NED İ R? Olasılık, sonucu kesin olmayan olayları sayılarla ifade eder. Olasılık teorisi günümüzde şans oyunlarının yanısıra, ekonomi, spor,siyaset, bilimsel tespitler, meteoroloji, sigortacılık, bankacılık gibi birçok alanda kullanılmaktadır.

İ LG İ L İ TER İ MLER Deney ve Çıktı Yeni bilgi kazanmak ve olayların gelişimini incelemek için yapılan denem ve testlere deney denir. Bir deneyin mümkün olan her türlü sonucuna çıktı denir.

Madeni bir para havaya atılır ve yere düştü ğ ünde paranın yazı yüzü ya da tura yüzü üste gelir. Burada paranın havaya atılması bir deneydir. Deneyin sonucu, Yani yazı veya tura gelmesi belli de ğ ildir. Deney sonucunda bulunabilece ğ i için bu deneyin çıktıları madeni paranı yazı veya tura gelmesidir. Aynı şekilde bir tavla zarının atılması bi deneydir. 1 gelmesi, 2 gelmesi, 3 gelmesi, 4 gelmesi, 5 gelmesi ve 6 gelmesi ise bu deneyin çıktılarıdır. ÖRNEK

Örnek (Örneklem) Uzayı Bir deneyde elde edilebilecek tüm sonuçların kümesine örnek uzay denir ve E ile gösterilir. Örnek uzayın her bir elemanına ise örnek nokta denir. Olay Örnek uzayın her bir alt kümesine bir olay denir. E örnek uzayına kesin olay, boş kümeye ise olanaksız (imkansız) olay denir. Bir örnek uzaya ait iki olayın ara kesitleri (kesişimleri) boş küme ise bu iki olaya ayrık (ba ğ ımsız) olaylar denir.

Bir madeni paranın atılması deneyinin çıktıları : Y (yazı) ve T (tura) dır. Örnek uzayı : E = {Y, T} dir. Buna göre, bir madeni paranın atılması sonucu, yazı veya tura gelmesi olayına (örnek uzaya) kesin olay denir. Paranın dik gelmesi olayı ise olanaksız olaydır. ÖRNEK

Bir madeni paranın arka arkaya iki kez (veya iki madeni paranın birlikte) atılması deneyinde örnek uzayını bulunuz. ÇÖZÜM : ÖRNEK Y T Y T Y T YY YT TY TT 1.atış2.atış E = {YY, YT, TY, TT} olup s(E) = 4 tür.

Bir madeni para atıldı ğ ında s(E) = 2 ¹ =2 İki madeni para birlikte atıldığında s(E) = 2² = 4 Üç madeni para birlikte atıldığında s(E) = 2³ =8 n madeni para birlikte atıldığında s(E) = 2ⁿ dir.

İ çinde 3 kırmızı ve 4 beyaz bilye bulunan torbadan bir çekilişte 2 bilye çekme deneyindeki; a. Örnek uzayın eleman sayısı kaçtır? b. Çekilen bilyelerin aynı renkte olma olayının eleman sayısı kaçtır? ÖRNEK ÇÖZÜM : a. Torbada 3+4=7 tane bilye olup bunlardan 2 tane bilyeyi C(7,2) =7! = 21 farklı şekilde çekebiliriz. 5!.2! Yani s(E) = 21 dir. b. Çekilen bilyeler aynı renkte olacaksa, 3 kırmızı bilyenin 2 si veya 4 beyaz bilyenin 2 si çekilmeli. O halde C(3,2) + C(4,2) = 3+6=9olur. ÇÖZÜM : a. Torbada 3+4=7 tane bilye olup bunlardan 2 tane bilyeyi C(7,2) =7! = 21 farklı şekilde çekebiliriz. 5!.2! Yani s(E) = 21 dir. b. Çekilen bilyeler aynı renkte olacaksa, 3 kırmızı bilyenin 2 si veya 4 beyaz bilyenin 2 si çekilmeli. O halde C(3,2) + C(4,2) = 3+6=9olur.

