1 İ STATİSTİK II Tahminler ve Güven Aralıkları - 1

2 1 Bir Anakütle Ortalamasının Tahmini: Büyük Örnekler 2 Bir Anakütle Ortalamasının Tahmini: Küçük Örnekler 3 Bir Anakütle Oranının Tahmini 4 Bir Anakütle Varyansının Tahmini

3 Bir Anakütle Ortalamasının Tahmini: Büyük Örnekler

4 Varsayımlar  n  30  Basit şans örneği Aynı büyüklükteki tüm örneklerin seçilme şansı eşit.

5 Tanımlar  Tahminleyici Bir anakütle parametresini tahmin etmek için kullanılan bir formül.  Tahmin Bir anakütle parametresine yaklaşmak için kullanılan değer yada değerler aralığı  Nokta Tahmini Bir anakütle parametresine yaklaşmak için kullanılan tek bir değer

6 Tanımlar Güven Aralığı (veya Aralık Tahmini) Bir anakütle parametresinin gerçek değerini tahmin etmek için kullanılan değerler aralığı Alt değer < anakütle parametresi < Üst değer Örnek olarak Alt değer <  < Üst değer

7 güven aralığı, 1 -  olasılığı ile anakütle parametresini içerir. genellikle 90%, 95%, veya 99% (  = 10%), (  = 5%), (  = 1%) Tanımlar Güven Derecesi (güven seviyesi veya güven katsayısı)

8 Bir güven aralığının yorumu Doğru: ve aralığı, %95 olasılıkla  ’ nün gerçek değerini içerir. Yanlış:  nün gerçek değerinin ile arasına düşmesi olasılığı %95’tir o < µ < o

9 Güven Aralığının Elde Edilmesi

10 Kritik Değer z=0 z  2 -z  2  2 Standart normal dağılış tablosundan bulunur.

11 Tanım Hata toleransı Tahminin maksimum hatası E = z  /2  n

12 Anakütle Ortalaması µ İçin Güven Aralığı (Büyük Örnek İçin: n >=30) x - E < µ < x + E

13 x - E < µ < x + E µ = x + E Anakütle Ortalaması µ İçin Güven Aralığı (Büyük Örnek İçin: n >=30)

14 x - E < µ < x + E (x + E, x - E) Anakütle Ortalaması µ İçin Güven Aralığı (Büyük Örnek İçin: n >=30)

15  Bilinmediğinde E’nin Hesaplanması  n >= 30 ise,  yerine örnek standart sapması s kullanılabilir.  n < 30 ise, anakütlenin dağılışı normal olduğunda ve  bilindiğinde aynı güven aralığı formülü kullanılabilir.

16 Örnek: Bir araştırma için, 106 sağlıklı yetişkinin vücut sıcaklıkları incelenmiştir. Örnek ortalaması 98.2 derece ve örnek standart sapması 0.62 derece olarak bulunmuştur. Gerçek sıcaklık ortalaması için %95 güven aralığını bulunuz.

17 n = 106 x = 98.2 o s = 0.62 o  = 0.05  / 2 = z  / 2 = 1.96 Örnek: Bir araştırma için, 106 sağlıklı yetişkinin vücut sıcaklıkları incelenmiştir. Örnek ortalaması 98.2 derece ve örnek standart sapması 0.62 derece olarak bulunmuştur. Gerçek sıcaklık ortalaması için %95 güven aralığını bulunuz.

18 n = 106 x = o s = 0.62 o  = 0.05  / 2 = z  / 2 = 1.96 E = z  / 2  = = 0.12 n 106 Örnek: Bir araştırma için, 106 sağlıklı yetişkinin vücut sıcaklıkları incelenmiştir. Örnek ortalaması 98.2 derece ve örnek standart sapması 0.62 derece olarak bulunmuştur. Gerçek sıcaklık ortalaması için %95 güven aralığını bulunuz.

