DENK KUVVET SİSTEMLERİ 4 DENK KUVVET SİSTEMLERİ

C vektörünün büyüklüğü; C = AB sinθ (0° ≤ θ ≤ 180°) Bu bölümde; a) Moment kavramının tanımı, bir kuvvetin bir noktaya ve eksene göre momentinin nasıl belirleneceği, b) Rijit bir cisim üzerine etki eden kuvvetlerin etkisinden ve verilen bir kuvvet sisteminin daha basit denk bir sistem ile nasıl değiştirileceğinden bahsedilecektir.t İKİ VEKTÖRÜN VEKTÖR ÇARPIMI Bir kuvvetin bir noktaya göre momenti kavramı vektör çarpımı uygulamalarıyla daha iyi anlaşılabilir. Bu yüzden burada öncelikle vektörel çarpım konusuna değinilecektir. A ve B vektörlerinin vektör çarpımı aşağıdaki şartları sağlayan C vektörü olarak tanımlanır: C vektörünün etki çizgisi A ve B vektörlerinin yer aldığı düzleme diktir ve doğrultusu sağ el kuralından bulunur. C vektörünün büyüklüğü; C = AB sinθ (0° ≤ θ ≤ 180°)

Vektör çarpımlarının değişme özelliği yoktur. Vektör çarpımlarının dağılma özelliği vardır. Vektör çarpımlarının birleşme özelliği yoktur. KARTEZYEN VEKTÖRLERİN VEKTÖR ÇARPIMI

vektörel çarpımı; Bir Kuvvetin Bir Noktaya Göre Momenti – Skaler Gösterim Bir kuvvetin bir noktaya veya bir eksene göre momenti, kuvvetin bir cismi bu nokta veya eksen etrafında döndürme eğiliminin bir ölçüsüdür. İpucu: Konuşmacı notlarınızı buraya ekleyin. Eğer kuvvet düzlem cismi saat yönünün tersine döndürmeye eğilimli ise moment vektörünün yönü düzlem dışına doğrudur ve pozitif büyüklüktedir. Eğer kuvvet düzlem cismi saat yönünde döndürmeye eğilimli ise moment vektörünün yönü düzlem içine doğrudur ve negatif büyüklüktedir.

Aynı noktadan geçen bir çok kuvvetin bileşkesinin belirli bir O noktasına göre momenti; farklı kuvvetlerin aynı O noktasına göre olan momentlerinin toplamına eşittir.

Bir Kuvvetin Bir Noktaya Göre Momenti – Vektörel Gösterim Örnek 1: Şekilde gösterilen çubuk üzerine dört noktadan kuvvete maruzdur. Bu kuvvetlerin O noktasında oluşturacağı bileşke momenti bulunuz. Bir Kuvvetin Bir Noktaya Göre Momenti – Vektörel Gösterim F kuvveti, büyüklüğünü ve doğrultusunu tarif eden bir vektör ile temsil edilebilir. Ancak bir kuvvetin rijit cisim üzerindeki etkisi uygulanma noktasına da bağlıdır. F’nin O noktasına göre momenti, İpucu: Konuşmacı notlarınızı buraya ekleyin. Momentin yönü sağ el kuralı ile belirlenebilir. MO ‘nun doğrultu ve yönü, sağ el kuralıyla belirlenir. Buna göre r’yi kesikli çizgili konuma uzatır ve sağ el parmaklarını r’den F’ye doğru kıvırırsak, r başparmak yukarıya ya da r ve F’ yi içeren düzleme dik yönlenir. Büyüklüğü ise,

Kuvvetin Taşınabilirliği F kayan vektör özelliğine sahiptir. Yani etki çizgisi üzerinde herhangi bir noktaya etkiyebilir ve O noktasına göre aynı momenti üretir. Bir Kuvvetin Momentinin Dik Bileşenleri

Kuvvetler Sisteminin Bileşke Momenti

Örnek 1: Şekilde gösterilen ağaç A noktasından bir halatla traktöre bağlanmıştır. Traktörün halatta oluşturduğu kuvvetin şiddeti 2 kN olduğuna göre, uygulanan kuvvetin O noktasına göre oluşturacağı momenti Kartezyen vektör olarak belirleyiniz. A(0, 0, 12) B(4, 12, 0)

Örnek 2: Şekilde gösterilen çubuk üzerine iki adet kuvvet etki etmektedir. Bu kuvvetlerin O noktasına göre oluşturacağı moment vektörünü ve doğrultusunu belirleyiniz.

