AKIŞKANLAR MEKANİĞİ 3. BASINÇ VE AKIŞKAN STATİĞİ Yard.Doç.Dr. Özlem ÖZDEN ÜZMEZ (Ekim 2016)

3.1. Basınç Bir akışkan tarafından birim alana uygulanan normal (dikey kuvvet) kuvvete basınç denir. Basınç, sadece gaz ve sıvılar için kullanılan bir ifadedir. Katılardaki karşılığı, normal gerilmedir (birim alana dik etkiyen kuvvet). Basınç birimi N/m2 olup buna pascal (Pa) denir. 1 kPa = 103 Pa, 1 MPa = 106 Pa 1 bar = 105 Pa 1 psi (pound per square inch) = 0.069 bar MEK315-Akışkanlar Mekaniği

Etkin, Mutlak, Vakum Basıncı Verilen bir konumdaki gerçek basınç: mutlak basınç Mutlak basınç ile yerel atmosferik basınç arasındaki fark: etkin basınç (etkin basınç negatif veya pozitif olabilir) Atmosferik basınç altındaki basınç: vakum basıncı Mutlak, etkin ve vakum basınçları arasındaki ilişkiler: Petkin = Pmutlak - Patm Pvakum = Patm - Pmutlak MEK315-Akışkanlar Mekaniği

Etkin, Mutlak, Vakum Basıncı MEK315-Akışkanlar Mekaniği

Bir Noktadaki Basınç Basınç, birim alana gelen sıkıştırma kuvvetidir. Akışkan içerisinde herhangi bir noktadaki basınç her yönde aynıdır. Basıncın büyüklüğü var, ancak yönü yoktur. Dolayısıyla skaler bir büyüklüktür. Denge halindeki bir akışkan elemanı P3 Bir akışkan içerisindeki basınç tüm yönlerde aynı büyüklüktedir. P1 =P2 = P3 = P P1 P2 MEK315-Akışkanlar Mekaniği

Basınç derinlikle nasıl değişir? Basınç, akışkan ağırlığının bir sonucudur ve yerçekimi bulunan bir ortamda sadece düşey yönde değişir. Basıncın derinlikle değişimi için yandaki akışkan kütlesine denge şartı uygulanırsa, O halde basınç derinlikle doğrusal olarak artar. Basınç yatay yönde değişmez. Bir akışkan için, düşey mesafe Δz bazen basıncın bir ölçüsü olarak kullanılır ve bu durumda basınç yükü adını alır. Şekil 3.8.

Basıncın derinlikle değişimi !!Durgun bir akışkan içerisindeki basınç kabın şeklinden ve kesitinden bağımsızdır. !!Bir akışkan içerisinde yatay düzlemde her noktadaki basınç aynıdır. !!Akışkan tarafından uygulanan basınç kuvveti verilen noktalarda daima yüzeye diktir. MEK315-Akışkanlar Mekaniği

Pascal İlkesi Kapalı bir kaptaki akışkana uygulanan dış basınç, akışkan içerisindeki basıncı her yerde aynı miktarda artırır. Pistonları aynı seviyede alırsak: Burada A2/A1 oranına ideal mekanik fayda adı verilir. Ör: piston alanları oranı A2/A1=10 olan bir hidrolik kriko ile 100 kgf (908 N) kuvvet ile 1000 kg’lık bir araba kaldırılabilir. MEK315-Akışkanlar Mekaniği

3.2. Manometreler Akışkan içerisinde ∆z kadarlık bir yükseklik farkı ∆P/g büyüklüğüne karşılık gelir (∆P= *g*∆z) Bu ilkeye göre tasarlanmış düzenek veya cihazlara manometre denir. Tipik bir manometre yandaki gibidir. Büyük basınçlar için yükseklikten tasarruf etmek amacıyla civa gibi yoğun akışkanlar kullanılır. Örnek 3.2 h yüksekliğindeki akışkanın basıncı MEK315-Akışkanlar Mekaniği