19 n = 106 x = o s = 0.62 o  = 0.05  / 2 = z  / 2 = 1.96 E = z  / 2  = = 0.12 n 106 x - E <  < x + E Örnek: Bir araştırma için, 106 sağlıklı yetişkinin vücut sıcaklıkları incelenmiştir. Örnek ortalaması 98.2 derece ve örnek standart sapması 0.62 derece olarak bulunmuştur. Gerçek sıcaklık ortalaması için %95 güven aralığını bulunuz.

20 n = 106 x = o s = 0.62 o  = 0.05  / 2 = z  / 2 = 1.96 E = z  / 2  = = 0.12 n 106 x - E <  < x + E o <  < o Örnek: Bir araştırma için, 106 sağlıklı yetişkinin vücut sıcaklıkları incelenmiştir. Örnek ortalaması 98.2 derece ve örnek standart sapması 0.62 derece olarak bulunmuştur. Gerçek sıcaklık ortalaması için %95 güven aralığını bulunuz.

21 n = 106 x = o s = 0.62 o  = 0.05  / 2 = z  / 2 = 1.96 E = z  / 2  = = 0.12 n 106 x - E <  < x + E o <  < o o <  < o Örnek: Bir araştırma için, 106 sağlıklı yetişkinin vücut sıcaklıkları incelenmiştir. Örnek ortalaması 98.2 derece ve örnek standart sapması 0.62 derece olarak bulunmuştur. Gerçek sıcaklık ortalaması için %95 güven aralığını bulunuz.

22 Bir Anakütle Ortalamasının Tahmini: Küçük Örnekler

23 1) n < 30 2) Örnek, basit şans örneğidir. 3) Örnek, normal dağılış gösteren bir anakütleden alınmıştır. Küçük Örnekler Varsayımlar

24 Student t Dağılışı Bir anakütlenin dağılışı normal ise, t = x - µ s n

25 Student t Dağılışı Bir anakütlenin dağılışı normal ise,  istatistiğinin dağılışı serbestlik derecesi n – 1 olan bir Student t Dağılışıdır.  kritik değerler olur. t = x - µ s n t  / 2

26 Tanım Serbestlik Derecesi ( df ) tüm veri değerleri üzerine yüklenen sınırlamalar sonrası serbestçe değişebilecek veri sayısına karşılık gelir.

27 Tanım Serbestlik Derecesi ( df ) tüm veri değerleri üzerine yüklenen sınırlamalar sonrası serbestçe değişebilecek veri sayısına karşılık gelir. df = n - 1

28 Hata toleransı E burada t  / 2 nin serbestlik derecesi n – 1’dir. n E = t   s 2

29  için güven aralığı  ’nın bilinmediği ve küçük örneğin normal dağılış gösteren bir anakütleden alındığı varsayımı altında

30  için güven aralığı  ’nın bilinmediği ve küçük örneğin normal dağılış gösteren bir anakütleden alındığı varsayımı altında x - E < µ < x + E

31  için güven aralığı  ’nın bilinmediği ve küçük örneğin normal dağılış gösteren bir anakütleden alındığı varsayımı altında x - E < µ < x + E burada E = t  /2 n s

32  için güven aralığı  ’nın bilinmediği ve küçük örneğin normal dağılış gösteren bir anakütleden alındığı varsayımı altında x - E < µ < x + E burada E = t  /2 n s t  /2 izleyen tablodan bulunur.

33 Serbestlik derecesi Large (z) t Dağılışı

34 Student t Dağılışını önemli özellikleri 1.Farklı örnek miktarları için t dağılışının şekli farklıdır. 2.Student t dağılışının şekli normal dağılış gibi çan şeklindedir. Ancak yayılması örnek miktarları küçüldükçe daha fazlalaşır. 3.Student t dağılışının beklenen değeri 0’dır. 4. Student t dağılışının standart sapması 1’den büyüktür. 5.Örnek miktarı n büyüdükçe Student t dağılışı, normal dağılışa yaklaşır. n >= 30 için, aradaki fark çok azdır.

