9: Uniform kesitli tel parçası şekilde gösterildiği gibi kıvrılmıştır. Bu telin ağırlık merkezinin konumunu belirleyiniz. İpucu: Konuşmacı notlarınızı buraya ekleyin.

Örnek 10: Uniform kesitli tel parçası şekilde gösterildiği gibi kıvrılmıştır. Bu telin ağırlık merkezinin konumunu belirleyiniz. İpucu: Konuşmacı notlarınızı buraya ekleyin.

Örnek 11: Çerçevenin 3 elemanının birim uzunluğunun ağırlığı 4 kN/m2 dir. Ağırlık merkezinin konumunu belirleyiniz. Mafsallardaki pimlerin boyutlarını ve elemanların kalınlığını ihmal ediniz. Ayrıca A ankastre mesnedindeki tepkileri hesaplayınız. 3 Parça L(m) (1.6, 7.043) 2 88.774 kN 1 Ax Ay MA İpucu: Konuşmacı notlarınızı buraya ekleyin.

Örnek 12: Şekilde gösterilen levhanın geometrik merkezinin konumunu belirleyiniz. İpucu: Konuşmacı notlarınızı buraya ekleyin.

Örnek 13: Şekilde gösterilen birleşik cismin kütle merkezini belirleyiniz. Küresel hacmin yoğunluğu rh= 4 Mg/m3 ve konik hacmin yoğunluğu rc= 8 Mg/m3 ‘dur. Birleşik cisim incelendiğinde z eksenine göre simetrik olduğu görülür. Bu durumda kütle merkezi bu eksen üzerinde olacaktır. Böyle bir durumda; İpucu: Konuşmacı notlarınızı buraya ekleyin.

Pappus ve Guldinus Teoremleri Bu teoremler, bir dönel objenin yüzey alanını ve hacmini bulmakta kullanılır. Dönel yüzey, bir eğrinin, eğriyle aynı düzlemde bulunan sabit bir eksen etrafında döndürülmesiyle elde edilir. Dönel hacim ise, bir düzlemsel alanın, bu alan ile aynı düzlem bulunan sabit bir eksen etrafında döndürülmesiyle elde edilir. Bu durumda teoremler; * Yüzey Alanı: Dönel yüzeyin alanı, yüzeyi oluşturan eğrinin uzunluğu ile eğrinin geometrik merkezinin aldığı yolun (radyan cinsinden θ) çarpımına eşittir. İpucu: Konuşmacı notlarınızı buraya ekleyin.

* Hacim: Dönel cismin hacmi, hacmi oluşturan alan ile alanın geometrik merkezinin aldığı yolun (radyan cinsinden θ) çarpımına eşittir. Birleşik Cisimler; Yukarıdaki iki teorem, parçalar takımının birleşiminden oluşan eğrilere ve alanlara da uygulanabilir. Bu halde oluşan yüzey alanı veya hacmi, her bir parça ile oluşan yüzey alanları veya hacimlerinin toplamına eşit olur. Aynı açı için; Örnek 14: Şekilde gösterilen torusun yüzey alanını ve hacmini belirleyiniz. İpucu: Konuşmacı notlarınızı buraya ekleyin.

Örnek 15: Şekilde gösterilen cismin yüzey alanını ve hacmini belirleyiniz. Bu cisim yoğunluğu 7830 kg/m3 olan çelikten yapılmış olsaydı kütlesi ne olurdu? İpucu: Konuşmacı notlarınızı buraya ekleyin.

ÖDEV: İntegrasyonla, taralı bölgenin alanını ve geometrik merkezinin x konumunu belirleyiniz. Sonra Pappus-Guldinis Teoremini kullanarak, alanın y ekseni etrafında döndürülmesiyle oluşturulan cismin hacmini belirleyiniz ? Cevap: İpucu: Konuşmacı notlarınızı buraya ekleyin.