Çok Tabakalı Akışkanlar Her bir sütunun basıncı P = gh ifadesinden hesaplanır. Basınç aşağı inildikçe artar (+), yukarı çıkıldıkça azalır (-). Aynı akışkanın iki noktası aynı seviyedeyse, bu iki noktanın basınçları aynıdır. Böylece bir noktadan başlayıp gh terimini aşağı inildikçe ekleyerek, yukarı çıkıldıkça çıkararak istenen noktanın basıncı hesaplanabilir: atm MEK315-Akışkanlar Mekaniği

Çok Akışkanlı Manometre Örnek 3.3 MEK315-Akışkanlar Mekaniği

Basınç Düşüşünün Hesaplanması Belirli iki nokta arasında yer alan yatay bir akış bölümü boyunca vana, ısı değiştirici gibi düzeneklerden dolayı veya akışa karşı koyan bir direncin bulunmasından dolayı meydana gelen basınç düşüşlerinin ölçümü en iyi manometre ile yapılır. 1 noktasından başlanarak manometre içinden 2 noktasına gelinir. Bu esnada, gh terimlerini ekleyerek veya çıkararak P1-P2 hesaplanır. Borudaki akışkan gaz ise, 2>> 1 ve P1-P2= gh olur. MEK315-Akışkanlar Mekaniği

Basınç Düşüşünün Hesaplanması PA =PB PB=P2 + ρ1*g*a + ρ2*g*h PA = P1+ρ1*g*(a+h) P1+ρ1*g*(a+h) – ρ2*g*h - ρ1*g*a = P2 MEK315-Akışkanlar Mekaniği

3.3. Barometre ve Atmosferik Basınç Barometreler atmosferik basıncı ölçmede kullanılır. Bu yüzden barometre basıncına atmosfer basıncı da denir. C noktasındaki civa buharının basıncı çok küçüktür ve sıfır alınabilir. Dolayısıyla akışkan sütununun ağırlığı alttan etkiyen atmosferik basınç kuvveti ile dengelenmelidir. Atmosfer basıncı yükseklere çıkıldıkça düşer ve bunun birçok etkisi olur: pişirme süresi, burun kanaması, motor performansı, uçakların performansı vb.. Örnek 3-5 = PB MEK315-Akışkanlar Mekaniği

3.4. Akışkan Statiği MEK315-Akışkanlar Mekaniği

3.5. Düz Yüzeyler Düz yüzeye gelen hidrostatik kuvvetler bir paralel kuvvetler sistemi oluşturur. Amacımız bu tür yüzeylere gelen hidrostatik kuvvetleri ve etki noktalarını (basınç merkezi BM) belirlemektir. Yüzeyin her iki yanına da etkimesi halinde atmosfer basıncının etkisi dikkate alınmaz. Böylece sadece etkin basınçla çalışmış oluruz. ρ*g*h Atmosfer basıncı dahil edilmez Patm + ρ*g*h Atmosfer basıncı dahil edilir MEK315-Akışkanlar Mekaniği

Düz Yüzeye Gelen Kuvvet 𝑃= 𝑃 0 +𝜌𝑔ℎ= 𝑃 0 +𝜌𝑔𝑦𝑠𝑖𝑛𝜃 𝐹 𝑅 = 𝐴 𝑃𝑑𝐴 = 𝐴 𝑃 0 +𝜌𝑔𝑦𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑑𝐴 = 𝑃 0 𝐴+𝜌𝑔𝑠𝑖𝑛𝜃 𝐴 𝑦𝑑𝐴 𝐴ğ𝚤𝑟𝑙𝚤𝑘 𝑚𝑒𝑟𝑘𝑒𝑧𝑖𝑛𝑖𝑛 𝑡𝑎𝑛𝚤𝑚𝚤𝑛𝑑𝑎𝑛: 𝑦 𝑐 = 1 𝐴 𝐴 𝑦𝑑𝐴 MEK315-Akışkanlar Mekaniği