35 Student t dağılışı n = 3 Student t Dağılışı n = 3 ve n = 12 durumu 0 Student t Dağılışı n = 12 Standart normal dağılış

36 Örnek: Çeşitli kazalara karışan 12 Dodge Vipers marka otomobilin onarım giderlerinin ortalaması $26,227 ve standart sapması $15,873 tutmuştur. Giderlerin dağılışının normal olduğu varsayımı altında, tüm kazalara karışan Dodge Vipers’ların gerçek ortalama onarım giderleri için %95 güven aralığını bulunuz.

37 Örnek: Çeşitli kazalara karışan 12 Dodge Vipers marka otomobilin onarım giderlerinin ortalaması $26,227 ve standart sapması $15,873 tutmuştur. Giderlerin dağılışının normal olduğu varsayımı altında, tüm kazalara karışan Dodge Vipers’ların gerçek ortalama onarım giderleri için %95 güven aralığını bulunuz. x = 26,227 s = 15,873  = 0.05  / 2 = 0.025

38 Degrees of freedom Large (z) (one tail).01 (two tails) (one tail).02 (two tails).025 (one tail).05 (two tails).05 (one tail).10 (two tails).10 (one tail).20 (two tails).25 (one tail).50 (two tails) Table A-3 t Distribution

39 Örnek: Çeşitli kazalara karışan 12 Dodge Vipers marka otomobilin onarım giderlerinin ortalaması $26,227 ve standart sapması $15,873 tutmuştur. Giderlerin dağılışının normal olduğu varsayımı altında, tüm kazalara karışan Dodge Vipers’ların gerçek ortalama onarım giderleri için %95 güven aralığını bulunuz. x = 26,227 s = 15,873  = 0.05  / 2 = t  / 2 = E = t  2 s = (2.201)(15,873) = 10, n 12

40 Örnek: Çeşitli kazalara karışan 12 Dodge Vipers marka otomobilin onarım giderlerinin ortalaması $26,227 ve standart sapması $15,873 tutmuştur. Giderlerin dağılışının normal olduğu varsayımı altında, tüm kazalara karışan Dodge Vipers’ların gerçek ortalama onarım giderleri için %95 güven aralığını bulunuz. x = 26,227 s = 15,873  = 0.05  / 2 = t  / 2 = E = t  2 s = (2.201)(15,873) = 10,085.3 n 12 x - E < µ < x + E

41 Örnek: Çeşitli kazalara karışan 12 Dodge Vipers marka otomobilin onarım giderlerinin ortalaması $26,227 ve standart sapması $15,873 tutmuştur. Giderlerin dağılışının normal olduğu varsayımı altında, tüm kazalara karışan Dodge Vipers’ların gerçek ortalama onarım giderleri için %95 güven aralığını bulunuz. x = 26,227 s = 15,873  = 0.05  / 2 = t  / 2 = E = t  2 s = (2.201)(15,873) = 10,085.3 n 12 26, ,085.3 < µ < 26, ,085.3 x - E < µ < x + E

42 Örnek: Çeşitli kazalara karışan 12 Dodge Vipers marka otomobilin onarım giderlerinin ortalaması $26,227 ve standart sapması $15,873 tutmuştur. Giderlerin dağılışının normal olduğu varsayımı altında, tüm kazalara karışan Dodge Vipers’ların gerçek ortalama onarım giderleri için %95 güven aralığını bulunuz. x = 26,227 s = 15,873  = 0.05  / 2 = t  / 2 = E = t  2 s = (2.201)(15,873) = 10,085.3 n 12 26, ,085.3 < µ < 26, ,085.3 $16,141.7 < µ < $36,312.3 x - E < µ < x + E

