Avusturyalı Fizikçi Erwin Schrödinger, de Broglie dalga denkleminin zamana ve uzaya bağlı fonksiyonunu üst düzeyde matematik denklemi hâline getirmiştir. Daha sonra bu denklemi geliştirerek zamandan bağımsız dalga fonksiyonu (ψ) olarak düzenlemiştir. Schrödinger Dalga Denklemi adı verilen bu eşitlik, atomun yapısını açıklamakta daha temel bir yaklaşımdır. Schrödinger, çalışmaları sonucunda Heisenberg'in ‟Belirsizlik Prensibini” destekleyen açıklamalar yapmıştır.

‟Atom içinde hareket eden elektronların doğru konumundan söz etmek mümkün değildir. Ancak elektronların bulunma ihtimallerinin yüksek olduğu yerler tespit edilebilir.” Heisenberg Belirsizlik İlkesi, Schrödinger’in çalışmalarının kabaca bir özeti gibi kabul edilebilir. Schrödinger’in açıklamalarına göre, hidrojen atomunun elektronu çekirdekten itibaren sonsuza kadar bulunabilir. Ancak bu ihtimal belirli bir mesafeye kadar çok yüksekken, bu mesafeden sonra neredeyse sıfır olur. Elektronun bulunma olasılığının fazla olduğu yerlere elektron bulutu adı verilir.

Elektronun atom içindeki davranışını belirlemek için sayı ve semboller kullanıldı. Modern atom teorisinde elektronun durumunu açıklayan bu sayılara kuantum sayıları denildi. Kuantum sayıları ; Baş kuantum sayısı (n), Orbital (yörüngesel) kuantum sayısı (l), Manyetik kuantum sayısı (ml), Spin manyetik kuantum sayısı (ms) şeklindedir. İlk üçü elektronların bulunma olasılığının en yüksek olduğu yerlerin ve bu yerlerdeki elektron sayılarının belirlenmesinde kullanılır spin kuantum sayısı, elektronun davranışını belirlemede kullanılır.

Baş kuantum sayısı (n): Atom içerisindeki elektronun zamanının çoğunu geçirdiği bölgelere kabuk denir. n ile gösterilen baş kuantum sayısı kabukların pozitif tam sayılarla numaralandırılmasıdır (n = 1, 2, 3, 4, ...). Kabuklar ‟K, L, M, N, O, P...” harfleriyle gösterilmektedir. Baş kuantum sayısı, çok elektronlu atomların kabuklarının yerinin tespitinde yetersiz kalmaktadır. Ancak, hidrojen atomu gibi tek elektronlu atomlarda kabukların yeri kesin çizgilerle bellidir.

Orbital (yörüngesel) kuantum sayısı (l): Elektronun atom çekirdeği etrafında en fazla bulunduğu yerlerdir. Her orbitalin kendine özgü bir elektron yoğunluğu ve enerjisi vardır. baş kuantum sayısı n’ ye bağlıdır. Orbital kuantum sayısı, n-1’e kadar bütün tam sayı değerlerini alabilmektedir (l = 0, 1, 2, 3, ... (n-1)). l değerleri alt kabukları ifade eder. Yani elektronlar kabuklarda farklı enerji seviyelerine ayrılır. Alt kabuklar ‟s, p, d, f, g, h... ” harfleriyle gösterilmektedir.

Baş kuantum sayısı ile orbital kuantum sayısı arasındaki ilişkiyi birkaç örnekle açıklayalım;

Alt kabuklar için elektron bulutlarının şekli birbirinden farklılıklar göstermektedir. yandaki şekildeki gibi hidrojen atomu için s alt kabuğu için elektron bulutunda her zaman küresel simetri varken p, d ve f alt kabuklarının elektron bulutları kompleks şekillerden oluşmaktadır.

Bohr, atom modelinde elektronun açısal momentumunu, Modern fizikçiler geliştirerek; şekline dönüştürmüşlerdir. Bu ifadeden hareketle üç farklı çıkarımda bulunmuşlardır. Açısal momentum sıfır olabilir. Her bir kabuktaki elektronların sahip olabileceği açısal momentum değerleri birden fazla olabilir. Farklı kabuklardaki elektronlar aynı açısal momentum değerinde olabilir.