Bileşke Kuvvet Homojen (sabit yoğunluğa sahip) bir sıvıya tamamen daldırılan düz bir yüzey üzerine etki eden bileşke kuvvet; yüzeyin kütle merkezindeki basınç ( 𝑷 𝒄 ) ile yüzeyin alanının çarpımına eşittir. 𝑭 𝑹 = 𝑷 𝟎 +𝝆𝒈 𝒚 𝒄 𝒔𝒊𝒏𝜽 𝑨= 𝑷 𝟎 +𝝆𝒈 𝒉 𝒄 𝑨= 𝑷 𝒄 𝑨= 𝑷 𝒐𝒓𝒕 𝑨 𝑃 𝑐 = yüzeyin kütle merkezindeki basınç 𝑃 𝑜𝑟𝑡 = yüzeydeki ortalama basınç MEK315-Akışkanlar Mekaniği

Bileşke Kuvvetin Yeri Bileşke kuvvetin etki çizgisi ile yüzeyin kesişme noktasına BM (basınç merkezi) denir. Yüzeyin kütle merkezi ile BM, alan yatay olmadıkça üst üste çakışmaz. BM, x eksenine göre moment alınarak bulunur: 𝑦 𝑝 𝐹 𝑅 = 𝐴 𝑦𝑃𝑑𝐴 = 𝐴 𝑦 𝑃 0 +𝜌𝑔𝑦𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑑𝐴 = 𝑃 0 𝐴 𝑦𝑑𝐴 +𝜌𝑔𝑠𝑖𝑛𝜃 𝐴 𝑦 2 𝑑𝐴 = 𝑃 0 𝑦 𝑐 𝐴+𝜌𝑔𝑠𝑖𝑛𝜃 𝐼 𝑥𝑥,𝑂 X eksenine göre Alan 2. momenti veya alan atalet momenti MEK315-Akışkanlar Mekaniği

BM’nin hesabı Çeşitli kaynaklarda verilen atalet momentleri alanın kütle merkezinden geçen eksene göre tanımlıdır (burada ise eksen takımı alanın kütle merkezinden geçmemektedir) Ancak Paralel Eksen Teoremi ile bu sorun da kolaylıkla aşılabilir: Böylece BM: Ancak P0=0 ise; Alanın kütle merkezinden geçen x eksenine göre alan ikinci momenti 𝐼 𝑥𝑥,0 = 𝐼 𝑥𝑥,𝑐 + 𝑦 𝑐 2 𝐴 𝒚 𝒑 = 𝒚 𝒄 + 𝑰 𝒙𝒙,𝒄 𝒚 𝒄 + 𝑷 𝟎 / 𝝆𝒈𝒔𝒊𝒏𝜽 𝑨 𝒚 𝒑 = 𝒚 𝒄 + 𝑰 𝒙𝒙,𝒄 𝒚 𝒄 𝑨 Basınç merkezi doğrudan y ekseni üzerine ve kütle merkezinin altına düşer! MEK315-Akışkanlar Mekaniği

Bazı düz yüzeyler ve özellikleri MEK315-Akışkanlar Mekaniği

Basınç Prizması: Geometrik yol Düz bir plaka üzerine etki eden kuvvetler, tabanı (sol yüz) plakanın alanı, yüksekliği de basınç olan bir hacim meydana getirir. Bu, hayali bir basınç prizmasıdır. Bu prizmanın hacmi, plakaya etki eden bileşke hidrostatik kuvvetin büyüklüğüne eşittir. MEK315-Akışkanlar Mekaniği

Bazı Özel Durumlar (dalmış dikdörtgen plaka) 𝑭 𝑹 = 𝑷 𝟎 +𝝆𝒈 𝒚 𝒄 𝒔𝒊𝒏𝜽 𝑨= 𝑷 𝟎 +𝝆𝒈 𝒉 𝒄 𝑨= 𝑷 𝒄 𝑨= 𝑷 𝒐𝒓𝒕 𝑨 Örnek 3-8 MEK315-Akışkanlar Mekaniği

Çok tabakalı akışkanların düz yüzey üzerine etkisi Çok tabakalı bir akışkan içerisinde dalmış bir yüzey üzerindeki hidrostatik kuvvet, farklı akışkanlar içerisinde kalan yüzeyleri ayrı ayrı göz önüne almak suretiyle belirlenebilir 𝐹 𝑅 = 𝐹 𝑅,𝑖 = 𝑃 𝑐,𝑖 𝐴 𝑖 MEK315-Akışkanlar Mekaniği