43 Örnek: Çeşitli kazalara karışan 12 Dodge Vipers marka otomobilin onarım giderlerinin ortalaması $26,227 ve standart sapması $15,873 tutmuştur. Giderlerin dağılışının normal olduğu varsayımı altında, tüm kazalara karışan Dodge Vipers’ların gerçek ortalama onarım giderleri için %95 güven aralığını bulunuz. x = 26,227 s = 15,873  = 0.05  / 2 = t  / 2 = E = t  2 s = (2.201)(15,873) = 10,085.3 n 12 26, ,085.3 < µ < 26, ,085.3 x - E < µ < x + E Bu aralığın bir Dodge Viper’ın ortalama onarım giderini içerdiğinden %95 eminiz. $16,141.7 < µ < $36,312.3

44 Bir Anakütle Oranının Tahmini

45 Varsayımlar 1. Örnek, basit şans örneğidir. 2. Başarı sayısının dağılışı binomdur. 3. np  5 ve nq  5 olduğunda normallik yaklaşımı kullanılabilir.

46 q = 1 - p Örnek oranı (n denemede x başarısızlığın oranı) p =p = ˆ xnxn Örnek oranı (p için en iyi nokta tahmini) (n denemede x başarının oranı) ˆ p =p = Anakütle oranı Oranlar İçin Notasyon ˆ

47 p’nin tahmininin hata toleransı zz  E = n ˆˆ p q

48 Anakütle Oranı İçin Güven Aralığı p - E < < + E burada ˆ p ˆ p zz  E = n ˆˆ p q

49 Anakütle Oranı İçin Güven Aralığı p - E < < + E ( p - E, p + E) ˆ p ˆ p ˆˆ

50 Örnek: Grip aşısı yaptıran rastgele seçilmiş 400 kişiden 136’sı aşı sonrası sıkıntı yaşamıştır. Aşı sonrası sıkıntı yaşayanların gerçek oranı için %95 güven aralığını bulunuz.

51 Örnek: Grip aşısı yaptıran rastgele seçilmiş 400 kişiden 136’sı aşı sonrası sıkıntı yaşamıştır. Aşı sonrası sıkıntı yaşayanların gerçek oranı için %95 güven aralığını bulunuz. n = 400,

52 Bir Anakütle Varyansının Tahmini

53 Varsayımlar 1. Örnek, bir basit şans örneğidir. 2. Anakütlenin dağılışı normaldir.

54 n = örnek miktarı s 2 = örnek varyansı  2 = anakütle varyansı df = serbestlik derecesi = n – 1 Ki-Kare Dağılışı =  2 (n - 1) s 2

55 Ki-Kare Dağılışı

56 Ki-kare istatistiğinin dağılışının özellikleri 1.ki-kare dağılışı simetrik değildir 2.Serbestlik derecesi arttıkça, dağılış daha simetrik hale gelir (normale yaklaşır) df = 10 df = 20 Tüm değerler sıfır veya pozitif Simetrik değil x2x2 0

57 Chi-Square ( x 2 ) Distribution _ Table A-4 _ Area to the Right of the Critical Value Degrees of freedom

58 Kritik Değerler: Table A X L 2 = X 2 (df = 9) X R = kuyruğun sağındaki alanlar

59  2 ‘nin tahminleyicileri Örnek varyansı s, anakütle varyansı  2 nin en iyi nokta tahminleyicisidir. (sapmasız, etkin) 2

60  2  (n - 1) s 2 X 2 R X 2 L Sağ kuyruk KD Sol kuyruk KD (n - 1) s 2 X 2 R X  2 L Anakütle varyansı  2 için güven aralığı Standart sapma  için güven aralığı

61 Örnek: yeni tasarlanan bir otomobil motorunun benzin tüketiminin varyansını tahminlemek için 16 motor test edilmiş ve örnek standart sapması 2.2 galon bulunmuştur. Gerçek tüketim varyansı için %99 güven aralığını bulunuz.

62 Örnek: yeni tasarlanan bir otomobil motorunun benzin tüketiminin varyansını tahminlemek için 16 motor test edilmiş ve örnek standart sapması 2.2 galon bulunmuştur. Gerçek tüketim varyansı için %99 güven aralığını bulunuz.