AKIŞKANLAR MEKANİĞİ 3. BASINÇ VE AKIŞKAN STATİĞİ Yrd.Doç.Dr. Özlem ÖZDEN ÜZMEZ (Kasım 2015)

3-7 Yüzme ve Kararlılık Bir akışkan, içerisine bırakılan cisme yukarı doğru bir kuvvet uygular. Cismi kaldırmaya eğilimli bu kuvvete kaldırma kuvveti denir ve FK ile gösterilir. MEK315-Akışkanlar Mekaniği

3-7 Yüzme ve Kararlılık 𝐹 ü𝑠𝑡 = 𝜌 𝑎 𝑔𝑠𝐴 Serbest yüzeye paralel olarak bir sıvı içerisine daldırılmış h kalınlığındaki düz plaka; 𝐹 ü𝑠𝑡 = 𝜌 𝑎 𝑔𝑠𝐴 𝐹 𝑎𝑙𝑡 = 𝜌 𝑎 𝑔 𝑠+ℎ 𝐴 Plaka Hacmi=V 𝑲𝒂𝒍𝒅𝚤𝒓𝒎𝒂 𝒌𝒖𝒗𝒗𝒆𝒕𝒊= 𝐹 𝐾 = 𝐹 𝑎𝑙𝑡 − 𝐹 ü𝑠𝑡 = 𝜌 𝑎 𝑔 𝑠+ℎ 𝐴− 𝜌 𝑎 𝑔𝑠𝐴= 𝜌 𝑎 𝑔ℎ𝐴= 𝝆 𝒂 𝒈𝑽 MEK315-Akışkanlar Mekaniği

3-7 Yüzme ve Kararlılık 𝜌 𝑎 𝑔𝑉 terimi, hacmi plakanın hacmine eşit olan sıvının ağırlığıdır. Buna göre; plaka üzerine etki eden kaldırma kuvveti, plaka tarafından yeri değiştirilen sıvının ağırlığına eşittir. Kaldırma kuvveti, cismin sıvının serbest yüzeyinden olan mesafesinden bağımsızdır. Kaldırma kuvveti eşitliği, şekline bakılmaksızın herhangi bir geometri için de geçerlidir. 𝑭 𝑲 =𝑾 MEK315-Akışkanlar Mekaniği

3-7 Yüzme ve Kararlılık ARCHIMEDES İLKESİ: Bir akışkan içerisinde daldırılan cisim üzerine etki eden kaldırma kuvveti, cisim tarafından yeri değiştirilen akışkanın ağırlığına eşittir ve bu kuvvet, yer değiştiren hacmin (cismin) kütle merkezi boyunca yukarıya doğru etkir. !!! Yüzen cisimler için; cismin tümünün ağırlığı, batan kısmının hacmi kadar akışkan ağırlığına eşit olan kaldırma kuvvetine eşit olmalıdır. 𝑏𝑎𝑡𝑎𝑛 𝑘𝚤𝑠𝚤𝑚𝑙𝑎 𝑒ş𝑖𝑡 ℎ𝑎𝑐𝑚𝑒 𝑠𝑎ℎ𝑖𝑝 𝑠𝚤𝑣𝚤 𝑎ğ𝚤𝑟𝑙𝚤ğ𝚤 𝑐𝑖𝑠𝑚𝑖𝑛 𝑡𝑜𝑝𝑙𝑎𝑚 𝑎ğ𝚤𝑟𝑙𝚤ğ𝚤 𝐹 𝐾 =𝑊 𝜌 𝑎 𝑔𝑉𝑏𝑎𝑡𝑎𝑛 = 𝜌 𝑜𝑟𝑡.𝑐𝑖𝑠𝑖𝑚 𝑔𝑉𝑡𝑜𝑝𝑙𝑎𝑚 𝑽𝒃𝒂𝒕𝒂𝒏/𝑽𝒕𝒐𝒑𝒍𝒂𝒎= 𝝆 𝒐𝒓𝒕.𝒄𝒊𝒔𝒊𝒎 / 𝝆 𝒂 MEK315-Akışkanlar Mekaniği

3-7 Yüzme ve Kararlılık Bir akışkan içerisine daldırılan cisim için şunlar söylenebilir: Eğer cismin yoğunluğu, içerisine daldırıldığı akışkanın yoğunluğuna eşitse cisim bırakıldığı noktada hareketsiz kalır. Cismin yoğunluğu akışkanın yoğunluğundan büyükse, cisim batar. Cismin yoğunluğu, akışkanın yoğunluğundan küçükse bu durumda cisim akışkan yüzeyine çıkar ve yüzer. MEK315-Akışkanlar Mekaniği

Örnek 3-10 Hidrometre Sıvı içerisinde dik konumda kısmen batmış halde yüzen ve sıvının bağıl yoğunluğunu ölçmede kullanılan cihazlara hidrometre adı verilir. Hidrometrenin üst kısmı, sıvı yüzeyinin üzerinde kalır ve üzerindeki taksimat çizgileri bağıl yoğunluğun doğrudan okunmasını sağlar. Hidrometre saf su içerisindeyken, su-hava arayüzünde tam olarak 1.0’i gösterecek şekilde kalibre edilir. MEK315-Akışkanlar Mekaniği

