e = … (2 milyon basamak) 2

 Bu rakamlar Robert Nemiroff (George Mason University and NASA Goddard Space Flight Center) tarafından hesaplanmış, Jerry Bonnell (University Space Research Association and NASA Goddard Space Flight Center) tarafından kontrol edilmiştir. Hesaplama bir haftasonu VAX alfa sınıfı makinesi ile gerçekleşmiştir. Bir kez kontrol edilmiş olmasına rağmen doğruluğu garanti edilmemiştir.  euler.txt euler.txt 3

 e sabitine dolaylı olarak ilk değinen, İskoç matematikçi John Napier olmuştur. Napier, 1618'de logaritmalar üzerine yayımladığı bir kitabın ekinde, e sabitini kullanarak bazı hesaplar yapmıştır, fakat sabitin kendisiyle fazla ilgilenmemiştir.  e sayısını gerçek anlamda ilk keşfeden Jakob Bernoulli olmuştur. Bernoulli, e sayısını 1683'te birleşik faiz problemini incelerken keşfetmiş ve bu sayının yaklaşık değerini hesaplamıştır.  Sabite e ismini veren ise İsviçreli matematikçi Leonhard Euler'dir. Euler ilk olarak 1731'de Christian Goldbach'a yazdığı bir mektupta bu sabitten "e sayısı" diye bahsetmiştir. Euler öncesi ve sonrasında bu sabit için b ve c harfleri de kullanılmışsa da, sonuçta kabul edilen isim e olmuştur. 4

 Euler e sayısını, virgülden sonra 23. basamağına kadar hesaplayabilmiştir. Günümüzde ise e sayısının milyarlarca basamağı bilinmektedir. e'nin irrasyonel bir sayı olduğu Euler tarafından, aşkın bir sayı olduğu ise Fransız matematikçi Charles Hermite tarafından kanıtlanmıştır. 5

6

 e sayısı doğal logaritmanın tabanıdır.  Diferansiyel denklemini sağlayan tek pozitif reel sayıdır. 7

 Aşağıdaki diferansiyel denklemi sağlayan tek pozitif reel sayıdır. 8

 Aşağıdaki limite eşittir. 9

 Aşağıdaki sonsuz toplama eşittir. 10

 Denklemini sağlayan tek pozitif reel sayıdır. 11

12

 Jakob Bernouilli, e sabitini birleşik faiz problemini incelerken keşfetmiştir. Bu problem, basit bir örnekle anlatılabilir:  Elinde 1 lirası olan bir yatırımcı, parasını yılda %100 faiz veren bir bankaya yatırırsa,bir sene sonra 2 lirası olacaktır. Diğer yandan bu yıllık faiz %50 – %50 şeklinde yılda iki kez işlerse, yatırımcının yıl sonundaki parası (1 + ½)² = 2,25 lira olacaktır. Benzer şekilde eğer faiz yılda dört kez %25 oranında işlerse, yatırımcının yıl sonundaki parası (1 + 1/4) 4 = 2, lira olacak, faiz her ay %8, oranında işlerse yıl sonundaki para (1 + 1/12) 12 = 2, lira olacaktır. Faizin işleme süresini daha da kısaltırsak, her hafta işleyen faiz yıl sonunda 2, lira, her gün işleyen faiz yıl sonunda 2, lira verecektir.  Faizin işleme süresi kısaldıkça, yıl sonundaki para 2 ve 3 arasında belli bir değere yakınsamaktadır.  Yakınsanan değer e sayısıdır. 13

 e sayısı olasılık kuramında da çeşitli şekillerde karşımıza çıkar. Örneğin bir kumarcı, kazanma şansı 1/n olan bir oyunu n kere oynarsa, yaklaşık 1/e (%36,787...) ihtimalle hiçbir seferde kazanamayacaktır. n ne kadar büyükse, hiç kazanmama ihtimali 1/e, ye o kadar yakın olur.  Kumarcının n seferde k kere kazanma olasılığı, binom dağılımına göre aşağıdaki değere eşittir:  Buna göre, n seferde k = 0 kere kazanma olasılığı, (1 - 1/n) n dir, ve bu ifade, n büyüdükçe 1/e, ye yaklaşır. 14

 Bir restorana giren ve girişte şapkalarını vestiyere bırakan n tane müşteri düşünelim. Vestiyer, şapkalara etiket takmayı unutunca hangi şapkanın hangi müşteriye ait olduğunu unutuyor, ve çıkışta şapkasını isteyen her müşteriye rastgele bir şapka seçip veriyor. Bu durumda, n müşteriden hiçbirinin kendi şapkasını almaması olasılığı, aşağıdaki toplama eşittir:  Müşteri sayısı n büyüdükçe, bu toplam 1/e değerine yaklaşacaktır. 15

 Protistan papazı olan babasının isteği üzerine Basel Üniversitesi’nde ilahiyat, İbranice ve Yunanca eğitimi aldı.  Bernoulli müdahale etmeseydi Euler bir papaz olacaktı. Ama Bernoulli, oğlunun büyük bir matematikçi olabilecek yeteneğe sahip olduğunu söyleyerek baba Paul Euler'i ikna etti.  7 Ocak 1734 tarihinde Academy Gymnasium' dan bir ressamın kızı olan Katharina Gsell ile evlendi. On üç çocukları oldu ve bunlardan sekiz tanesi çocukluk yıllarında hayatını kaybetti. Euler ikinci evliliğini ilk eşinin üvey kız kardeşi ile yaptı. 16

 e’nin faydasını, tutarlılığını ve bir sanal sayının üssünü almakta nasıl kullanılacağını Euler formülü ile tanımlamıştır.  Bu formül tüm fonksiyonların, üstel fonksiyonların ya da polinomların varyasyonu olduğu temel analizdeki üstel fonksiyon tanımının merkez rolünü oluşturur. Formül Richard Feynman tarafından "matematikteki en olağanüstü formül" olarak adlandırıldı. Bunun özel bir hali olan Euler özdeşliği: 17

 i -i = √(e π ) 18

 /e.html /e.html  andrews.ac.uk/HistTopics/e.html andrews.ac.uk/HistTopics/e.html  elime/euler-sayisi elime/euler-sayisi   ormula.htm ormula.htm 19