Eğrisel yüzeyler Eğrisel yüzey üzerine etkiyen hidrostatik kuvvetin yatay bileşeni (FH), yüzeyin düşey izdüşümüne etki eden hidrostatik kuvvete ( 𝐹 𝑥 ) eşittir (hem büyüklük hem de etki çizgisi olarak). Eğrisel yüzey üzerine etkiyen hidrostatik kuvvetin düşey bileşeni (Fv), yüzeyin yatay izdüşümüne etki eden hidrostatik kuvvet ( 𝐹 𝑦 ) ile akışkan bloğunun ağırlığının (W) toplamına (zıt yönde etkiyorsa, farkına) eşittir. 𝐹 𝐻 = 𝐹 𝑥 𝐹 𝑣 = 𝐹 𝑦 +𝑊 𝐹 𝑅 = 𝐹 𝐻 2 + 𝐹 𝑣 2 MEK315-Akışkanlar Mekaniği

Eğrisel yüzeyler Basınç kuvvetlerinin yüzeye dik olması ve hepsinin de merkezden geçmesinden ötürü, dairesel bir yüzey üzerine etki eden hidrostatik kuvvet daima dairenin merkezinden geçer. Eğrisel yüzey sıvı üzerinde kalıyorsa, sıvı ağırlığı ve hidrostatik kuvvetin düşey bileşeni zıt yönlerde etkir. FH=Fx FV=Fy-W MEK315-Akışkanlar Mekaniği

Örnek 3-9 A noktasından mafsallı 0.8 m yarıçapında uzun bir silindir, Şekil 3–36’da görüldüğü gibi otomatik kapak olarak kullanılmakta olup su seviyesi 5 m’ye ulaştığında kapak A noktasındaki mafsal etrafında açılmaktadır. (a) Kapak açıldığında silindir üzerindeki hidrostatik kuvveti ve etki çizgisini (b) silindirin 1 metre uzunluğunun ağırlığını belirleyiniz. MEK315-Akışkanlar Mekaniği

3-7 Yüzme ve Kararlılık Bir akışkan, içerisine bırakılan cisme yukarı doğru bir kuvvet uygular. Cismi kaldırmaya eğilimli bu kuvvete kaldırma kuvveti denir ve FK ile gösterilir. MEK315-Akışkanlar Mekaniği

3-7 Yüzme ve Kararlılık 𝐹 ü𝑠𝑡 = 𝜌 𝑎 𝑔𝑠𝐴 Serbest yüzeye paralel olarak bir sıvı içerisine daldırılmış h kalınlığındaki düz plaka; 𝐹 ü𝑠𝑡 = 𝜌 𝑎 𝑔𝑠𝐴 𝐹 𝑎𝑙𝑡 = 𝜌 𝑎 𝑔 𝑠+ℎ 𝐴 Plaka Hacmi=V 𝑲𝒂𝒍𝒅𝚤𝒓𝒎𝒂 𝒌𝒖𝒗𝒗𝒆𝒕𝒊= 𝐹 𝐾 = 𝐹 𝑎𝑙𝑡 − 𝐹 ü𝑠𝑡 = 𝜌 𝑎 𝑔 𝑠+ℎ 𝐴− 𝜌 𝑎 𝑔𝑠𝐴= 𝜌 𝑎 𝑔ℎ𝐴= 𝝆 𝒂 𝒈𝑽 MEK315-Akışkanlar Mekaniği

3-7 Yüzme ve Kararlılık 𝝆 𝒂 𝒈𝑽 terimi, hacmi plakanın hacmine eşit olan sıvının ağırlığıdır. Buna göre; plaka üzerine etki eden kaldırma kuvveti, plaka tarafından yeri değiştirilen sıvının ağırlığına eşittir. Bu kuvvet, yer değiştiren hacmin kütle merkezi boyunca yukarıya doğru etkir (Archimedes ilkesi). Kaldırma kuvveti, cismin sıvının serbest yüzeyinden olan mesafesinden bağımsızdır. Kaldırma kuvveti eşitliği, şekline bakılmaksızın herhangi bir geometri için de geçerlidir. 𝑭 𝑲 =𝑾 MEK315-Akışkanlar Mekaniği