Örnek 3-10 Hidrometre Bir sıvının bağıl yoğunluğunu, saf suya karşılık gelen işaretten itibaren ∆z mesafesinin fonksiyonu olarak veren bir bağıntı elde ediniz. 1 cm çapında ve 20 cm boyunda olan bir hidrometrenin saf su içerisinde yarısı batmış olarak yüzmesi için (10 cm çizgisinde) içerisine konulması gereken kurşun kütlesini belirleyiniz. MEK315-Akışkanlar Mekaniği

Deniz Suyuna Daldırılan Bir Cismin Hafiflemesi Örnek 3-11 Deniz Suyuna Daldırılan Bir Cismin Hafiflemesi MEK315-Akışkanlar Mekaniği

Dalmış ve Yüzen Cisimlerin Kararlılığı Kararlılık ve kararsızlık kavramları: Kararlıdır, çünkü herhangi bir küçük bozucu etki topu başlangıçtaki konumuna döndüren geri çağırma kuvvetini doğurur. Nötr kararlıdır, çünkü; top sağa veya sola hareket ettirilirse, yeni konumunda kıpırdamadan kalır. Topun ne başlangıçtaki konumuna geri dönmeye, ne de daha fazla hareket etmeye eğilimi vardır. Kararsızdır, çünkü; herhangi bir bozucu etki topun aşağı düşmesine neden olur ve top eski konumuna dönmez, tersine ondan uzaklaşır. MEK315-Akışkanlar Mekaniği

Dalmış Bir Cismin Dönel Kararlılığı: G: cismin ağırlık merkezi K: kaldırma merkezi (FK’nın etki yeri) MEK315-Akışkanlar Mekaniği

Dalmış Bir Cismin Dönel Kararlılığı: Kararlı ise; dönel bir bozucu etki sonrasında cisim eski konumuna geri döner. Nötr kararlı ise; devrilmeye veya düzelmeye karşı eğilim söz konusu değildir. Yeni konumunda sabit kalır. Kararsız ise; Herhangi bir bozucu etki cismin baş aşağı dönmesine neden olur. MEK315-Akışkanlar Mekaniği

Ağırlık merkezinin kaldırma merkezi ile düşey olarak aynı hizada olmadığı durum: Cisim durgun halde duramaz Bozucu etki olmasa bile kararlı olduğu duruma doğru dönme hareketi yapar Bunun için, geri çağırma momenti saat ibresinin tersi yönündedir ve G noktası ile K noktasını aynı hizaya getirmek için cismin dönmesine neden olur. MEK315-Akışkanlar Mekaniği

Yüzen Bir Cismin Dönel Kararlılığı: FK G W Ağırlık merkezi G, kaldırma merkezi K’nın altında ise cisim kararlıdır (a). G, K’nın üzerinde olduğunda da yüzen cisim kararlı olabilir (b). Bunun nedeni, dönel bir bozucu etki sırasında cismin G ağırlık merkezi değişmeden kalırken, yer değiştiren sıvı hacminin kütle merkezinin bir K’ noktasına kaymasıdır. MEK315-Akışkanlar Mekaniği

Yüzen Bir Cismin Dönel Kararlılığı: FK G W Eğer K’ noktası yeterince uzaktaysa, bu iki kuvvet bir geri çağırıcı momenti meydana getirir ve cismi eski konumuna döndürür. Yüzen cisimler için kararlılığın bir ölçütü; G ağırlık merkezi ve öte-merkez M arasındaki mesafe olan öte-merkez yüksekliği GM’dir. MEK315-Akışkanlar Mekaniği

Yüzen Bir Cismin Dönel Kararlılığı: G K W FK Öte-merkez noktası M, dönme öncesi ve dönme sonrası cisme etkiyen kaldırma kuvvetlerinin etki çizgilerinin kesişim noktasıdır. Yüzen bir cisim için M noktası G noktasının üzerindeyse ve böylece GM pozitifse, bu cisim kararlıdır (b). Öte-merkez yükseklği olan GM’nin uzunluğu, kararlılığın bir ölçüsüdür ve ne kadar büyükse yüzen cisim de o kadar kararlı olur. Eğer M noktası G noktasının altında kalıyorsa, GM negatifse, cisim kararsızdır (c). Bu durumda, eğik haldeki cisme etkiyen kaldırma ve ağırlık kuvvetleri, geri çağırıcı moment yerine devirici moment oluşturur ve bu da cismin alabora olmasına neden olur. MEK315-Akışkanlar Mekaniği

