AKIŞKANLAR MEKANİĞİ Prof. Dr. M. Tunç ÖZCAN Tarım Makinaları Bölümü 4

DÜZENLİ AKIMLARDA ENERJİ EŞİTLİĞİ Enerji, iş yapabilme yeteneğidir. Birimi kgf-m veya kWh'tir. Hidrolikte başlıca iki çeşit enerji göz önüne alınır Birincisi “Potansiyel enerji” ve ikincisi “Kinetik enerjidir.”

Konum Enerjisi Yerçekimi etkisindeki bir su kütlesinin, bulunduğu (yükseklik) veya konumu nedeniyle sahip olduğu enerjidir. Konum enerjisi bir karşılaştırma düzlemine göre belirlenir.. Bu nedenle konum enerjisi (Z) yükseklik farkı ile belirlenir. Belirli bir karşılaştırma düzleminden (Z) kadar yüksekte (  ) özgül ağırlığında ve birim hacimdeki sıvının ağırlığının yarattığı Es = .V Z Birim hacimdeki sıvının ağırlığı için suyun konum enerjisi yüksekliğine eşittir ve "Konum yükü" olarak da adlandırılır. V=1m3 için eşitlik düzenlenirse Es= . Z

Aynı sıvı kütlesi içindeki farklı noktalar için aşağıdaki eşitlikler yazılabilir. E SA = .Z A E SB = .Z B E SC = .Z C

Basınç Enerjisi Serbest su yüzeyinden dikkate alınan noktaya kadarki su sütununun ağırlığına eşit enerji basınç enerjisidir. p = .h Basınç enerjisi. h = p/  "basınç yükü"dür.

Toplam Potansiyel Enerji Toplam potansiyel enerji o noktanın basınç ve konum enerjileri toplamına eşittir. Ep = Eb + Es =  h + .Z =  (h + Z) Toplam potansiyel yük olarak ifade edildiğinde Ep = h+Z (h=p/  ) Ep =Z+p/  Potansiyel yük, hidrolik yük veya statik yük adlarıyla anılır.

Kinetik Enerji Akışkanın birim kütlesinin hızı nedeniyle sahip olduğu iş yapabilme yeteneğidir. Ek = (½).m.V 2 m =  /g Ek =(½)(  /g).V 2 Bu eşitlik, birim kütle için ve (m =  /g) eşitliğinde su için (  =1) yerine konarak düzenleme yapılırsa, Bu ifadeye "hız yükü" denir Ek = V 2 / 2.g

Toplam Enerji Sıvıların birim ağırlığının konumu, basıncı ve hızı nedeniyle sahip olduğu iş yapabilme yeteneğine "Toplam enerji" denir. Toplam enerji, potansiyel enerji ile kinetik enerji toplamına eşittir. E = Ep + Ek E = Es + Eb + Ek E = Z + ( p /  ) + ( V 2 / 2g) [m = m +(kg/m 2 )/(kg/m 3 ) + (m/s) 2 /(m/s 2 ) ]

İdeal Akışkanda Akım Çizgisi Boyunca Toplam Enerji Eşitliği

İdeal Akışkanda Akım Çizgisi Boyunca Toplam Enerji Eşitliği Bir akım çizgisi boyunca hareket eden silindirik bir sıvı kütlesi alalım. Silindirin tabanı (dA)alanında ve yüksekliği (dS) olsun. Özgül ağırlığı (  ) olan bu sıvı kütlesine taban kısmına (p) basıncı etkiyorsa tavan kısmına da (p+dp) basıncı etkiyecektir.Bu sıvı kütlesine etki eden dış kuvvetler toplamı kütle ile ivme çarpımına eşittir (Newton ikinci kanun).

