Ölçme ve Değerlendirme ÖLÇME SONUÇLARI ÜZERİNDE YAPILAN TEMEL İSTATİSTİKSEL İŞLEMLER DAĞILIMLARI TANIMLAMAK İÇİN KULLANILAN ÖLÇÜLER Yrd.Doç.Dr. Ümit Çelen

Bölüm Hedefi Merkezi eğilim ölçülerini hesaplama, Bir dağılımın çubuk ve histogram grafiğini ve dağılım eğrisini çizme, Merkezi eğilim ölçülerine bakarak dağılımın şekli konusunda çıkarımlarda bulunma, Dağılımların değişkenlik ölçülerini hesaplama, Puanları Z ve T standart puanlarına çevirme, değişik puanları standart puanlar aracılığıyla karşılaştırma, Normal dağılımda belirli puanları alan bireylerin yerlerini belirleme.

Dağılım? Bir değişkene ait bir grup veri bir araya geldiğinde bir dağılım oluşturur. Örnek: Cinsiyet dağılımı, yaş dağılımı, puan dağılımı vb. 9 A sınıfı öğrencilerinin matematik dersi notlarının dağılımı: 86, 93, 41, 37, 63, 48, 25, 69, 70, 71, 83, 43, 55, 20, 41, 56, 76, 65, 55, 43 9 B sınıfı öğrencilerinin matematik dersi notlarının dağılımı: 46, 51, 63, 23, 45, 56, 76, 78, 67, 64, 72, 71, 73, 45, 92, 86, 53, 98, 82, 19

DAĞILIMLARI TANIMLAMAK İÇİN KULLANILAN ÖLÇÜLER Merkezi Ölçüler: Ortalamalar (aritmetik ortalama, geometrik ve harmonik ortalama) Ortanca (medyan) Tepe değeri (mod) 2. Dağılım (Yaygınlık) Ölçüleri: En Küçük ve En Büyük Değer Dağılım Aralığı (Ranj) Standart Sapma Varyans Varyasyon Katsayısı

Merkezi Ölçüler: Dağılımın orta noktasını gösterir. Aritmetik ortalama ( ) Öğrencilerin notları: 4, 2, 3, 5, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 4, 2, 4, 4, 5, 4, 5, 3, 5, 5

Öğrencilerin notları: 4, 2, 3, 5, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 4, 2, 4, 4, 5, 4, 5, 3, 5, 5

Ortanca (Medyan): Dağılımın tam ortasında yer alan değer. Hesaplamaya başlanmadan önce veriler büyüklük sırasına konulur. Öğrencilerin notları: 4, 2, 3, 5, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 4, 2, 4, 4, 5, 4, 5, 3, 5, 5 Öğrencilerin notları (Sıralı) 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5

Öğrencilerin notları (Sıralı) ‘nci değer 10.5’inci değer 10 ve 11. değerin aritmetik ortalaması Öğrencilerin notları (Sıralı) 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5 Not: n sayısı tek olsaydı, ortancanın olduğu değer tam sayı çıkardı.

Öğrencilerin notları (Sıralı) Tepe Değeri (Mod): Dağılımda en çok tekrar eden değer. Öğrencilerin notları (Sıralı) 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5 2 adet 4 adet 8 adet 6 adet Tepe Değeri (Mod)= 4

Tepe Değeri (Mod)= 4 HİSTOGRAM GRAFİĞİ

MERKEZİ ÖLÇÜLERİN KONUMLARI

MERKEZİ ÖLÇÜLERİN KONUMLARI

Orta noktaları aynı olan dağılımlar

2. Dağılım (Yaygınlık) Ölçüleri: En Küçük ve En Büyük Değer (Min-Max): Bir dağılımdaki en küçük ve en büyük değerler Öğrencilerin notları 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5 En küçük: 2 En büyük: 5 Dağılım Aralığı (Ranj): Dağılımda en büyük değer ile en küçük değer arasındaki farktır. Dağılımın değişken cinsinden kaç birimlik bir aralıkta yer aldığını gösterir. Ranj= En büyük – En küçük Ranj= 5 – 2 = 3

Standart Sapma (S): Standart sapma bir dağılımda ölçme sonuçlarının aritmetik ortalamaya göre yayılmasının bir ölçüsünü verir. =Kareler toplamı (Dağılımdaki her değerin karesi alınıp toplanacak) =Toplamın Karesi (Dağılımdaki tüm değerler toplanıp bu toplamın karesi alınacak)