3 kız, 4 erkek ö ğ rencinin bir sıraya yan yana oturma deneyindeki; a. Örnek uzayın eleman sayısı kaçtır? b. Kızların bir arada olması olayını eleman sayısı kaçtır? c. Erkeklerin bir arada olması olayının eleman sayısı kaçtır? ÖRNEK ÇÖZÜM : a. 3 kız + 4 erkek= 7 kişi sıraya yan yana 7! Kadar farklı şekilde oturabilce ğ inden s(E) = 7! dir. b. Kızlar bir arada olaca ğ ından 3 kız bir eleman gibi düşünülürse, 4 erkekle birlikte 5 eleman oluşur. Bunların sıralanma sayısı 5! Olur. Ayrıca 3 kız kendi aralarında 3! Kadar yer de ğ iştirebilece ğ inden, s(A) = 5!.3! bulunur. c. Erkekler bir arada olaca ğ ı için erkekler bir eleman olarak düşünülür ve kızlarla birlikte toplam 4 eleman olur. Bunlar kendi aralarında 4! farklı şekilde sıralanabilirler. Erkekler kendi içlerinde 4! şekilde sıralanabilirler. Bu yüzden s(A) =4!.4! olur. ÇÖZÜM : a. 3 kız + 4 erkek= 7 kişi sıraya yan yana 7! Kadar farklı şekilde oturabilce ğ inden s(E) = 7! dir. b. Kızlar bir arada olaca ğ ından 3 kız bir eleman gibi düşünülürse, 4 erkekle birlikte 5 eleman oluşur. Bunların sıralanma sayısı 5! Olur. Ayrıca 3 kız kendi aralarında 3! Kadar yer de ğ iştirebilece ğ inden, s(A) = 5!.3! bulunur. c. Erkekler bir arada olaca ğ ı için erkekler bir eleman olarak düşünülür ve kızlarla birlikte toplam 4 eleman olur. Bunlar kendi aralarında 4! farklı şekilde sıralanabilirler. Erkekler kendi içlerinde 4! şekilde sıralanabilirler. Bu yüzden s(A) =4!.4! olur.

Bir zarın atılması deneyinde meydana gelebilecek üç olay aşa ğ ıda verilmiştir. A = Tek sayı gelmesi = {1, 3, 5} B = Çift sayı gelmesi = {2, 4, 6} C = Asal sayı gelmesi = {2, 3, 5} ÖRNEK Yukarıda görüldü ğ ü gibi A ve b olaylarının ortak elemanı yoktur. Zarın bir kez atılmasıyla sadece bir kümeye ilişkin bir sonuç ortaya çıkar. B ve C olaylarının ortak noktası 2 dir. Bu yüzden bu iki olay ayrık olmayan olaylardır.

ÖRNEK E örnek uzayında iki olay A ve B olsun. P(A’) = 1/3 P(B) = 1/4 ve P(AnB) 1/6 ise P(AuB) kaçtır? ÇÖZÜM : P(A) + P(A’) = 1 P(A) + 1/3 = 1 P(A) = 2/3 P(AuB) = P(A) + P(B) – P(AnB) = 2/3 + 1/4 – 1/6 = 3/4 ÇÖZÜM : P(A) + P(A’) = 1 P(A) + 1/3 = 1 P(A) = 2/3 P(AuB) = P(A) + P(B) – P(AnB) = 2/3 + 1/4 – 1/6 = 3/4

ÖRNEK E = {1, 2, 3, 4, 5} eş olumlu örnek uzay ise P(2) + P(5) toplamı kaçtır? ÇÖZÜM : S(E) = 5tir. P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = 1/5 P(2) + P(5) = 1/5 +1/5 = 2/5 olur. ÇÖZÜM : S(E) = 5tir. P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = 1/5 P(2) + P(5) = 1/5 +1/5 = 2/5 olur.

Bir madeni paranın arka arkaya üç kez atılması sonucu en az iki yazı gelmesi olasılı ğ ı kaçtır? ÖRNEK ÇÖZÜM : E = {YYY, YYT, YTY, TYY, YTT, TYT, TTY, TTT} s(E) = 8 dir. İ stenen olay A = {YYY, YYT, YTY, TYY} s(A) = 4 tür. P(A) = s(A) = 4 = 1 s(E) 8 2 ÇÖZÜM : E = {YYY, YYT, YTY, TYY, YTT, TYT, TTY, TTT} s(E) = 8 dir. İ stenen olay A = {YYY, YYT, YTY, TYY} s(A) = 4 tür. P(A) = s(A) = 4 = 1 s(E) 8 2