3-7 Yüzme ve Kararlılık ARCHIMEDES İLKESİ: Bir akışkan içerisinde daldırılan cisim üzerine etki eden kaldırma kuvveti, cisim tarafından yeri değiştirilen akışkanın ağırlığına eşittir ve bu kuvvet, yer değiştiren hacmin (cismin) kütle merkezi boyunca yukarıya doğru etkir. !!! Yüzen cisimler için; cismin tümünün ağırlığı, batan kısmının hacmi kadar akışkan ağırlığına eşit olan kaldırma kuvvetine eşit olmalıdır. 𝑏𝑎𝑡𝑎𝑛 𝑘𝚤𝑠𝚤𝑚𝑙𝑎 𝑒ş𝑖𝑡 ℎ𝑎𝑐𝑚𝑒 𝑠𝑎ℎ𝑖𝑝 𝑠𝚤𝑣𝚤 𝑎ğ𝚤𝑟𝑙𝚤ğ𝚤 𝑐𝑖𝑠𝑚𝑖𝑛 𝑡𝑜𝑝𝑙𝑎𝑚 𝑎ğ𝚤𝑟𝑙𝚤ğ𝚤 𝐹 𝐾 =𝑊 𝜌 𝑎 𝑔𝑉𝑏𝑎𝑡𝑎𝑛 = 𝜌 𝑜𝑟𝑡.𝑐𝑖𝑠𝑖𝑚 𝑔𝑉𝑡𝑜𝑝𝑙𝑎𝑚 𝑉𝑏𝑎𝑡𝑎𝑛/𝑉𝑡𝑜𝑝𝑙𝑎𝑚= 𝜌 𝑜𝑟𝑡.𝑐𝑖𝑠𝑖𝑚 / 𝜌 𝑎 MEK315-Akışkanlar Mekaniği

3-7 Yüzme ve Kararlılık Bir akışkan içerisine daldırılan cisim için şunlar söylenebilir: Eğer cismin yoğunluğu, içerisine daldırıldığı akışkanın yoğunluğuna eşitse cisim bırakıldığı noktada hareketsiz kalır. Cismin yoğunluğu akışkanın yoğunluğundan büyükse, cisim batar. Cismin yoğunluğu, akışkanın yoğunluğundan küçükse bu durumda cisim akışkan yüzeyine çıkar ve yüzer. MEK315-Akışkanlar Mekaniği

Örnek 3-10 Hidrometre Sıvı içerisinde dik konumda kısmen batmış halde yüzen ve sıvının bağıl yoğunluğunu ölçmede kullanılan cihazlara hidrometre adı verilir. Hidrometrenin üst kısmı, sıvı yüzeyinin üzerinde kalır ve üzerindeki taksimat çizgileri bağıl yoğunluğun doğrudan okunmasını sağlar. Hidrometre saf su içerisindeyken, su-hava arayüzünde tam olarak 1.0’i gösterecek şekilde kalibre edilir. MEK315-Akışkanlar Mekaniği

Örnek 3-10 Hidrometre Bir sıvının bağıl yoğunluğunu, saf suya karşılık gelen işaretten itibaren ∆z mesafesinin fonksiyonu olarak veren bir bağıntı elde ediniz. 1 cm çapında ve 20 cm boyunda olan bir hidrometrenin saf su içerisinde yarısı batmış olarak yüzmesi için (10 cm çizgisinde) içerisine konulması gereken kurşun kütlesini belirleyiniz MEK315-Akışkanlar Mekaniği Doç.Dr. Serdar GÖNCÜ

Dalmış Yüzen Cisimlerin Kararlılığı http://tr.wikipedia.org/wiki/Vasa_(gemi) MEK315-Akışkanlar Mekaniği Doç.Dr. Serdar GÖNCÜ

