n bilinmeyenli m denklem Hatırlatma İndirgemeyi şimdi nasıl uygulayacağız? Herhangi bir matris A için eşitliğini sağlayan permütasyon matrisi, alt üçgen matris ve satır basamak matris vardır. P L U

Bir örnek…. Hatırlatma

A’nın sıfır uzayını belirleyin. Hatırlatma temel değişkenler serbest değişkenler A’nın sıfır uzayını belirleyin. A’nın sıfır uzayı…………….

Bu arada sağ tarafa ne oldu……. Hatırlatma uygun bir sağ taraf alalım

Hatırlatma Özel çözüm Homojen çözüm Kıssadan hisse

r tane pivot olsun ve U’nun son m-r satırı 0 olsun Şimdilik son söz….. indirgeme ile ‘ye indirgensin. r tane pivot olsun ve U’nun son m-r satırı 0 olsun Bu durumda çözüm ancak c’nin son m-r satırı da 0 ise mümkün r=m ise her zaman çözüm var Genel çözüm, özel çözüm (serbest değişkenlerin sıfır) ile homojen çözümün (n-r serbest değişken keyfi) toplamıdır. n=r ise serbest değişken yoktur ve sıfır uzayı sadece x=0’ı içerir. r’ye Amxn matrisinin “rank”ı denir

r=n ise x’de serbest değişken yoktur. Son söze devam…. r=n ise x’de serbest değişken yoktur. r=m ise U ’da sıfır satır yoktur. r=n ise sıfır uzayında sadece x=0 vardır ve tek çözüm özel çözümdür. r=m ise b üstünde herhangi bir kısıt yoktur ve sütun uzayı ‘in tümü olduğundan tüm sağ taraflar için denklem takımı çözülebilir.

…………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………… Ve biraz daha uzay….. Dört temel alt uzay var: 1. A’nın sütun uzayı; R(A) 2. A’nın sıfır uzayı; N(A) 3. A’nın satır uzayı; R(AT) 4. A’nın sol sıfır uzayı; N(AT) Bu alt uzaylar için ne söyleyebilirsiniz? …………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………

A’nın satır uzayının boyutu U’nun satır uzayının boyutu ile aynıdır ve r’dir. A ve U’nun satır uzayları aynı olduğundan aynı baz vektörlerine sahiptirler .

Sütun uzayı ve sıfır uzayı hakkında biraz daha…. A ve U ’nun sıfır uzayları aynıdır. Sıfır uzayının boyutu n-r’dir. Sıfır uzayını nasıl oluşturabiliriz? n-r tane serbest değişkeni var Pivotları içermeyen sütunlara karşılık geliyor Bir serbest değişkene 1 değeri diğer serbest değişkenlere 0 değeri atayarak Ux=0 ‘ı çözerek elde edilen n-r vektör N(A)’nın baz vektörleridir

Örneğimize geri dönersek….

Sütun uzayı ve sıfır uzayı hakkında biraz daha…. A ve U ’nun sütun uzayları aynı boyutlu ancak farklıdır. Pivotları içeren sütunlar U ’nun sütun uzayının baz vektörleridir. Bu sütunlara karşılık gelen A ’nın sütunları da A ’nın sütun uzayının baz vektörleridir. R(A) sütun uzayının boyutu rank’a eşittir yani r’dir. Bu aynı zamanda satır uzayının da boyutudur. Bağımsız sütun sayısı bağımsız satır sayısına eşittir.

Örneğe bir daha bakalım…. U ’nun sütun uzayının baz vektörleri nelerdir? ………………………………………………………………………………………………. A’nın sütun uzayının baz vektörleri nelerdir? ……………………………………………………………………………………………….

A’nın sol sıfır uzayı N(AT) ‘yı sağlayan vektörleri A’nın sol sıfır uzayını oluşturur. A mxn matris ise N(AT) Rm ‘nin alt uzayıdır.

A’nın sol sıfır uzayı N(AT)’nın boyutunu bulalım matrisi için Temel değişkenler kaç tanedir? pivot sayısı kadar, r n-r tane Serbest değişkenler kaç tanedir? sütun sayısı Temel değişken sayısı neyi belirler? sütun uzayının boyutunu Serbest değişken sayısı neyi belirler? sıfır uzayının boyutunu sütun uzayının boyutu+sıfır uzayının boyutu=sütun sayısı

Kuralı için uygulayalım ‘nin sütun uzayının boyutu nedir? satır uzayının boyutuna eşittir r r + dimN (AT) = m A’nın sol sıfır uzayı N(AT)’ nin boyutu m-r’dir.

Sol sıfır uzayını oluşturan y’leri nasıl buluruz? Son m-r satırı A’nın sol sıfır uzayı için baz olmalı Neden?

Örneğimize yeniden geri dönersek…. Sol sıfır uzay için baz vektörü Nasıl sınarız?

Lineer cebrin temel teoremi-kısım 1 Amxn A’nın sütun uzayı= R(A); boyutu r A’nın sıfır uzayı=N(A); boyutu n-r A’nın satır uzayı=R(AT) ; boyutu r A’nın sol sıfır uzayı=N(AT); boyutu m-r

Sol ters ve sağ ters-varlığı A’nın sol tersi varsa A’nın sağ tersi varsa A’nın hem sağ hem de sol tersi varsa

Varlık ve teklik teoremi Varlık: Ax=b’nin her b için en az bir çözümü x vardır A’nın sütunları Rm ‘i örter Bu durumda r=m’dir ve ve AC=Imxm sağlayan A’nın nxm boyutlu sağ tersi vardır. Bu durum m≤n ise mümkündür.

Teklik: Ax=b’nin her b için en çok bir çözümü x vardır A’nın sütunları lineer bağımsız Bu durumda r=n’dir ve ve BA=Inxn sağlayan A’nın nxm boyutlu sol tersi vardır. Buyuk olan buyuk esit olacak Bu durum m>n ise mümkündür.

Sağ ve sol tersleri bulmanın yolu UNUTMA C’yi duzelteceksin

Bir örnek… Varsa sol ve/veya sağ terslerini bulunuz