İSTATİSTİK II Hipotez Testleri 1

Hipotez Testleri 1 Hipotez Testlerinin Esasları Ortalama ile ilgili bir iddianın testi: Büyük örnekler Ortalama ile ilgili bir iddianın testi: Küçük örnekler Bir oran ile ilgili bir iddianın testi

Tanım Hipotez İstatistikte hipotez, bir anakütlenin bir özelliği hakkındaki bir iddia yada bir ifadedir. page 366 of text Various examples are provided below definition box

 = 98.6 olarak varsayıldığında Örnek Ortalamalarının Örnekleme Dağılışı Örnek verisi: z = - 6.64 x = 98.20 Olası Örnek Ortalamaları veya z = - 1.96 x = 98.48 veya z = 1.96 x = 98.72 µx = 98.6

Bir Hipotez Testinin Bileşenleri page 369 of text

Sıfır Hipotezi: H0 Bir anakütle parametresinin değeri hakkındaki bir ifadedir. Normal durumu ifade eder. =, , veya  ifadelerini içerir. Test sonucu sıfır hipotezi için kararlar: H0 ret veya H0 reddedilemez şeklindedir. Give examples of different wording for  and Š, such as ‘at least’, ‘at most’, ‘no more than’, etc.

Alternatif Hipotez: H1 H0 yanlış ise, doğrudur. , <, > içerir. Sıfır hipotezinin ‘karşıtıdır’. Eğer bir çalışmanın sonunda fikrinizi test etmek istiyorsanız, bu iddiayı alternatif hipotez ile ifade etmelisiniz. Give examples of different ways to word °,< and >, such as ‘is different from’, ‘fewer than’, ‘more than’, etc.

Test İstatistiği z = x - µx  Sıfır hipotezinin reddi hakkında karar vermek için kullanılan, örnek verilerinden hesaplanan bir değerdir. Büyük örnekler için, anakütle ortalamasının testinde kullanılan test istatistiği, page 371-372 of text Example on page 372 of text x - µx z =  n

Ret Bölgesi (Kritik Bölge) Test istatistiğinin, sıfır hipotezinin reddine yol açacak tüm değerlerin seti. Ret bölgeleri

Önem Seviyesi  ile gösterilir. Sıfır hipotezi gerçekte doğru iken, test istatistiğinin ret bölgesine düşmesi olasılığıdır. Genellikle 0.05, 0.01,   veya 0.10 seçilir. This is the same  introduced in Section 6-2, where we defined the degree of confidence for a confidence interval to be the probability 1 - 

Ret bölgesi ile kabul bölgesini ayıran değer veya değerler. Kritik Değer Ret bölgesi ile kabul bölgesini ayıran değer veya değerler. H0 Ret H0 Reddedilemez The critical value separates the curve into areas where one would reject the null (the critical region), and where one would fail to reject the null (the rest of the curve). Kritik Değer ( z değeri )

, iki eşit kısma bölünür. Çift Taraflı Test H0: µ = 100 H1: µ  100 , iki eşit kısma bölünür. Küçük veya büyüktür. H0 ret H0 reddedilemez H0 ret 100 100’den anlamlı derecede farklı olan değerler

Tek Taraflı Test H0: µ  100 H1: µ > 100 Ret bölgesi sağda H0 reddedilemez H0 ret 100’den anlamlı derecede Büyük değerler 100

Tek Taraflı Test H0: µ  100 H1: µ < 100 Ret bölgesi solda H0 reddedilemez 100’den anlamlı derecede küçük değerler 100

Hipotez Testlerinde Hatalar Tip I ve Tip II Hatalar Sıfır hipotezi DOĞRU Sıfır hipotezi YANLIŞ Sıfır hipotezi RET Tip I hata  Doğru karar (Testin gücü) 1 - b KARAR page 376 of text Sıfır hipotezi REDDEDİLEMEZ Doğru karar 1 - a Tip II hata 

