TANJANT Q_MATRİS Aleyna ŞEN M. Hamza OYNAK DANIŞMAN : Gökhan KUZUOĞLU

AMAÇ tan(n𝜶) fonksiyonunu sadece tan(𝜶) fonksiyonuna bağlı olarak yazabilme amacı ile bu projeyi yaptık. Bu doğrultuda Fibonacci Dizilerini kullanarak tanjant fonksiyonu üzerinde Genelleştirilmiş Fibonacci Dizilerine benzer bir dizi tanımlanarak matris işlemleri yardımı ile tan(n𝜶) fonksiyonu tan(𝜶) fonksiyonuna bağlı bir şekilde yazılabilmiştir.

İÇİNDEKİLER FİBONACCİ ve ALTIN ORAN TAVŞAN PROBLEMİ ve FİBONACCİ SAYI DİZİSİ GENELLEŞTİRİLMİŞ FİBONACCİ SAYILARI tan(n𝜶) AÇILIMINI GENELLEŞTİRİLMİŞ FİBONACCİ DENKLEMLERİNE BENZETİLMESİ TANJANT İÇİN Q_MATRİS SONUÇ ve TARTIŞMA ÖNERİLER KAYNAKÇA

FİBONACCİ VE ALTIN ORAN 1202 yılında Leonardo of Pisa ; bilinen adıyla Fibonacci, Matematik ve doğa arasındaki bir bağı gözler önüne serdi. Fibonacci sadece Hristiyan dünyasına Hindu-Arap dünyasında kullanılan rakamları tanıtmadı tavşanlarla ilgili derin etki yaratacak bir probleminde ortaya attı. Fibonacci bir çift tavşandan yılda kaç tavşan türeyeceğini bilmek istedi.

TAVŞAN PROBLEMİ ve FİBONACCİ SAYI DİZİSİ Ocaktan başlayarak her ay her bir çiftten, bir aylık olduğunda yeni bir çift doğacağını varsaydı. Çözüm üzerinde çalıştıkça ilginç bir tabloyu fark etti ; Tavşan sayısı her ay kesin bir mantık sisteminde artmaktaydı. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21… gibi Serideki her sayı kendinden önce gelen son iki sayının toplamına eşitti. Bu seri matematiksel olarak 𝑭 𝒏 = 1 ; n=1 1 ; n=2 𝑭 𝒏−𝟏 + 𝑭 𝒏−𝟐 ; n ≥𝟑 ifade edilir.

Fibonacci sayıları büyüdükçe iki ardışık sayının oranı gitgide benzeşir. Oran 1,618… ile başlayan devirli bir ondalık sayıya yaklaşır. Bu orana ‘Altın oran’ denir. Matrislere de taşınan bu oran Fibonacci Q-matrisi veya ‘‘Altın Matris’’ olarak bilinen Q = 𝟏 𝟏 𝟏 𝟎 matrisi ile klasik Fibonacci sayı dizisi { 𝑭 𝒏 } 𝒏≥𝟎 arasında 𝑸 𝒏 = 𝑭 𝒏+𝟏 𝑭 𝒏 𝑭 𝒏 𝑭 𝒏−𝟏 şeklinde bir ilişki sunulabilir.

GENELLEŞTİRİLMİŞ FİBONACCİ SAYILARI 𝑮 𝒏 = a ; n=1 b ; n=2 𝑮 𝒏−𝟏 + 𝑮 𝒏−𝟐 ; n ≥𝟑 şeklinde tanımlanan { 𝑮 𝒏 } dizisi, dizi elemanları a, b, a + b, a + 2b, 2a + 3b, 3a + 5b... şeklinde tanımlı Genelleştirilmiş Fibonacci Dizisi adını alır. 𝑷 𝒏 = 1 ; n=1 2 ; n=2 𝟐𝑷 𝒏−𝟏 + 𝑷 𝒏−𝟐 ; n ≥𝟑 şeklinde tanımlanmış { 𝑷 𝒏 } sayı dizisine Pell sayı dizisi denir. Bu sayı dizisinin elemanlarına, Pell sayıları denir. Dikkat edildiği üzere Pell Sayı dizisi özel bir Genelleştirilmiş Fibonacci dizisidir.

