YİRMİNCİ YÜZYILDA MATEMATİĞİ SARSAN TEMEL DÜŞÜNCELER – KAOS KURAMI

Aristo. MÖ 300 yıllarında Aristo ( MÖ ) hareket için gözlemlerine dayalı yasalar koymuştur.  Cisimler ağırlıklarıyla doğru orantılı bir ivmeyle yere düşerler  Bir cismin hareket etmesi için ona sürekli bir kuvvet etki etmelidir. Ptolemy. MS 150’lerde Claudius Ptolemy’nin Yermerkezli evren Kopernik. Nicolaus Copernicus ( ) Günmerkezli evren

Kepler ( ) Evren kuramını Johann Kepler geometrik bir modele oturttu.  Bir gezegenin yörüngesi, bir odağında güneşin yer aldığı bir elipstir.  Güneşi gezegene birleştiren doğru eşit zaman aralıklarında eşit alanlar süpürür.  Gezegenin periodunun karesi güneşe olan ortalama uzaklığının küpüyle orantılıdır. Galileo Galilei ( )  Günmerkezli evren (Kopernik’in kuramını doğruladı)  Bütün cisimler aynı ivmeyle yere düşer (Aristonun ilk yasasını çürütür)

Isaac Newton ( ). Newton’un Hareket Yasaları;  Hareketli bir cisim dışarıdan bir kuvvetle etkilenmezse düzgün doğrusal hareketini ilelebet sürdürür.  Kütlesi m olan bir cisme. uygulanan F kuvvetiyle a ivmesi arasında F = ma bağıntısı vardır.  Her etkiye karşı ona eşit bir tepki vardır.  Newton’un hareket yasaları ‘deteminizm’in temelidir. Newton’dan sonra 20’inci yüzyılın başına dek hareketle ilgili her şeyin Newton’un Hareket Yasaları’ndan çıktığına inanılacaktır

 Bir fiziksel sistemin şimdiki durumu, önceki durumunun sonucudur.  Dolayısıyla her olay ve hareketi önceden belirlemek mümkündür.  Başlangıç koşulları bilinince, ona uyan biricik analitik çözümü bulabiliriz. Böylelikle sistemin t zaman sonra ve t zaman önceki durumlarını saptamak mümkündür. Bu gerçekte pek çok sistem için imkansızdır. Bu imkansızlık kaos diye anılan fenomenelri yaratır.

Fransız matematikçi Jacques Hadamard başlangıç koşullunda bir hata yapıldığında sistemin uzun dönemde öngörülemez olacağını belirtti. Henry Poincare 1900’lerde güneş sisteminin hareketini belirleyen denklem çözümünün başlangıç koşullarının doğru olarak saptanamayacağı için güneş sisteminin sağlam ya da hassas yapıda olup olmadığının belirlenemeyeceğini ispatladı. Bu öngörülemez durum için «kaos» terimini kullanan ilk kişidir.

Edward Norton Lorenz ( ), ABD'li matematikçi ve meteorolog, Lorenz, 1963 yılında MIT'de bilgisayarıyla hava olaylarını modelleyen bir algoritma yazmıştı. Fakat bu model başlangıç koşullarına öylesine hassas bağımlıydı ki binde birlik bir farktan büyük hava değişimler ortaya çıkıyordu. Bu da onu ilerde ünlü “kelebek etkisi” ilkesine götürecekti.. Lorenz hava tahmininde beklediği sonuçlara ulaşamadı; ama yıllar önce Poinceré'in bulduğu kaotik davranışı yeniden keşfetmişti. Lorenz buluşunu bu aşamada bırakmadı ve kaotik matematik modellerin peşine düştü. Bunlardan en ünlüsü Lorenz çekicisidir. Şekli birbirini hiç kesmeyen, ama sürekli içi içe geçmiş iki spiralden oluşmuşur.

Kelebek etkisi, bir sistemin başlangıç verilerindeki küçük değişikliklerin büyük ve öngörülemez sonuçlar doğurabilmesine verilen addır. Başlangıç koşullarına hassas bağımlılık Kelebek etkisinin adı, Edward N. Lorenz'in hava durumuyla ile ilgili verdiği şu örnekten gelmektedir. «Brezilya’da bir kelebek kanat çırpsa Teksas’ta kasırga çıkartabilir.»

Kaos (chaos) : Davranışı öngörülemeyen dinamik sistemlerini ve onların davranışlarını kaos olarak nitelendiriyoruz. Örneğin;  Fiziksel sistem karmaşıklaştıkça, diferansiyel denklemlerdeki değişken sayısı artar, denklemdeki terimlerin dereceleri büyür ve sistem doğrusal olmaktan çıkar. Bu tip denklemlerin analitik çözümleri yoktur.  N cisim problemi

Tahmin etmeye engel olan üç neden;  Sistemin analitik çözümü yoktur.  Hiçbir başlangıç koşulunu tam olarak belirleyemeyiz (Ölçümlemede belirsizlik ilkesi)  Başlangıç koşullarındaki küçük değişimin sonuçta çok büyük farklara neden olması. (Kelebek etkisi)

Farklı sistemler ve farklı başlangıç koşulları için Lorenz çekerlerini canlandıran çok sayıda bilgisayar programı yazıldı. Böylelikle Kaos teorisi ile fraktal geometri arasında bir bağıntı oluşturulmuştur. En önemlileri: Maldelbrot Kümeleri

Her adımda siyah renkli eşkenar üçgenlerden her biri dört eşkenar üçgene ayrılır ve her adımda ortadaki atılır. Sonsuz adım sonra oluşan şekle Sierpinski üçgeni denir

  Matematik Dünyası 1.sayı 