Notlar: 2, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5 Kareler: 4, 9, 16, 16, 16, 16, 16, 25, 25, 25 Kareler Toplamı= 4+9+16+16+16+16+16+25+25+25=168 Toplamın Karesi= (2+3+4+4+4+4+4+5+5+5)2 =(40)2=1600

Eğer aritmetik ortalama tam sayı ise Notlar: 2, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5

Varyans (S2): Standart sapmanın karesidir. Varyasyon Katsayısı: Ortalamanın büyümesi standart sapmanın da büyümesine neden olacağından iki dağılımı sadece standart sapmalarına bakarak yaygınlık bakımından karşılaştırmak doğru olmaz. İki veya daha çok dağılım verilip yaygınlıklarını karşılaştırmamız istenirse; VK’sı büyük olan yaygındır.

HAM PUANLARIN STANDART PUANLARA DÖNÜŞTÜRÜLMESİ

HAM PUANLARIN STANDART PUANLARA DÖNÜŞTÜRÜLMESİ Farklı iki sınavdan alınmış ham puanları birbiriyle karşılaştırmak! Z ve T puanları Aritmetik ortalaması 40, standart sapması 6 olan bir testten 37 puan almış bir öğrencinin Z puanını hesaplayınız.

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3 -2 -1 0 1 2 3

T puanı da ortalaması 50, standart sapması 10 olan bir dağılımdır. Z dağılımı aritmetik ortalaması 0, standart sapması 1 olan bir dağılımdır. Z puanlarını bu negatif ve küçük değerlerden kurtarmak için T puanı türetilmiştir. T puanı da ortalaması 50, standart sapması 10 olan bir dağılımdır. T = 50 + 10 . Z şeklinde hesaplanır. Az önceki örnekteki öğrencinin T puanı; T= 50+ 10 x (-0.5) → T= 50 – 5 → T= 45 olarak hesaplanır.

S X Z T 30 10 40 55 5 50 60 8 70 1 73

2016 Mayıs

58. Öğrencilerin bu sınavdan aldıkları puanların ranjı kaçtır? 2009 - KPSS / EB-CÖ 10 soruluk bir sınava ait öğrenci yanıtları aşağıdaki tabloda verilmiştir. Her soruda doğru yanıta “1”, yanlış yanıta “0” puan verilmiştir. Yanıtlanmayan soru bulunmamaktadır. 58. Öğrencilerin bu sınavdan aldıkları puanların ranjı kaçtır? A) 3 B) 5 C) 6 D) 9 E) 10

Bölüm Özeti Bu derste bir öğretmenin ihtiyacı olacağı düşünülen temel istatistiksel bilgilere yer verilmiştir. Bu istatistiklerin bir kısmı elde edilen bir dağılımı tanımlamak için kullanılan istatistiklerdir. Aritmetik ortalama, tepe değeri ve ortanca dağılımın orta noktasını göstererek; en küçük ve en büyük değer, ranj, standart sapma, varyans ve varyasyon katsayısı ise yaygınlık (değişkenlik) göstererek bir dağılımı tanımlamaya yardımcı olur. Farklı sınavlardan alınan puanları kullanarak bireylerin başarılarını karşılaştırmak gerekli olduğunda ham puanlar yerine standart puanlar kullanılır. Z ve T puanları bu amaçla kullanılan iki standart puan türüdür.

Kaynakça Baykul, Y. (2000). Eğitimde ve Psikolojide Ölçme: Klasik Test Teorisi ve Uygulaması, Ankara: ÖSYM Yayınları. Crocker, L., Algina, J. (1986). Introduction Classical and Modern Test Theory. USA: CBS College Publishing Company. Cronbach, L.J. (1984). Essentials of Psychological Testing. New York: Harper & Row. Demirtaşlı, R.N. (2012). Eğitimde Ölçme ve Değerlendirme, Edge Akademi, Ankara. Ebel, R.L. (1965). Measuring Educational Achievement. New Jersey: Prentice-Hall, Inc. Remmers, H.H., Gage, N.L., Rummel, J.F. (1965). A Practical Introduction to Measurement and Evaluation (second edition). New York: Harper & Row, Publishers. Sax, G. (1997). Principles of Educational and Psychological Measurement and Evaluation (s.175-229). Turgut, M.F., Baykul, Y. (2010). Eğitimde ölçme ve değerlendirme, Pegem Akademi Yayıncılık, Ankara.