Manyetik kuantum sayısı (ml): Modern fizikçiler, dış manyetik alan etkisinde kalan atomlar üzerinde deneyler yaparken aynı alt kabuktaki elektronların açısal momentumlarının büyüklüklerinin aynı olmasına karşın bu vektörlerin yönlerinin farklı olduğunu keşfettiler. l=0 kabuğunda, açısal momentum sıfır (açısal momentum manyetik alana dik) olduğundan yönlenme olmazken l=1’de 3, l=2’de 5 farklı yönlenme tespit ettiler. L açısal momentum vektörünün manyetik alan yönündeki bileşenine manyetik kuantum sayısı adı verilir. Manyetik kuantum sayısı, ml ile gösterilir ve orbital kuantum sayısı l’ye bağlıdır. ml, - l ile + l değerleri arasındadır. 2l +1 tane değer alır. Manyetik alanın, z ekseni yönünde kabul edilmesi koşuluyla açısal momentum vektörünün z eksenindeki bileşeni Lz = mlħ olur. Bu durumda; (ml = - l, ....., 0, ....., +l) arasında değerler alır.

Orbital kuantum sayısıyla manyetik kuantum sayısı arasındaki ilişkiyi ml ‘nin 2l+1 adet değer aldığı ifadesiyle açıklayacak olursak; l = 0 için ml = 0 (1 tane s orbitali), l = 1 için ml = -1, 0, +1 (3 tane p orbitali), l = 2 için ml = -2, -1, 0, +1, +2 (5 tane d orbitali), l = 3 için ml = -3, -2, -1, 0, +1, +2 , +3 (7 tane f orbitali) şeklindedir.

Spin manyetik kuantum sayısı (ms): Otto Stern ve Walter Gerlach adlı iki fizikçi yaptıkları deneyle çok elektronlu atomların spektrum analizlerinin o zamana kadarki teoriyle uyuşmadığını fark etmiş ve elektronun kendine özgü bu hareketini açıklayamamışlardır Daha sonra bu harekete spin (dönme) hareketi adını vermişlerdir. İngiliz fizikçi Paul Dirac elektronların hareketini göreli açıdan incelemiş, kendi eksenleri etrafında dönmeseler bile elektronların böyle bir etkiyi oluşturacak özelliğe sahip olduklarını söylemiştir. Spin, elektronun kütle, yük ve çevresel koşullarından bağımsız özel bir hareketidir. Spin kuantum sayısıyla (ms) tanımlanır Spin kuantum sayısı, sadece 1/2 değerini alabilir.

Elektron spini, şekilde görüldüğü gibi dış manyetik alan etkisinde spin yukarı ve spin aşağı yönlenmeleri yapar. Spin kuantum sayısı, ms = + 1/2 ve ms = - 1/2 değerlerindedir Kuantum sayıları elektronun yerini ve bulunduğu yerdeki davranışını kolayca açıklayabilirken elementlerdeki elektronların enerji seviyelerine göre yerleşimini ve kimyasal bağların nasıl molekül oluşturduğunu açıklayamamaktadır.

İsviçreli Fizikçi Wolfgang Pauli , 1925 yılında kuantum sayılarıyla anlatılan kabuk ve alt kabuklarda ne kadar elektron bulunabileceği belirtmiştir Bu sayede, elementlerin elektron sayıları net bir şekilde tespit edilebilir. Pauli Dışarma İlkesi olarak adlandırılan bu ilkeye göre, bir atomda iki elektron hiçbir zaman aynı kuantum sayılarına sahip olamaz. Bu nedenle her bir orbitale ancak iki elektron yerleşebilir Elementlerin kimyasal özellikleri, bu durumla ilişkilidir. Pauli araştırmalarını kabuklara indirgeyerek bir kabukta bulunabilecek maksimum elektron sayısının, n kabuk numarası olmak şartıyla, formülüyle belirler.

Kabuklarda bulunabilecek maksimum elektron sayıları; Periyodik tabloda elementlerin elektron dizilişleri bu kurala göre yapılmaktadır.