3.8. Rijit Cisim Hareketi Yapan Akışkanlar Bu tür bir harekette kayma gerilmesi oluşmaz. Dolayısıyla akışkana etkiyen yalnızca kütle ve basınç kuvvetleridir. Sadece z yönü için bu kuvvetlerin gösterildiği diferansiyel hacim elemanı alalım ve Newton’un 2. hareket yasasını uygulayalım: 𝛿 𝐹 =𝛿𝑚∙ 𝑎 =𝜌 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 ∙ 𝑎 𝛿 𝐹 𝑠,𝑧 = 𝑃− 𝜕𝑃 𝜕𝑧 𝑑𝑧 2 𝑑𝑥𝑑𝑦− 𝑃+ 𝜕𝑃 𝜕𝑧 𝑑𝑧 2 𝑑𝑥𝑑𝑦=− 𝜕𝑃 𝜕𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝛿 𝐹 𝑠,𝑥 =− 𝜕𝑃 𝜕𝑥 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝛿 𝐹 𝑠,𝑦 =− 𝜕𝑃 𝜕𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 MEK315-Akışkanlar Mekaniği Doç.Dr. Serdar GÖNCÜ

Rijit Cisim Hareketi Toplam yüzey basınç kuvveti: Kütle kuvveti: Temel Denklem: 𝛿 𝐹 𝑠 =𝛿 𝐹 𝑠,𝑥 𝑖 +𝛿 𝐹 𝑠,𝑦 𝑗 +𝛿 𝐹 𝑠,𝑧 𝑘 =− 𝜕𝑃 𝜕𝑥 𝑖 + 𝜕𝑃 𝜕𝑦 𝑗 + 𝜕𝑃 𝜕𝑧 𝑘 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧=− 𝛻𝑃 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝛿 𝐹 𝐵,𝑧 =−𝑔𝛿𝑚 𝑘 −𝜌𝑔𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑘 𝛿 𝐹 =𝛿 𝐹 𝑠 +𝛿 𝐹 𝐵 =− 𝛻 𝑃+𝜌𝑔 𝑘 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑘 =𝛿𝑚∙ 𝑎 =𝜌 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 ∙ 𝑎 𝛻 𝑃+𝜌𝑔 𝑘 =−𝜌 𝑎 MEK315-Akışkanlar Mekaniği Doç.Dr. Serdar GÖNCÜ

Özel Durumlar Denklemin açık hali Özel Durum 1: Statik haldeki akışkanlar Özel Durum 2: Serbest düşme 𝜕𝑃 𝜕𝑥 𝑖 + 𝜕𝑃 𝜕𝑦 𝑗 + 𝜕𝑃 𝜕𝑧 𝑘 +𝜌𝑔 𝑘 =−𝜌 𝑎 𝑥 𝑖 + 𝑎 𝑦 𝑗 + 𝑎 𝑧 𝑘 𝜕𝑃 𝜕𝑥 =−𝜌 𝑎 𝑥 =0 𝜕𝑃 𝜕𝑦 =−𝜌 𝑎 𝑦 =0 𝜕𝑃 𝜕𝑧 =−𝜌𝑔 𝑎 𝑧 =-g 𝜕𝑃 𝜕𝑥 = 𝜕𝑃 𝜕𝑦 = 𝜕𝑃 𝜕𝑧 =0 http://www.gozerog.com/ MEK315-Akışkanlar Mekaniği Doç.Dr. Serdar GÖNCÜ

Doğrusal Yörünge Üzerinde Sabit İvmeli Hareket Doğrusal bir yörünge üzerindeki hareketi xz-düzleminde inceleyeceğiz P=P(x, z)=?: 𝜕𝑃 𝜕𝑥 =−𝜌 𝑎 𝑥 𝜕𝑃 𝜕𝑧 =−𝜌 𝑔+ 𝑎 𝑧 𝑑𝑃 𝑥,𝑧 = 𝜕𝑃 𝜕𝑥 𝑑𝑥+ 𝜕𝑃 𝜕𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝑃=−𝜌 𝑎 𝑥 𝑑𝑥−𝜌 𝑔+ 𝑎 𝑧 𝑑𝑧 MEK315-Akışkanlar Mekaniği Doç.Dr. Serdar GÖNCÜ