tan(n𝜶) AÇILIMINI GENELLEŞTİRİLMİŞ FİBONACCİ DENKLEMLERİNE BENZETİLMESİ tan(𝜶+𝜷) = 𝐭𝐚𝐧 𝜶 +𝐭𝐚𝐧(𝜷) 𝟏 − 𝐭𝐚𝐧 𝜶 𝐭𝐚𝐧 𝜷 ve tan(2𝜶) = 𝟐𝐭𝐚𝐧(𝜶) 𝟏 − 𝒕𝒂𝒏 𝟐 (𝜶) tan(𝜶) = x dönüşümü yapılırsa tan(2𝜶) = 𝟐𝒙 𝟏− 𝒙 𝟐 eşitliği elde edilir. Burada bir genelleştirme yapılırsa n pozitif bir tam sayı olmak üzere; tan(n𝜶) = 𝑺 𝒏 (𝒙) 𝑪 𝒏 (𝒙) eşitliği elde edilebilir. Burada tanımlanan 𝑺 𝒏 (𝒙) ve 𝑪 𝒏 (𝒙) ifadeleri x e bağlı birer polinomdur.

tan(3𝜶) = tan(2𝜶 + 𝜶) = 𝟑 𝐭𝐚𝐧 𝜶 − 𝐭𝐚𝐧 𝟑 (𝜶) 𝟏 −𝟑 𝐭𝐚𝐧 𝟑 (𝜶) Yapılan eşitlikler göz önüne alındığında; tan(n𝜶) tanımından 𝐒 𝟏 𝐱 =𝐱, 𝐒 𝟐 𝐱 =𝟐𝐱, 𝐒 𝟑 𝐱 =𝟑𝐱 − 𝐱 𝟑 , … ve 𝐂 𝟏 𝐱 =𝟏, 𝐂 𝟐 𝐱 =𝟏 − 𝐱 𝟐 , 𝐂 𝟑 𝐱 =𝟏 −𝟑 𝐱 𝟐 , … eşitlikleri elde edilebilir. tan(𝜶) = x dönüşümü göz önüne alınarak tan((n + 1) 𝜶) = tan(n𝜶 + 𝜶) = 𝐒 𝐧 (𝐱) 𝐂 𝐧 (𝐱) + 𝐱 𝟏 − 𝐱 𝐒 𝐧 (𝐱) 𝐂 𝐧 (𝐱) = 𝐒 𝐧 (𝐱) + 𝐱𝐂 𝐧 (𝐱) 𝐂 𝐧 𝐱 − 𝐱𝐒 𝐧 (𝐱) eşitliği elde edilebilir. tan(n𝜶) tanımlamamızdan; tan((n + 1) 𝜶) = 𝐒 𝐧+𝟏 (𝐱) 𝐂 𝐧+𝟏 (𝐱) yazılabilir.

denklemlerini yazabiliriz. Bu denklemleri kullanarak; 𝑺 𝒏+𝟏 𝒙 = 𝑺 𝒏 𝒙 + 𝒙 𝑪 𝒏 𝒙 ve 𝑪 𝒏+𝟏 𝒙 = 𝑪 𝒏 𝒙 − 𝒙 𝑺 𝒏 𝒙 denklemlerini yazabiliriz. Bu denklemleri kullanarak; 𝑺 𝒏 𝒙 = 𝑺 𝒏−𝟏 +𝒙 𝑪 𝒏−𝟏 𝒙 𝑺 𝒏+𝟏 𝒙 − 𝑺 𝒏 𝒙 = 𝑺 𝒏 𝒙 − 𝑺 𝒏−𝟏 𝒙 +𝒙 𝑪 𝒏 𝒙 − 𝑪 𝒏−𝟏 𝒙 𝑪 𝒏 𝒙 = 𝑪 𝒏−𝟏 −𝒙 𝑺 𝒏−𝟏 𝒙 𝑪 𝒏+𝟏 𝒙 − 𝑪 𝒏 𝒙 = 𝑪 𝒏 𝒙 − 𝑪 𝒏−𝟏 𝒙 −𝒙 𝑺 𝒏 𝒙 − 𝑺 𝒏−𝟏 𝒙 elde edilir.