Bir akım çizgisi boyunca hareket eden elementer sıvı parçasına etki eden kuvvetler; 1- Sıvı elemanına ivme verecek olan kuvvetler elemanın iki ucundaki basınç kuvvetlerinin farkıdır. Taban alanına (F 1 =p. dA) kuvveti Tavan alanına (F 2 =p+dp) kuvveti F= F 2 - F 1 p. dA - (p + dp) dA = p. dA - p dA - dp dA = - dp dA

2- Sıvı elemanın ağırlığı (F 3 ) ve bu ağırlığının hareket yönündeki bileşeni (F A )'dır. F A = F 3. cos  =  dA.dS. cos  Cos  = dz / ds  = .g F A = .g.dA.ds(dZ/ds)= .g.dA.dz F x = F 1 - F 2 - F A F x =p.dA -(p+dp) dA -  g dA dz = - dpdA - .g.dA.dz

Newton (m) kütlesine (a) kadar ivme veren kuvvet için aşağıdaki eşitliği geliştirmiştir.  F x = m.a m = .dA.ds a = V (dv/ds) - dpdA - .g.dA.dz = m.a - dpdA - .g.dAdz = .dA.ds. V (dv/ds) bütün terimler (- .dA) ile sadeleştirilir. (dp/  ) +(g.dz)+(V.dv) = 0 Bu eşitlik ideal sıvılar için “Euler eşitliği” olarak bilinir.

(dp/  ) +(g.dz)+(V.dv) = 0 Bu eşitliğin her terimi (g) ile bölünür, (V dv=dv 2 /2) eşiti yerine yazılır ve integrali alınırsa (bu yol Bernouilli adlı matematikcinin özel çözümüdür). (dp/  g) + d(v 2 /2g) + g/g dz = 0 fdp/  + fd(v 2 /2g) + fdz = 0 p/  + V 2 /2g + Z = sabit Bu eşitlik ideal sıvılar için “Bernouilli eşitliğidir”.

Gerçek Akışkanda Akım Çizgisi Boyunca Toplam Enerji Eşitliği

F 4 = sürtünme kuvvetidir. F 4 =  2. .r.ds  = Sıvı kütlesi dış yüzeyinde oluşan kayma gerilmesi, r =Silindir sıvı kütlesinin yarıçapı, ds =Silindir şekilli sıvı uzunluğu Kesme gerilmesinin oluştuğu alan (2  r ds) ve birim uzunluktaki kayma gerilmesi (  ) ise (F 4 ) şürtünme kuvveti olarak hareketi engelleyen yönde bir kuvvet olarak bu koşullara eklenmiştir.

Toplam enerji eşitliği:  F x = m.a  F x = F 1 -F 2 -F 3 -F 4 pdA-(p+pdp)dA-  g dA dz-  2. .r. ds= . ds.dA. V(dv/ds) -dp.dA - .g.dA.dz - .2. .r.ds = .ds.dA.V(dv/ds) (dA= .r 2 ) değerini eşitlikte yerine koyar ve (- .r 2 ) ile terimleri sadeleştirirsek (dp/  ) + g.dz +V.dv = -  (2. .ds)/( .r )  Gerçek sıvılar için Euler eşitliğidir.

(dp/  ) + g.dz +V.dV = -  (2. .ds)/( .r )  (2. .ds/ .r) akış halinde oluşan sürtünmeyi ifade eder. Bu terim (g) ile bölünür ve iki nokta arası için integrali alınırsa. 1 f 2 (dp /  )+ 1 f 2 dV 2 /2g + 1 f 2 dz = 1 f 2 - (2  ds/  r) (p2/  -p1/  )+(V 2 2 /2g-V 2 1 /2g)+(Z 2 -Z 1 )=-2  /  r(S 2 - S 1 ) S 2 - S 1 = L (p 2 /  -p 1 /  )+(V 2 2 /2g -V 1 2 /2g) +(Z 2 -Z 1 )=-2  L /  r ) (p 2 /  +V 2 2 /2g+Z 2 )=(p 1 /  +V 1 2 /2g+Z 1 ) -(2. .L/ .r) Gerçek akışkanlar için Bernoulli eşitliğidir.

(p 2 /  +V 2 2 /2g+Z 2 )=(p 1 /  +V 1 2 /2g+Z 1 )-(2. .L/ .r) Gerçek akışkanlar için Bernoulli eşitliğidir.

gerçek akışkanların hareketi sırasında sürtünmeler olduğunu ve sürtünmenin yuttuğu enerjinin toplam enerjiden giriş koşullarında çıkarılması veya çıkış koşuların da eklenmesi gerektiği anlaşılır. Sürtünme kayıpları H L veya h f1-2 ile gösterilir. H L = 2  L /  g r Z 1 +p 1 /  +V 1 2 /2g = Z 2 +p 2 /  +V 2 2 /2g+H L