Doğrusal Yörünge Üzerinde Sabit İvmeli Hareket Bir sıvıyla kısmen doldurulan bir tank, doğrusal bir yörünge üzerinde sabit ivme ile hareket etmektedir. Doğrusal bir yörünge üzerindeki hareketi xz-düzleminde (hem yatay (sağ-sol), hem de düşey (yukarı-aşağı)yönde) inceleyeceğiz P=P(x, z)=?: İvmelenen akışkanlar için; 𝜕𝑃 𝜕𝑧 =−𝜌 𝑔+ 𝑎 𝑧 𝜕𝑃 𝜕𝑥 =−𝜌 𝑎 𝑥 𝑑𝑃 𝑥,𝑧 = 𝜕𝑃 𝜕𝑥 𝑑𝑥+ 𝜕𝑃 𝜕𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝑃=−𝜌 𝑎 𝑥 𝑑𝑥−𝜌 𝑔+ 𝑎 𝑧 𝑑𝑧 MEK315-Akışkanlar Mekaniği

Doğrusal hareket ∆𝑃=−𝜌 𝑎 𝑥 ∆𝑥−𝜌 𝑔+ 𝑎 𝑧 ∆𝑧 Sonlu büyüklükler cinsinden iki nokta arasındaki basınç farkı: veya; Orijin (z= 0 ve x = 0) noktasındaki basınç P0 alınırsa, herhangi bir noktadaki basınç; (Basınç dağılımı) ∆𝑃=−𝜌 𝑎 𝑥 ∆𝑥−𝜌 𝑔+ 𝑎 𝑧 ∆𝑧 𝑃 2 − 𝑃 1 =−𝜌 𝑎 𝑥 𝑥 2 − 𝑥 1 −−𝜌 𝑔+ 𝑎 𝑧 𝑧 2 − 𝑧 1 𝑷= 𝑷 𝟎 −𝝆 𝒂 𝒙 𝒙−𝝆 𝒈+ 𝒂 𝒛 𝒛 MEK315-Akışkanlar Mekaniği

Yüzeyin Eğiminin Belirlenmesi ∆ 𝒛 𝒔 = 𝒛 𝒔𝟐 − 𝒛 𝒔𝟏 =− 𝒂 𝒙 𝒈+ 𝒂 𝒛 𝒙 𝟐 − 𝒙 𝟏 Yüzeydeki düşey yükselme: 1 ve 2 noktalarının her ikisi de serbest yüzeyde seçilirse dP = 0 olacaktır. Buradan, Bu tür hareketlerde de sıvı kütlesinin korunduğu unutulmamalıdır. Örnek 3.12 𝑑𝑃=−𝜌 𝑎 𝑥 𝑑𝑥−𝜌 𝑔+ 𝑎 𝑧 𝑑𝑧=0 𝑑 𝑧 𝑖𝑧𝑜𝑏𝑎𝑟 𝑑𝑥 =− 𝒂 𝒙 𝒈+ 𝒂 𝒛 =−𝒕𝒂𝒏𝜽=𝑠𝑎𝑏𝑖𝑡 izobar MEK315-Akışkanlar Mekaniği

Silindirik Kapta Dönme Suyla dolu bir bardağın ekseni etrafında döndürülmesi sonucu, merkezkaç kuvvet etkisi ile akışkanın dışa doğru savrulduğunu ve sıvı serbest yüzeyinin içbükey bir şekil aldığını biliyoruz. MEK315-Akışkanlar Mekaniği

Kabın şekli silindiriktir. Şekildeki kap, kendi ekseni etrafında w açısal hızıyla döndürülmektedir. Kabın şekli silindiriktir. z-ekseni, kap tabanından serbest yüzeye doğru kabın orta çizgisi boyunca alınır. Dönme ekseninden r mesafede bulunan ve w açısal hızıyla dönen akışkan parçacığının ivmesi rw2 olup radyal olarak dönme eksenine doğru (negatif r yönü) yönlenmiştir. ar=-rw2 z-ekseni doğrultusunda hareket olmadığından az=0’dır. 𝑎 𝑟 =−𝑟 𝜔 2 , 𝑎 𝑧 =0→𝑃=𝑃 𝑟,𝑧 MEK315-Akışkanlar Mekaniği

Yüzeyin Şekli 𝒛 𝒔 = 𝝎 𝟐 𝟐𝒈 𝒓 𝟐 + 𝒉 𝒄 𝒛 𝒔 = 𝝎 𝟐 𝟐𝒈 𝒓 𝟐 + 𝒉 𝒄 Zs, r uzaklıkta serbest yüzeyin kap tabanından uzaklığı Hc, serbest yüzeyin kap tabanından dönme ekseni boyunca olan mesafesi 𝒛 𝒔 =𝒉𝒐 − 𝝎 𝟐 𝟒𝒈 (𝑹𝟐−𝟐𝒓 𝟐 ) MEK315-Akışkanlar Mekaniği

r = R olduğunda, Δz = Δzmaks (maksimum yükseklik farkı) 𝜟𝒛 𝒔,𝒎𝒂𝒌𝒔 =𝒛𝒔 𝑹 −𝒔𝒛 𝟎 = 𝝎 𝟐 𝟐𝒈 𝑹𝟐 Akışkan içerisinde herhangi bir noktadaki basınç; 𝑷=𝑷𝟎+ 𝝆𝝎 𝟐 𝟐 𝒓𝟐-ρgz P0= orijin noktasındaki basınç (r=0 ve z=0) ÖRNEK 3-13 MEK315-Akışkanlar Mekaniği