Bu derste ders notundan 57,58,59 ve 67,68,69,70,71 nolu sayfalar kullanılacak

Özellik Genelleştirilmiş Üçgen Eşitsizliği Tanıt yerine alınıp tekrarlanırsa Norm süreklidir

1) Euclid Uzayı Norm: Metrik: 2) Dizi Uzayı Norm: Metrik: 3) Sürekli Fonksiyonlar Uzayı Norm: Metrik: Ders notundan 57,58,59 nolu sayfalar bu arada olacak

Teorem NU4 Lineer Kombinasyonlar ‘de lineer bağımsız bir küme Tanıt tanıt tamamlandı Bu durumda tanıtlanması gereken Varsayalım ki dizisi oluşturulsun

Her j için sınırlı bir dizi Weierstrass-Bolzano Teoremi Her sınırlı dizinin yakınsak bir alt dizisi vardır Hatırlatma yakınsak bir alt dizisi var ‘de ‘in bu diziye karşılık düşen altserisi olsun yeni bir dizi oluşturuldu

tüm ‘ler sıfır değil lineer bağımsız Varsayalım ki dizisi oluşturulsun ‘in alt dizisi Çelişki !!!

Açık kümedir ‘nın ‘deki tümleyeni açık ise Kapalı kümedir. X=(X,d) metrik uzay normlu uzay ‘de kapalı ‘in kapalı alt uzayı alt uzay Bancah uzayı ‘in alt uzayı, normlu uzay ‘in alt uzayıdır. Tam olmayabilir X=(X,d) metrik uzay ‘de yoğundur ‘in sayılabilir, ‘de yoğun alt kümesi varsa ayrılabilirdir. normlu uzay ayrılabilir Tekrar

Teorem NU5 Tamlık ‘in alt uzayı, Tamdır. *Her sonlu boyutlu normlu uzay tamdır. Teorem NU6 Kapalılık ‘in alt uzayı, ‘de kapalıdır. *Normlu uzayın her sonlu boyutlu altuzayı, normlu uzayda kapalıdır. Eşdeğer Normlar ‘de tanımlı normlar Teorem NU7 Eşdeğer Normlar Sonlu boyutlu vektör uzayında tanımlı herhangi bir norm, herhangi bir başka norma eşdeğerdir. *Sonlu boyutlu vektör uzayında her normbir başka norma eşdeğerdir.

Kompaklık kompaktır’de yakınsak altdizi kompaktır’de yakınsak altdizi Teorem NU8 Kompaklık kompak kapalı ve sınırlı. Teorem NU9 Kompaklık kompak kapalı ve sınırlı. *Sonlu boyutlu normlu uzayın herhangi bir alt kümesinin kompak olması için gerek ve yeter koşul alt kümenin kapalı ve sınırlı olmasıdır.

Riesz’in Lemması ve ‘in alt uzayları, kapalı ve ‘nin uygun alt kümesi Boyut ile ilgili bir kısıtlama yok. Teorem NU10 Sonlu Boyut ‘de kompak sonlu boyutlu Kapalı birim yuvar Teorem NU11 Sürekli Dönüşüm sürekli kompak ‘nin altındaki görüntüsü kompaktır Sonuç Teorem Maksimum ve Minumum sürekli kompak ‘de maksimum ve minimumlarına erişir Ders notundan 67,68,69,70,71 nolu sayfalar bu arada olacak

Teorem NU15 Norm sınırlı lineer operatör ‘nin normu şu şekilde de ifade edilebilir: Norm koşullarını sağlar Tanıt olsun lineer Norm koşullarını sağlar mı?