Bernoulli eşitliğine göre sıkıştırılamayan ideal bir akışkanda düzenli akım durumunda konum, basınç ve kinetik enerji toplamı akım çizgisi boyunca sabittir. Gerçek akışkanlarda ise bu enerjinin bir kısmı sürtünme ile kaybolur. Z  Konum yükü (m) p/  Basınç yükü (m) V 2 / 2g  Hız yükü (m) Bu terimlerin toplamına "Toplam Yük" denir. (H) ile gösterilir. H = Z + p /  + V 2 / 2g

İdeal ve Gerçek Akışkanlarda Enerji Eğim Çizgisi ve Hidrolik Eğim Çizgisi Boru akımlarında statik ve dinamik yükleri ölçme amacıyla ; Piezometre borusu : Boru zarfına bağlıdır. Statik yükü veya hidrolik yükü gösterir Bu yüke aynı zamanda piezometrik yük de denir. ( Z+p/  ) Pitot borusu : Akışın belirli bir noktasında ve akışa dik kesit alanı bulunan kıvrık bir borudur. Akışkanın statik yükü yanında hareketiyle kazandığı hız yükünü de gösterir. ( Z+p/  +V 2 /2g) Manometre ile ölçümler: Boruya bağlanan manometreden piezometrik ölçüm yapar

A noktası B noktası HA=ZA +pA/  +V A 2 /2g HB =ZB +pB/  +V B 2 /2g İdeal akışkan

A noktası B noktası H A =Z A +p A /  +V A 2 /2g H B =ZB+pB/  +V B 2 /2g+hL Gerçek akışkan

Sifonlar Sifon, "U" biçiminde bükülmüş borudan oluşur. Sifonlarla depolardan, açık kanallardan su almak mümkün olmaktadır. Sifon gövdesinin bir kısmı su seviyesinin üzerindedir. Suyu depo seviyesinden yukarıya çıkarır ve depo seviyesinden daha aşağıda bir seviyede boşaltırlar. Sifonlar depo seviyesi ile sifon çıkış ağzı arasındaki yükseklik farkından faydalanarak çalışırlar. Çalışırken ek bir enerjiye gereksinim göstermezler.

Boru ekseni (B) noktasında HEÇizgisinden yukardadır. (B) noktasındaki akıma sifon akımı denir. Burada basınç yükü atmosfer basıncından düşüktür. buradaki düşük basınç suyun buharlaşma basıncı altına iner ve su buharlaşmaya başlar, bunun sonucu sifon akımı kesilir. sıvıların ani buharlaşmalarına “kavitasyon” denmektedir.

H A =Z A + p A /  +V A 2 /2g H C =Z C + p C /  +V C 2 /2g İki eşitlikteki terimleri tek tek inceleyelim, Z A = 0 ; (A) noktası (Z - Z) kıyas düzlemi üzerindedir. p A /  = p C /  = 0 ; (A) ve (C) noktalarında basınç sıfırdır. Bu iki noktada açık yüzeylidir. (C) noktası borunun çıkışımdadır sıvı atmosfer basıncı etkisine açılmıştır.

V A = 0; (A) noktası serbest su yüzeyinde olduğu için hızı sıfır kabul edilir. V C  0 ; Z C  0 Z C = - h 2 ; (C) noktasında sıvı V C hızıyla hareket etmektedir. Boru içinde ki hız da aynıdır. Bu nokta kıyas düzleminden (h 2 ) kadar aşağıdadır. 0 = - h 2 + V C 2 /2g; h 2 = V C 2 /2g

Sifonda boru çapı sabittir. Bu nedenle boruda bütün hızlar eşittir. (V C ) yerine (V) yazarak. Bu eşitlik Toricelli eşitliği olarak bilinmektedir. Süreklilik eşitliğinde hız ifadesinin eşitini yerine koyarak (d) çaplı sifonlar için sürtünmesiz debi eşitliğini elde edebiliriz.

Sürtünmeli koşullarda depodan sifon borusuna giriş kaybınında dikkate alınması gerekir. Giriş kaybı Hız yükünün giriş kayıp katsayısı (k g ) ile çarpılmasıyla hesaplanmaktadır. Bu kayıp miktarını (H k ) ile gösterirsek; H A =Z A + P A /  +V A 2 /2g H C =Z C + P C /  +V C 2 /2g +H k H k =k g (V C 2 /2g) 0 = - h 2 + V C 2 /2g + k g (V C 2 /2g) h 2 = (1+k g )(V C 2 /2g)

Sifonda boru çapı sabittir. Bu nedenle boruda bütün hızlar eşittir. Q=A*V süreklilik denkleminde yazarak sifon debisi aşağıdaki Eşitlik yardımıyla hesaplanabilir.

