Mean Time Between Failure (MTBF) and Probability of Failure Relation Hatalar Arası Ortalama Zaman (HAOZ) ve Hata olasılığı Bağlantısı Ongun Yücesan

Özet - Hatalar Arası Ortalama Zaman (HAOZ) sistemlerin kullanım limitlerinde kullanıldığında, ne kadar kullanım ömürleri olduğunun belirlenmesinde kullanılan bir kavramdır. - HAOZ hedefi bazen arge’lerin kaçındığı bir kavramdır; Yapılacak işin özünde olmadığını, kısıtlı personel sayısı ile “bir ilk önce sistemi çalıştıralım da”, “O kadar kaliteli sisteme ne gerek var, “Başımıza İş Çıkaracaksınız” psikolojisi bu kaçınmada etken oluyor. -HAOZ istenen düzeye ayarlanabilmektedir. -Ürün Yönetimi, Müşteri İlişkileri bölümü ve ARGE Gereksinim analistleri tarafından ortak belirlenmesi çok faydalar sağlamaktadır. -ARGE personelini aslında “Mevcut Özellikler ile ilgili Tekrar Tekrar gelen hatalardan” korumaktadır. Başka bir “İşi” yapabilmesini sağlamaktadır. - Arge personeli, Araştırmacı konuya detayı ile vakıf olmakta, bazı değerli önceden farkedilemeyen detaylar gün yüzüne çıkmaktadır.

Özet -Müşteriden yeni gelen taleplerde, yeni ihale şartları vb. gibi durumlarda hazır güvenilir bir sistem üzerinde yeni özellik eklenmesi işleminde güvenilir bir kriter olmaktadır. -Bu değer, kullanım esnasında; elimize aldığımız bir sistemin o anda ki hata olasılığının tahmini için de kullanılabilir. HAOZ değerine ulaşmış bir sistemin %50 bozulma olasılığı vardır. Örn. Bir havacılık sisteminin, bir parçasının ne zaman değişeceği politikası için nesnel bir kriter oluşturur. -MIL-STD-499 - ISO/IEC 15288:2015 ve refere ettiği standardlar bir parçanın (MIL HDBK 189 - MIL HDBK 781 - MIL STD 785 – MIL STD 781 – Reliability and Maintainability (RAM) GUIDE - MIL-STD-1530 Aircraft Integrity, MIL-STD-1543 Reliability Requirements for Space Systems , MIL-STD-1783 Engine Structural Integrity Program, MIL-STD-2164 Env. Stress Screening… ) veya yazılımın HAOZ değerinin hesaplanması için gerçekçi, nesnel ve uygulanabilir yöntemler sunmaktadır.

Hatalar Arası Ortalama Zaman

Hatalar Arası Ortalama Zaman (HAOZ) Gözlem: a1, a2, a3, …,aN değerleri sürekli bir zaman değişkenin parçalarıdır. Bu gözlemi sınırlı veri toplanması amacı ile zaman bölümlerine ayırarak ifade etmemiz doğru olur. Aslında «örnekleme» yaparak, Kesikli bir değişkene geçiş yapıyoruz. Örn: Dakika, Saat, Gün HAOZ için genelde saat kullanılıyor.

HAOZ Zaman Örneklemesi a[i+1] = a[i] + ∆𝑡 a2 = a1 + ∆𝑡

Hatalar Arası Ortalama Zaman (𝑎1+𝑎3+𝑎4+𝑎5) 4 = Hatalar Arası Ortalama Zaman Histogramda bakalım: a4 a1 a5 a3 1 Tekrar Sayısı Zaman Kümesi 2

Daha Uzun Zaman Zarfında 1 Tekrar Sayısı Zaman Kümesi 2 a Ortalama 3 4 5

Bütün Hatalar arasında geçen zamanları bilmediğimiz için İstatistiki Eğri ile Hataları Modelliyebiliriz. a4 a1 a5 a3 1 Tekrar Sayısı Zaman Kümesi 2 a Ortalama 3 4 5

Nasıl Modelleyebiliriz Acaba? Hata olasılık yoğunluk fonksiyonu, Probability Mass Function (pdf) uydurmaya çalışalım. Bernoulli yani bir olayın x sayıda denemede «ilk kez» oluşmasının ihtimali. f(x) = p (1−𝑝) 𝑥−1 ancak p nedir? p ayrıca zamana bağlı. Sabit değil, bir fonksiyon. Biz p yani hata olasılığının zaman üzerinde dağılımını modellemek istiyoruz. Aslında bernouli formulü de zamana bağlı. Fakat independent binomial deneyler istiyor. Bu noktada binomial deneydeki «p» parametresi, sürekli ve zamana bağlı. Bizim deneylerimiz «Disjoint» yani: İki vidanın aynı sürede kırılması olasılığı infinite-small. İki sonucun aynı anda olduğu kesişim kümesi «Boş» küme. P[A U B] = P[A] + P[B]