Elde edilen son iki denklemden; 𝑺 𝒏+𝟏 𝒙 − 𝑺 𝒏 𝒙 = 𝑺 𝒏 𝒙 − 𝑺 𝒏−𝟏 𝒙 − 𝒙 𝟐 𝑺 𝒏−𝟏 𝒙 𝑺 𝒏+𝟏 𝒙 = 𝑺 𝒏 𝒙 − 𝑺 𝒏−𝟏 𝒙 − 𝒙 𝟐 𝑺 𝒏−𝟏 𝒙 + 𝑺 𝒏 𝒙 𝑺 𝒏 𝒙 =𝟐 𝑺 𝒏−𝟏 𝒙 −(𝟏+ 𝒙 𝟐 ) 𝑺 𝒏−𝟐 (𝒙) ve 𝑪 𝒏+𝟏 𝒙 − 𝑪 𝒏 𝒙 = 𝑪 𝒏 𝒙 − 𝑪 𝒏−𝟏 𝒙 − 𝒙 𝟐 𝑪 𝒏−𝟏 𝒙 𝑪 𝒏+𝟏 𝒙 = 𝑪 𝒏 𝒙 − 𝑪 𝒏−𝟏 𝒙 − 𝒙 𝟐 𝑪 𝒏−𝟏 𝒙 + 𝑪 𝒏 𝒙 𝑪 𝒏 𝒙 =𝟐 𝑪 𝒏−𝟏 𝒙 − 𝟏+ 𝒙 𝟐 𝑪 𝒏−𝟐 𝒙 denklemleri elde edilir. Elde edilen denklemler birer Pell denklemidir.Dolayısıyla her iki denklem de birer Genelleştirilmiş Fibonacci denklemidir ve bütün özelliklerini sağlar.

tan(n𝜶) için Q_Matris 𝑺 𝒏+𝟏 = 𝑺 𝒏 +𝒙 𝑪 𝒏 𝑪 𝒏+𝟏 = 𝑪 𝒏 −𝒙 𝑺 𝒏 𝑺 𝒏+𝟏 = 𝑺 𝒏 +𝒙 𝑪 𝒏 𝑪 𝒏+𝟏 = 𝑪 𝒏 −𝒙 𝑺 𝒏 doğrusal denklem sistemini ele alalım . Bu denklem sisteminin matris gösterimi 𝑺 𝒏+𝟏 𝑪 𝒏+𝟏 = 𝟏 𝒙 −𝒙 𝟏 . 𝑺 𝒏 𝑪 𝒏 şeklindedir. tan(𝜶)=x dikkate alındığında 𝟏 𝒙 −𝒙 𝟏 matrisi tanjant fonksiyonu için bir Q_matrisidir. Altın matrisin Fibonacci dizisini hesaplama yöntemi dikkate alındığında benzer şekilde 𝑺 𝒏+𝟏 𝑪 𝒏+𝟏 = 𝟏 𝒙 −𝒙 𝟏 𝒏 . 𝑺 𝟏 𝑪 𝟏 hesaplanabilir.