Momentler İlkesi (Varignon Teoremi) Bir kuvvetin bir noktaya göre momenti, bu kuvvetin bileşenlerinin o noktaya göre momentlerinin toplamına eşittir.

Örnek 3: F kuvveti yandaki şekilde gösterilen desteğin köşesinde etki etmektedir. Bu kuvvetin O noktasına göre oluşturacağı momenti belirleyiniz. Skaler Çözüm: Vektörel Çözüm:

Bir Kuvvetin Belirli Bir Eksene Göre Momenti: Bir kuvvetin bir noktaya göre momenti hesaplanırken, moment ve moment ekseni, kuvvet ve moment kolunu içeren düzleme daima diktir. Bazı problemlerde bu momentin söz konusu noktadan geçen belirli bir eksen üzerindeki bileşenini bulmak önemlidir. Skaler Analiz Vektörel Analiz

Örnek 4: F kuvveti yandaki şekilde gösterilen desteğin A noktasına etki etmektedir. Bu kuvvetin x ve OB eksenlerine göre oluşturacağı momenti belirleyiniz. Örnek 5: F kuvvetinin OA eksenine göre oluşturacağı momenti belirleyiniz.

Kuvvet Çiftinin Momenti: Kuvvet çifti, aralarında dik uzaklık d olan, aynı büyüklükte ve zıt yöndeki paralel iki kuvvet olarak tanımlanır. Bileşke kuvvet sıfırdır. Bu durumda kuvvet çiftinin oluşturacağı etki belirli bir yönde dönme veya dönme eğilimi üretmesidir. Kuvvet çifti ile üretilen momente kuvvet çiftinin momenti denir. Kuvvet çifti ile üretilen momente kuvvet çiftinin momenti denir. Bu Moment uzaydaki herhangi bir keyfi O noktasına göre belirlenen, iki kuvvetin momentlerinin toplamına denktir. Bileşke Kuvvet Çifti Momenti: Kuvvet çifti momentleri serbest vektörler olduğundan cisim üzerine herhangi ibr noktaya uygulanabilir ve vektörel olarak toplanabilirler

Örnek 6: Kiriş üzerine iki kuvvet çifti etkimektedir Örnek 6: Kiriş üzerine iki kuvvet çifti etkimektedir. F’nin büyüklüğünü, bileşke kuvvet çifti momenti saatin tersi yönde ve 450 N.m olacak şekilde belirleyiniz. Bileşke kuvvet çifti momenti kiriş üzerinde nereye etkir? Bu bileşke kuvvet çifti momenti serbest vektördür. O kirişin herhangi bir noktasına etki edebilir. Örnek 7: Şekilde görülen beton bloklara etki eden kuvvet çiftlerinin oluşturacağı momenti belirleyiniz.

Örnek 8: Boru üzerine etkiyen kuvvet çiftinin momentinin büyüklüğü 400 N.m olduğuna göre, her bir anahtara uygulanan düşey kuvvetin F büyüklüğünü belirleyiniz. Örnek 9: Yandaki şekilde görülen boru üzerine etkiyen iki kuvvet çiftini, bileşke kuvvet çifti momenti ile değiştiriniz. D(0, -0.225, 0.475) E(0, 0, 0.175) C(0, 0.225, 0.475) D(0, -0.225, 0.475)

Eşdeğer Kuvvet Sistemleri: Bir kuvvet bir cismi hem ötelemeye hem de döndürmeye çalıştığından, kuvvet cisim üzerinde bir noktadan başka bir noktaya taşındığında, bu iki dış etkinin aynı kalması gereklidir. O noktası Kuvvetin Etki Çizgisi Üzerinde ise; O noktası Kuvvetin Etki Çizgisi Üzerinde değil ise;

Kuvvet ve Kuvvet Çifti Sisteminin Bileşkesi Örnek 10: Yandaki şekilde görülen kiriş üzerine etkiyen kuvvet sistemini, O noktasında eşdeğer kuvvet ve moment çiftine değiştirin.