Nasıl Modelleyebiliriz Acaba? Fakat bir önceki state’i ile bağıntılı. Bir vidanın üzerindeki çatlak giderek büyür, Memory giderek dolar. Biz «O an ve önceki anların» hata olasılığını da toplamak istiyoruz. Çünkü bir önceki zaman aralığındaki hata olasılığını parça eskidiği için şu anda beraberimizde taşıyoruz. Memory doluyor, vidaların çatlakları giderek büyüyor vb. «Counting Process» değil, bir olayın kaç kere olduğunu değil, zamanın bir anında olma ihtimalini araştırıyoruz. Fakat zamanda örnekleme yaptığımız dakikada deneyimiz aslında artık «independent» oluyor. Artık iki ayrı sistem aynı sürede kırılabiliyor, bu olasılık sıfıra gitmiyor.

Zaman = Parçanın Harcadığı Ömür Bütün Hatalar Arası Zamanları Bilsek yani Sonsuz Sayıda deney yapsak Modelimizi Tam Oluşturabilirdik. Onun için parametrelerini uyduracağımız bir «eğri» hayal ediyoruz. Poisson olmaz mı? Belki! Zaman = Parçanın Harcadığı Ömür Ortalama Hatalar Arası Zaman Anlık hata olasılığını hesapladığımız zaman Doğal Logaritma Tabanı

Gaussian Daha çok örn. 100 kere aynı uzunluktaki tahta parçasını keserken oluşan uzunluğun dağılımı. Yine de deneysel data toplama işlemi yolumuzu aydınlatacak. 6 𝜎 denilen şey buradaki «Varyans»ın yani 𝜎 𝑑𝑒ğ𝑒𝑟𝑖𝑛𝑖𝑛 10 −6 𝑏𝑖𝑟𝑖𝑚 olmasıdır. 1 𝜎 2𝜋 𝑓 𝑥 𝑥 = 1 𝜎 2𝜋 𝑒 −(𝑥−𝜇)/ 2𝜎 2 Where 𝜇=𝐸[𝑥] and σ 2 = Var(x) Sıklık Uzunluk 𝜇

Tutarlılık ve HAOZ Poisson biraz daha yayvan, Gaussian daha dar, dağılım bizim üretim tutarlılığımıza bağlı. Üretim süreci Ergodic bir süreç kabul edilebilir. Üretim her zaman aslına rücu edecektir. Makine kalibrasyonları bozulacak, uzman çalışan işten çıkarılacak, zamanla geri gelemeyen hatalar fabrikada, SW arge’sinde tehditkar bir güven hissi oluşturacaktır. HAOZ bize üretimimizi ifade edecek bir gözlem. HAOZ her koşulda hesaplanabilir. En kötü koşulda hesaplanan HAOZ en sağlıklısıdır.

Hatalar Arası Ortalama Zaman (HAOZ) HAOZ aslında bir «beklenen değer»dir. E[n] = a1 x a1_Hata_sayısı + a2xa2_hata_sayısı …. = 𝑎𝑖 𝑥 𝑎𝑖_𝐻𝑎𝑡𝑎_𝑠𝑎𝑦𝚤𝑠𝚤 = 𝑎 𝑂𝑟𝑡𝑎𝑙𝑎𝑚𝑎 a4 a1 a5 a3 1 Tekrar Sayısı Zaman Kümesi 2 a Ortalama 3 4 5

a4 yaşındaki bir parça için Hata ihtimali A4 yaşındaki bir parça henüz arızalanmamışsa: Hata İhtimali; a1, a2, a_Ortalama, a4 hata sayısı Hata sayısı a4 a1 a5 a3 1 Tekrar Sayısı Zaman Kümesi 2 a Ortalama 3 4 5

Dağılımını Bilirsek f(x) dağılımlı bir hata histogramımız varsa: Hata olasılığımız: 0 𝑎4 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 0 ∞ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 a4

HAOZ Ne işe yarar Bir parçanın hata eğrisini bildiğimiz zaman: O parçanın hata yapma olasılığını kabaca hesaplarız. O parçanın kullanılmasına izin vermek yada vermemek için bir kriterimiz olur. Yeni bir ürün, uçak, parça yapacağımız zaman bize dayanıklılık, arıza zamanı gibi istatistiksel hedefler ve kriterler verir. Bu hedefi tutturan parçanın ne kadar dayanıklı olduğunu tahmin edebiliriz. Mesela HAOZ 10 saat ise, 10. saate %50 hata yapma olasılığına yaklaşır. Yaptığımız testlerin nesnel bir rakam ile özeti olur. Arge faaliyeti için HAOZ hedefi doğru belirlendiğinde ve sağlandığında, müşteri kalite beklentisi karşılanması olasılığının daha yüksek olması sağlanır. Yazılım ve Donanım için hesaplanması gerekir. Elektrik, makine, kablo vs her şey için hesaplanabilir. Ürünün Kullanılacağı koşullarda, gerçekci ortamlarda test yapılmalıdır. Bknz. MIL-STD-499 Ancak HAOZ bir temsildir. Arıza olasılığı %30 kesin arıza olacak demek değilir. Arıza olasılığı %0.01 demekte arıza olmaz demek değildir.