tan(5𝜶) = 𝒕𝒂𝒏 𝟓 𝜶 − 𝟏𝟎𝒕𝒂𝒏 𝟑 𝜶 +𝟓𝐭𝐚𝐧(𝜶) 𝟏+𝟓𝒕𝒂𝒏 𝟒 𝜶 − 𝟏𝟎𝒕𝒂𝒏 𝟐 (𝜶) Örnek : tan(5𝜶) fonksiyonunu bulduğumuz yöntem ile tan(a) türünden yazalım tan(5𝜶) = 𝑺 𝟓 (𝒙) 𝑪 𝟓 (𝒙) 𝑺 𝟓 𝑪 𝟓 = 𝟏 𝒙 −𝒙 𝟏 𝟒 . 𝒙 𝟏 = 𝟏 𝒙 −𝒙 𝟏 . 𝟏 𝒙 −𝒙 𝟏 . 𝟏 𝒙 −𝒙 𝟏 . 𝟏 𝒙 −𝒙 𝟏 . 𝒙 𝟏 = 𝟏−𝒙 𝟐 𝟐𝒙 −𝟐𝒙 𝟏−𝒙 𝟐 . 𝟏−𝒙 𝟐 𝟐𝒙 −𝟐𝒙 𝟏−𝒙 𝟐 . 𝒙 𝟏 = 𝟏−𝒙 𝟐 𝟐𝒙 −𝟐𝒙 𝟏−𝒙 𝟐 . 𝟑𝒙 −𝒙 𝟑 𝟏 −𝟑𝒙 𝟐 = 𝒙 𝟓 − 𝟏𝟎𝒙 𝟑 +𝟓𝒙 𝟏+𝟓𝒙 𝟒 + 𝟏𝟎𝒙 𝟐 elde edilir. Buradan ise tan(5𝜶) = 𝒕𝒂𝒏 𝟓 𝜶 − 𝟏𝟎𝒕𝒂𝒏 𝟑 𝜶 +𝟓𝐭𝐚𝐧(𝜶) 𝟏+𝟓𝒕𝒂𝒏 𝟒 𝜶 − 𝟏𝟎𝒕𝒂𝒏 𝟐 (𝜶) elde edilir.

SONUÇ VE TARTIŞMA 1. tan(n𝜶) fonksiyonunu iki tane Genelleştirilmiş Fibonacci dizisi şeklinde tanımlayarak Fibonacci dizisinin özelliklerini sağlayabileceği görülmüştür. 2. Altın matris veya Q-matris denilen Fibonacci dizileri için tanımlanmış özel bir matrisin genelleştirilmiş bir formülü tan(n𝜶) değeri için elde edilmiştir. 3. tan(n𝜶) fonksiyonu tanımlanmış olan Q-matris yardımı ile tan(𝜶) cinsinden iki polinomun bölümü şeklinde daha kolay bir şekilde yazılabileceği gösterilmiştir. 4. Bulunan formül örneklerle desteklenerek geçerliliğinin sağlanması amaçlanmıştır.

ÖNERİLER 1. tan(n𝜶) için bulunan Q- matrisi benzer yöntemler kullanılarak trigonometrinin geneline yaygınlaştırılabilir. 2. Bulunan denklem sistemi olimpiyat soruları hazırlanmasında ve bunların çözümlenmesinde kullanılabilir. 3. Eğim hesaplamalarında tek bir açı üzerinden bütün değerler rahatlıkla hesaplanarak karmaşık işlemler daha basite indirgenebilir.

KAYNAKÇA A.Dunlap. Richard; Altın Oran ve Fibonacci Sayıları;Tübitak Popüler Bilim Kitapları;2011 Toy, Memnune; Fibonacci ve Lucas Sayılarının Bölünebilme Özellikleri; Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü; Yüksek Lisans Tezi; 2009 Civciv. Hacı; Fibonacci ve Lucas Matris Dizileri ve Özellikleri; Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü; Doktora Tezi; 2009 ALTUNAS, A., (2015). LYS Matematik Konu Anlatımlı Soru Bankası; Birey Yayınları ASMA, N. , BIYIK, H; (2015)LYS Matematik Konu Anlatımlı; Esen Yayınları Güleç, Hasan Hüseyin; Fibonacci Dizileri ve Fibonacci Matrislerinin Determinantları, Normları Üzerinde Bir Çalışma; Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü; Yüksek Lisans Tezi; 2007 Kuşaksız, Zişan; Euclid Algoritması ve Pell Sayıları Üzerine; Gazi Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü; Yüksek Lisans Tezi; 2014

DİNLEDİĞİNİZ İÇİN TEŞEKKÜR EDERİZ