5 Doktor ve 6 hemşire arasından 3 kişilik bir ekip oluşturulacaktır. Bu ekipte en az 2 doktor bulunma olasılı ğ ı kaçtır? ÖRNEK ÇÖZÜM : = 11 kişiden 3 kişi C(11,3) = 11! = 165 farklı şekilde seçilebilir. 8!.3! Ekipte 2 doktor bulunacaksa; 2 doktor, 1 hemşire ya da 3 doktor bulunabilir. Buna göre istenen olayın eleman sayısı C(5,2). C(6,1) + C(5,3) = = 70 P(A) = s(A) = 70 = 14 s(E) ÇÖZÜM : = 11 kişiden 3 kişi C(11,3) = 11! = 165 farklı şekilde seçilebilir. 8!.3! Ekipte 2 doktor bulunacaksa; 2 doktor, 1 hemşire ya da 3 doktor bulunabilir. Buna göre istenen olayın eleman sayısı C(5,2). C(6,1) + C(5,3) = = 70 P(A) = s(A) = 70 = 14 s(E)

Bir topluluktaki 12 bayanın 7 si gözlüklü ve 9 erke ğ in 6 sı gözlüklüdür. Bu topluluktan seçilen bir kişinin erkek veya gözlüklü olma olasılı ğ ı kaçtır? ÖRNEK ÇÖZÜM : Erkek olma olasılı ğ ı: P(E) Gözlüklü olma olasılı ğ ı: P(G) P(EuG) = P(E) + P(G) – P(EnG) 9/21 + 3/21 – 6/21 = 16/21 olur. ÇÖZÜM : Erkek olma olasılı ğ ı: P(E) Gözlüklü olma olasılı ğ ı: P(G) P(EuG) = P(E) + P(G) – P(EnG) 9/21 + 3/21 – 6/21 = 16/21 olur. BayanErkek Gözlüklü76 Gözlüksüz53

Bir madeni para ile zar birlikte atılıyor. Paranın tura ve zarın asal sayı gelme olasılı ğ ı kaçtır? ÖRNEK ÇÖZÜM : Paranı tura gelme olasılı ğ ı P(A) = 1/2 Zarın asal sayı gelme olasılı ğ ı P(B) =3/6 = 1/2 olup paranın tura gelmesi zarın asal sayı gelmesini etkilemedi ğ inden bu iki olay ba ğ ımsızdır. O halde, paranın tura ve zarı asal sayı gelme olasılı ğ ı P(AnB) = P(A).P(B) = 1/2. 1/2 = 1/4 ÇÖZÜM : Paranı tura gelme olasılı ğ ı P(A) = 1/2 Zarın asal sayı gelme olasılı ğ ı P(B) =3/6 = 1/2 olup paranın tura gelmesi zarın asal sayı gelmesini etkilemedi ğ inden bu iki olay ba ğ ımsızdır. O halde, paranın tura ve zarı asal sayı gelme olasılı ğ ı P(AnB) = P(A).P(B) = 1/2. 1/2 = 1/4

İ ki tavla zarının birlikte atılması deneyinde üst yüze gelen sayıların toplamının 8 oldu ğ u bilindi ğ ine göre, sayıların ikisinin de çift sayı olm olasılı ğ ı kaçtır? ÖRNEK ÇÖZÜM : Üst yüze gelen sayıların toplamının 8 olması olayı, B = {(6,2), (5,3), (4,4), (3,5), (2,6)} dir. Üst yüze gelen sayıların ikisinin de çift olma olayı A = {(2,2), (2,4), (2,6), (4,2), (4,4), (4,6), (6,2), (5,4), (6,6)} dir. AnB = {(6,2), (4,4), (2,6)} P(A/B) = s(AnB) = 3/5 s(B) ÇÖZÜM : Üst yüze gelen sayıların toplamının 8 olması olayı, B = {(6,2), (5,3), (4,4), (3,5), (2,6)} dir. Üst yüze gelen sayıların ikisinin de çift olma olayı A = {(2,2), (2,4), (2,6), (4,2), (4,4), (4,6), (6,2), (5,4), (6,6)} dir. AnB = {(6,2), (4,4), (2,6)} P(A/B) = s(AnB) = 3/5 s(B)

Bir sınıftaki ö ğ rencilerin %75 i matematik dersinden, %60 ı Türkçe dersinden, %50 si ise her iki dersten geçmiştir. Sınıftan rastgele seçilen bir ö ğ rencinin Türkçe dersinden geçti ğ i bilindi ğ ine göre matematik dersinden kalma olasılı ğ ı kaçtır? ÖRNEK ÇÖZÜM : P(M’nT) s(T) = %10 / %60 =1/6 ÇÖZÜM : P(M’nT) s(T) = %10 / %60 =1/6 % 25 %50%50 % 10