Sifonun çalışması, o yerin atmosfer basıncı değerine bağlıdır. Sifonda oluşacak su hızı (h 2 ) yüksekliği ile doğru orantılıdır. “Faydalı yükseklik” de denen (h2) yüksekliği arttıkça sifondan akan suyun hızı da artacaktır.

Ancak (h 2 ) yüksekliği atmosfer basıncına eşit yüke ulaştıktan sonra (B) noktasındaki basınç mutlak sıfıra eşit olur. Bu noktada, atmosfer basıncı değerine eşit vakum oluştuğundan bu değerden sonra artık debi artırılamaz.

Gerçekte ise kavitasyon nedeni ile bu değere de ulaşılması da olanaksızdır. (B) noktasındaki vakum değeri akıştaki sıvının “buhar basıncı” değerine ulaştığı zaman sıvı buharlaşmaya başlar. Kavitasyon denen bu olayla sifonda akış durur.

Bu nedenle sifonların depo serbest yüzeyinden olan yükseklikleri sınırlıdır. Bu sınırı kullanılan sıvın buhar basıncı ve girişteki kayıplar belirler. Pratikte sifonların üst yükseklikleri 6 -7 m’yi geçemez. Bu değer aynı zamanda sifonun kurulu olduğu yerin deniz seviyesinden yüksekliğine de (rakım) bağlıdır.

(A) ve (B) noktaları için Bernoulli eşitliği yazılırsa (sürtünmesiz koşullar için) H A =Z A + p A /  +V A 2 /2g H B =Z B + p B /  +V B 2 /2g 0+p A /  +0 = h 1 +p B /  +V B 2 /2g V B = V C V C 2 /2g = h 2 V B 2 /2g= h 2 p A /  = p B /  + h 1 + h 2 p A /  = p 0 /  (atmosfer basınç yükü) p B /  = p 0 /  - (h 1 + h 2 ) p 0 /  = 0 alınırsa sonuç rölatif basınç olarak elde edilir. p B /  = - (h 1 + h 2 ) sifondaki rölatif basınç yüküdür.

p B /  = - (h 1 + h 2 ) Kavitasyon olmaması için sıvının o sıcaklıktaki buhar basıncı (p Buhar /  ) değerinin o noktadaki basınç değerinden küçük olması gerekir. p B /   p Buhar / 

Venturi Borusu Borular içinde akan sıvıların debilerini ölçmeye yarayan bir alettir. Venturi borusu daralıp genişleyen bir boru parçasıdır. Boru daralırken basınç yükü hız yüküne ve genişlerken hız yükü basınç yüküne dönüşür. Bu dönüşümün oluştuğu pek çok su yapısı içinde en verimli çalışanı (kayıpları en az olanı) venturi borusudur.

Orifisler ve Savaklar

Pitot Borusu İç içe takılmış iki borudan oluşur. İçteki boruda akışa dik bir delik ve dıştaki boruda ise akışa paralel delikler vardır. dinamik yük, statik yük ölçülür. Aralarındaki farktan ise akışın hız yükü bulunur. Pitot borusu uç kısmında akım çizgisi son bulur, hızı sıfır olur ve taşıdığı kinetik enerji basınç enerjisine dönüşür.

Bu noktada (kabarma noktası) yapılacak bir ölçümde sıvının hem basınç enerjisi hem de basınç enerjisine dönüşmüş kinetik enerjisi birlikte elde edilir. Z 1 +p 1 /  +V 1 2 /2g = Z 2 +p 2 /  +V 2 2 /2g+k(V 2 2 /2g) Z 1 = Z 2 ; V 1 = 0 ; (p 1 - p 2 )/  =V 2 2 / 2g =  h  m = Ölçüm sıvısının özgül ağırlığı  g = Akışı ölçülen sıvının özgül ağırlığı.  h = U manometrede ölçülen sıvı yüksekliği

Su jetinin koordinatları ile hız ölçümü

Su jetinin boyutları ile debi tayini