Ortalama ile ilgili bir iddianın testi: Büyük örnekler Varsayımlar 1) Örnek, basit şans örneğidir. 2) a) Örnek büyüktür (n >= 30) veya, b) Anakütlenin dağılışı normaldir ve s bilinmektedir. 3) n >= 30 iken,  bilinmiyorsa, örnek standart sapması s, anakütle standart sapması  yerine kullanılabilir.. page 381 of text

Test İstatistiği x - µx z =  n

Test istatistiği ret bölgesine düşüyorsa, sıfır hipotezi reddedilir. Karar Kriteri Test istatistiği ret bölgesine düşüyorsa, sıfır hipotezi reddedilir. Test istatistiği ret bölgesine düşmüyorsa, sıfır hipotezi reddedilemez.

Ortalama ile ilgili bir iddianın testi: Küçük örnekler Varsayımlar 1) Örnek, bir basit şans örneğidir. 2) Örnek, bir küçük örnektir (n < 30). 3) Anakütle standart sapması  bilinmemektedir. 4) Anakütlenin dağılışı normaldir. page 399 of text

Test İstatistiği x -µx t = s n Kritik Değerler t tablosundan bulunur. Serbestlik Derecesi (df) = n -1 page 400 of text Most common mistake made with this procedure is to not use Table A-3 to find the critical values. Some use Table A-2 incorrectly.

Anakütle Ortalaması µ İçin Hipotez Testleri Başla normal dağılışı kullanın x - µx n > 30 ? Evet Z / n ( bilinmediğinde s kullanın.) Hayır Anakütle Verilerinin Dağılışı normal Mi? Hayır Parametrik olmayan İstatistik yöntemleri kullanın. Evet normal dağılışı kullanın page 401 of text Example of the small sample procedure is on page 402 of text  Biliniyor mu? Evet x - µx Z / n Hayır (Nadiren karşılaşılan bir durumdur.) Student t dağılışını kullanın x - µx t s/ n

Bir oran ile ilgili bir iddianın testi Varsayımlar 1) Örnek, bir basit şans örneğidir. 2) Binom denemeleri için gerekli koşullar sağlanmıştır. np  5 ve nq  5 sağlanmıştır. Böylece, başarı sayısının dağılışı, normal dağılışa  yaklaşır. µ = n𝝅 ve  = n𝝅(1- 𝝅) page 409 of text

Notasyon n = deneme sayısı q = 1 - 𝝅 p=x/n (örnek başarı oranı) 𝝅= anakütle başarı oranı (sıfır hipotezinde kullanılır) q = 1 - 𝝅

Test İstatistiği z = p- 𝜋 𝜋(1−𝜋) n page 413 of text

Çift Taraflı Z Testine Örnek: Bir fabrikada üretilmekte olan vidaların boylarının ortalaması 100 mm, ve standart sapması 2 mm olan normal dağılım gösterdikleri bilinmektedir. Makinalarda olan bir arıza giderildikten sonra üretilen vidalardan alınan 9 vidalık bir örneğin boy ortalaması 102 mm olarak bulunmuştur. Makinalardaki arıza giderilirken vidaların boyunun ayarı bozulmuş mudur? =0.05 için test ediniz ve yorumlayınız. m=100mm s=2mm n=9 1. Adım: Hipotezlerin belirlenmesi 2. Adım: Test istatistiğinin hesaplanması

3. Adım: Kritik değerlerin belirlenmesi: Standart Normal Dağılım Tablosu .500 - .025 .475   .06 Z .05 .07 1.6 .4505 .4515 .4525  /2 = .025  /2 = .025 1.7 .4599 .4608 .4616  -1.96 1.96 Z 1.8 .4678 .4686 .4693  1.9 .4744 .4750 .4756

Zhesap=3 -Ztablo= -1.96 Ztablo= 1.96  /2 = .025 4. Adım: İstatistiksel karşılaştırmanın yapılması: idi H0 RED H0 RED  /2 = .025  /2 = .025 Zhesap=3 -Ztablo= -1.96 Ztablo= 1.96 5. Adım: Karar verme ve yorumlama: Zhesap değeri H0 red bölgesine düştüğü için H0 hipotezi reddedilir, yani vidaları boy ortalaması 100 mm’den farklıdır, makinanın ayarı bozulmuştur.