Bütün Sistem için HAOZ nasıl olur?

Bir vidadan yola çıkalım Ortalama kuvvete ne kadar dayanıklı kaldığı pek ala bir ölçüt olabilir. Maximum kuvvet belki de bir kerede vidayı kıracaktır. 1 𝜎 2𝜋 𝑓 𝑥 𝑥 = 1 𝜎 2𝜋 𝑒 −(𝑥−𝜇)/ 2𝜎 2 Where 𝜇=𝐸[𝑥] and σ = Var(x) Sıklık Şiddet

Seri ve Paralel Sistemler Seri Sistem Alt sistemleri Independent kabul edelim. Sistemler birbirinden etkilense de, sistemlerin etkileri birbirine taşımasızlığı, bağımsızlığı, bir tasarım hedefi olmalı Parçaların yıpranma bağımlılığı yüksek kuvvetler için sınanmalıdır. Bütün alt sistemler başarılı olur ise sistem başarılı olur. P[W] = P[W1 W2 … WN] = P[W1]p[W2]…p[WN] W1 W2 WN

Paralel Sistem Bütün sistemler bozulursa ancak sistem bozulur P[ 𝑊 𝑐 ] = P[ 𝑊 𝑐 1 𝑊 𝑐 2 … 𝑊 𝑐 N] = P[ 𝑊 𝑐 1] P[ 𝑊 𝑐 2]… P[ 𝑊 𝑐 N] Çalışma olasılığı P[W] = 1 – P[ 𝑊 𝑐 ] W1 W2 WN

Bir helikopter için Her komponentin 6 vida ile tutturulduğunu Her vida için Hata olasılığının p olduğunu Her Sistem için ise hata olasılığını belirlediğimiz standart olan «p» değerine getirdiğimizi düşünelim. Peki neden bazıları için p/1000 değil. Hepsi maliyet aslında, olmaz mı? Olur. Ancak Maliyet. MOTOR TRANSMISYON PERVANE

Motor Altsistem Motor alt sistemini 6 vida ile sabitleyelim. v1 v2 Vidalar için hata olasılığı P[ 𝑊 𝑐 ] = 𝑝 𝑁 Sorunsuz çalışma olasılığı (1- 𝑝 𝑁 ) dir v6

Sistemi dolayısı ile 6 adet seri modül ile temsil edebiliriz Bu sistemin çalışma olasılığı P[W] = P[W_Motor]p[W_V1]P[W_trans]p[W_V2]P[W_Pervane]p[W_V3] P[ 𝑊 𝑐 ] = 1 – P[W] Oda P[ 𝑊 𝑐 ] = 1− (1− 𝑝 6 ) 3 (1−p) 3 MOTOR Vida1 Transmisyon Vida2 Pervane Vida3

Bazı örnek değerler P = 0.01 ise P[ 𝑊 𝑐 ] = 1− (1− 0.01 6 ) 3 (1−0.01) 3 =0.0297=%2.97 P = 0.001 ise P[ 𝑊 𝑐 ] =0.002997=%0.2997 P= 10 −4 ise P [ 𝑊 𝑐 ] = 0.00029997 = %0.029997 P = 10 −6 𝑖𝑠𝑒 P [ 𝑊 𝑐 ] = 0.00002999997 = %0.0002999997 Komponent’lerin hepsi eşit yaşlanıyor. Ancak bir komponentin etkisi de formulden hesaplanabilir. P = 10 −6 𝑖𝑠𝑒 bir alt sistem de 3 vida eskise ve bir vida p = 0.99 ihtimal ile bozulacak ise P [ 𝑊 𝑐 ] = 1− (1− 0.1 36 ) 2 (1− 0.1 6 ) 3 (1− 0.99 3 ×0.1 18 ) = %0.0002999997 significance çok değişmiyor. Modelde hatırlarsak ancak bütün vidalar bozulur ise bozukluk olur demiştik. Alt Sistem bozulsa diyelim .99 oranda bozuldu. P[ 𝑊 𝑐 ] = 1− (1− 0.01 6 ) 3 (1−0.01) 2 (1-0.99) = 1 – 0.0098 = 0.9902 arıza Diyelim %100 arıza olur.

Referanslar ve Kontak Kişiler MIL STD 499 (Atıf olarak listelenmiş Reliability Standartları, Sistem Mühendisliği Teknikleri, Donanım ve yazılım için pratik hesaplama teknikleri) İstatistik Dersleri, Queuing Theory, İstatistik ve Performans Modelleme Kitapları ve Ders notları Yates, Roy D. Probability and Stochastic Processes : a friendly introduction for electrical engineers / Roy D. Yates, David J. Goodman John Wiley&Co