Doğrusal hareket ∆𝑃=−𝜌 𝑎 𝑥 ∆𝑥−𝜌 𝑔+ 𝑎 𝑧 ∆𝑧 Sonlu büyüklükler cinsinden iki nokta arasındaki basınç farkı: veya; Orijin (z= 0 ve x = 0) noktasındaki basınç P0 alınırsa, herhangi bir noktadaki basınç; (Basınç dağılımı) Yüzeydeki düşey yükselme ∆𝑃=−𝜌 𝑎 𝑥 ∆𝑥−𝜌 𝑔+ 𝑎 𝑧 ∆𝑧 𝑃 2 − 𝑃 1 =−𝜌 𝑎 𝑥 𝑥 2 − 𝑥 1 −−𝜌 𝑔+ 𝑎 𝑧 𝑧 2 − 𝑧 1 𝑃= 𝑃 0 −𝜌 𝑎 𝑥 𝑥−𝜌 𝑔+ 𝑎 𝑧 𝑧 ∆ 𝑧 𝑠 = 𝑧 𝑠2 − 𝑧 𝑠1 =− 𝑎 𝑥 𝑔+ 𝑎 𝑧 𝑥 2 − 𝑥 1 MEK315-Akışkanlar Mekaniği Doç.Dr. Serdar GÖNCÜ

Yüzeyin Eğiminin Belirlenmesi 1 ve 2 noktalarının her ikisi de serbest yüzeyde seçilirse dP = 0 olacaktır. Buradan, Bu tür hareketlerde de sıvı kütlesinin korunduğu unutulmamalıdır. Örnek 3.12 𝑑𝑃=−𝜌 𝑎 𝑥 𝑑𝑥−𝜌 𝑔+ 𝑎 𝑧 𝑑𝑧=0 𝑑 𝑧 𝑖𝑧𝑜𝑏𝑎𝑟 𝑑𝑥 =− 𝑎 𝑥 𝑔+ 𝑎 𝑧 =−𝑡𝑎𝑛𝜃=𝑠𝑎𝑏𝑖𝑡 MEK315-Akışkanlar Mekaniği Doç.Dr. Serdar GÖNCÜ

Silindirik Kapta Dönme 𝑎 𝑟 =−𝑟 𝜔 2 , 𝑎 𝑧 = 𝑎 𝜃 =0→𝑃=𝑃 𝑟,𝑧 𝑑𝑃 𝑟,𝑧 = 𝜕𝑃 𝜕𝑟 𝑑𝑟+ 𝜕𝑃 𝜕𝑧 𝑑𝑧 𝜕𝑃 𝜕𝑟 =−𝜌 𝑎 𝑟 𝜕𝑃 𝜕𝑧 =−𝜌 𝑔+ 𝑎 𝑧 =−𝜌𝑔 𝑑𝑃 𝑟,𝑧 =𝜌𝑟 𝜔 2 𝑑𝑟−𝜌𝑔𝑑𝑧 MEK315-Akışkanlar Mekaniği Doç.Dr. Serdar GÖNCÜ

Yüzeyin Şekli Serbest yüzeyde dP = 0 alınırsa Serbest yüzey paraboliktir !.. Şekilde r=0 için z=h=C olduğundan, Örnek 3-13 𝑑𝑃 𝑟,𝑧 =𝜌𝑟 𝜔 2 𝑑𝑟−𝜌𝑔𝑑𝑧=0 𝑑 𝑧 𝑖𝑧𝑜𝑏𝑎𝑟 𝑑𝑟 = 𝑟 𝜔 2 𝑔 𝑧= 𝜔 2 𝑟 2 2𝑔 + 𝐶 1 𝑧 𝑠 = 𝜔 2 2𝑔 𝑟 2 + ℎ 𝑐 MEK315-Akışkanlar Mekaniği Doç.Dr. Serdar GÖNCÜ