Tek Taraflı Z Testi Örneği Bir kutu mısır gevreğinin ağırlığının üzerinde yazan 368 gr’dan fazla olduğu iddia edilmektedir. Ayrıca normal dağılım varsayımı altında  = 15 gram olduğunu belirtmiştir. n= 25 kutuluk bir örnek alınmış veX = 372.5 gr. olarak bulunmuştur. 0.05 seviyesinde test ediniz. H0:   368 H1:  > 368  = 0.05 n = 25 Kritik değer:

 = .05 için H0 hipotezi reddedilemez. Çözüm H0:   368 H1:  > 368  = 0.05 n = 25 Kritik değer: Test İstatistiği: Karar: Yorum: X   372 . 5  368 Z     1 . 50  15 n 25  = .05 için H0 hipotezi reddedilemez. RED bölgesi =.05 Ortalamanın 368 gr.dan fazla olduğuna dair yeterli kanıt yoktur. Z Zhesap=1.5 Ztablo=1.645

Çift Taraflı Z testi örneği: Bu sene DEÜ.İİBF İktisat bölümünden mezun olacak öğrencilerin mezuniyet not ortalamalarının 70 olduğu belirtilmekte ancak öğrenciler 70’den farklı olduğunu iddia etmektedirler. Bu amaçla mezuniyet sonrası 36 öğrencilik bir örnek alınmış ve mezuniyet ortalamalarının 66, standart sapmasının 12 olduğu bulunmuştur. Bu veriler ışığında iddiayı =0.01 için test ediniz. H0 : =70 H1 : 70 Z X n x    s III.  = 0.01 için z tablo değeri 2.58 IV. |zhes|<|ztab| H0 red edilemez.

ÖRNEK Bir konserve fabrikasının imal ettiği konservelerin üzerinde ortalama ağırlık 455 gr yazmaktadır. Bu konservelerin ortalama ağırlıkları ile ilgili bir karar vermek üzere rastgele seçilen 17 kutunun ortalama ağırlığı 450 gr ve standart sapması 13 gr bulunmuştur. Ağırlıkların normal dağılım gösterdiği varsayımı altında ortalama ağırlığın 455 gr olup olmadığını 0.05 önem seviyesinde test ediniz. Red edilemez. Red -2.12 -1.54 2.12

ÖRNEK: Bir otomobil firması yeni geliştirdiği teknoloji ile ürettiği akülerin ortalama dayanma süresi olan 42 ayın değiştiği ve artık akülerinin ortalama dayanma süresinin 42 ayın üzerinde olduğunu iddia etmektedirler. Akülerin dayanma sürelerinin normal dağılım gösterdiği varsayımı altında bu iddiayı araştırmak üzerine 10 adet akü örnek olarak seçilmiş ve dayanma süreleri ay olarak aşağıdaki biçimde bulunmuştur: 42, 36, 40, 39, 35, 43, 45, 43, 41, 46 α=0.05 önem seviyesi için üreticinin iddiasını test ediniz.   Red edilemez

ÖRNEK Bir süpermarketler zinciri sahibi müşterilerinin %95’ten fazlasının süpermarketlerindeki fiyatlardan memnun olduğunu söylemektedir. Tesadüfi olarak seçilen 200 müşteriden 184’ü fiyatlardan memnun olduğunu bildirmektedir.%1 önem düzeyinde, süpermarketteki fiyatlardan memnun olanların oranının %95’e eşit olmadığını söyleyebilir miyiz? reddedilemez