Örnek 11: Aşağıda verilen yapı elemanı üzerinde şekilde görüldüğü gibi M momentine ve F1, F2 kuvvetlerine maruzdur. Bu sistemi, O tabanından etkiyen bir eşdeğer kuvvet ve kuvvet çifti momenti ile değiştiriniz. C(0, 0, 1) ; B(-0.15, 0.1, 1)

Örnek 12: Makara üzerine geçen kayış, her biri 40 N büyüklüğünde olan F1 ve F2 kuvvetlerine maruzdur. F1 kuvveti z ekseni doğrultusunda negatif yönde etkimektedir. Bu kuvvetleri A’daki bir eşdeğer kuvvet ve kuvvet çifti momentiyle değiştiriniz. Sonucu Kartezyen vektör şeklinde ifade ediniz. =45o rAC C rAB B A(0.3, 0, 0) B(0, 0.08, 0) C(0, -0.08.sin45, 0.08.cos45)

Kuvvet ve Kuvvet Çifti İçin Ek İndirgeme Cisim üzerindeki bütün kuvvet ve kuvvet çiftlerini, bizden istenen, bir O noktasına indirgenir. Böylece O noktasında tek bir bileşke kuvvet FR = ∑F ve tek bir bileşke kuvvet çifti MR = ∑ MO elde edilir. Daha sonra O noktasındaki bileşke kuvvet ve kuvvet çifti, aralarında olan d = MRo/Fr bağıntısıyla bir P noktasına tek bir kuvvet olarak indirgenir. Bir Noktadan Geçen Kuvvet Sistemleri Düzlemsel Kuvvet Sistemleri

Paralel Kuvvet Sistemleri

Kuvvet ve Kuvvet Çifti Sistemlerinin Kuvvet Vidasına İndirgenmesi: Genel halde cisme etkiyen kuvvet ve kuvvet çifti momenti sistemi, O noktasında birbirine dik olmayan tek bir FR bileşke kuvvete ve MRo kuvvet çifti momentine indirgenir. MRo moment vektörü; Fr nin etki çizgisine dik M┴ ve paralel M║ iki bileşene ayrılabilir. MRo Kuvvet çiftinin dik bileşeni M┴ daha önceden gösterilen prensiplere göre P noktasına taşınarak elemine edilir. Diğer paralel bileşen M║, şiddeti ve doğrultusu değişmediği sürece, Fr nin etki çizgisine kaydırılabilir. Böylece yukarıdaki şekilden de görülebileceği gibi; O noktasına indirgenmiş bir kuvvet sistemi, bir P noktasında aynı doğrultuya sahip bir bileşke kuvvet ve bir kuvvet çiftiyle gösterilebiliyorsa bu tür indirgenmiş sistemlere vidaya indirgeme denir.

Örnek 13: Büyük bir tankeri iskeleye yanaştırmak için dört römorkör kullanılmaktadır. Her biri gösterilen yönde 5 kN ’luk bir kuvvet uygulamaktadır. a) Baş direği O noktasında eşdeğer kuvvet ve moment çiftine değiştirin, b) bu dört römorkörün oluşturduğu etkinin aynısını oluşturacak daha güçlü tek bir römorkörün omurganın hangi noktasından itmesi gerektiğini bulunuz.

Basit Yayılı Yüklerin İndirgenmesi: Birçok durumda cismin çok büyük bir yüzey alanı, rüzgarın, akışkanların neden olduğu veya sadece cismin yüzey aracılığıyla taşınan malzeme ağırlığı gibi yayılı yüklere maruz kalır. Bileşke Kuvvetin Büyüklüğü

Bileşke Kuvvetin Konumu: Bileşke kuvvetin konumunu belirlemek için O noktasına göre moment dengesi yazılır. MR = ∑MO Örnek 14: Şekilde görülen kiriş üzerine etki eden yayılı yükü, tekil bileşke kuvvetin şiddetini ve konumunu bulunuz.

Örnek 15: Yükü, O noktasına etki eden eşdeğer kuvvet ve kuvvet çifti momenti ile değiştiriniz.

Örnek 15: Şekilde görülen kolon tepesinde 30 000 N bir kuvvet uygulayan döşemeyi tutmaktadır. Kolon boyunca toprak basıncının etkisi şekilde görüldüğü gibi yayılıdır. Bu yükü eşdeğer bir bileşke kuvvet ile değiştirin ve kuvvetin kolon boyunca A’dan itibaren hangi noktaya etkidiğini belirleyiniz. 2400 N 1800 N 