Sonlu Elemanlar Yöntemi 1 Giriş Ders Notları: Mehmet Çevik Celal Bayar Üniversitesi 2013

Celal Bayar Üniversitesi Makine Mühendisliği Bölümü Info Instructor: Doç. Dr. Mehmet Çevik e-mail: m.cevik@cbu.edu.tr Mühendislik Fakültesi A-Blok Dekanlık Ofisi Office hours: Çarşamba 14:00 - 15:00 Course website: http://mehmetcevik.cbu.edu.tr Celal Bayar Üniversitesi Makine Mühendisliği Bölümü

Celal Bayar Üniversitesi Makine Mühendisliği Bölümü Ders kitabı Ders Kitabı A First Course in the Finite Element Method Daryl L. Logan, 4th Edition, Thomson, 2007. Yardımcı Ders Kitabı Lecture Notes: Introduction to the Finite Element Method, Yijun Liu http://urbana.mie.uc.edu/yliu Celal Bayar Üniversitesi Makine Mühendisliği Bölümü

Celal Bayar Üniversitesi Makine Mühendisliği Bölümü Diğer Kaynaklar Mehmet H. Omurtag, Çubuk Sonlu Elemanlar, Birsen Yayınevi, 2012 J. N. Reddy, An Introduction to the Finite Element Method, McGraw Hill, Third Edition, 2006. S. S. Rao, The Finite Element Method in Engineering, Butterworth- Heinemann, 5 edition, 2010. S. Moaveni, Finite Element Analysis- Theory and Application with ANSYS, Prentice Hall, 1999. O.C. Zienkiewicz, R.L. Taylor, The Finite Element Method, Volume 1: The Basis, Butterworth-Heinemann, 5 edition, 2000. K. J. Bathe, Finite Element Procedures, Prentice Hall, Celal Bayar Üniversitesi Makine Mühendisliği Bölümü

Ders notları için yararlanılan kaynaklar Suvranu De, Lecture Notes. http://homepages.rpi.edu/~des/ Department of Aerospace Engineering Sciences, University of Colorado at Boulder, Introduction to Finite Element Methods, Lecture Notes. http://www.colorado.edu/engineering/cas/courses.d/IFEM.d/ Introduction to the Finite Element Method, Yijun Liu, Lecture Notes. N. Zabaras, Finite Element Analysis for Mechanical and Aerospace Design, Cornell University, Lecture Notes. http://mpdc.mae.cornell.edu/Courses/MAE4700/MAE4700.html Nazmiye Yahnioğlu, Sonlu Elemanlar Yöntemi, Ders Notları Mehmet Omurtag, Çubuk Sonlu Elemanlar, Ders Notları http://www.mehmetomurtag.com/tr/tr/node/101 Celal Bayar Üniversitesi Makine Mühendisliği Bölümü

Celal Bayar Üniversitesi Makine Mühendisliği Bölümü Değerlendirme Grades will be based on: Ödevler ve kısa sınavlar % 20 Mini Proje % 10 Vize % 30 Final % 40 Celal Bayar Üniversitesi Makine Mühendisliği Bölümü

Celal Bayar Üniversitesi Makine Mühendisliği Bölümü Mini Proje Kendi belirleyeceğiniz ve benim onaylayacağım bir problemi ANSYS veya benzeri bir paket problem ile çözerek Kasım ayı sonuna teslim edeceksiniz. Problem konusu ile ilgili önerinizi en geç 7 Ekim tarihine kadar sunmalısınız. Teslim ettiğiniz projede şunlar bulunmalıdır: Çözdüğünüz problemin tanımı (Yükler, sınır şartları, vb.) Analiz adımları (uygun şekiller ile birlikte) Sonuçlar ve değerlendirme Proje her açıdan değerlendirilecektir. Celal Bayar Üniversitesi Makine Mühendisliği Bölümü

Celal Bayar Üniversitesi Makine Mühendisliği Bölümü Dersin İçeriği Giriş – Matris işlemlerinin genel tekrarı Yay eleman için «Doğrudan Direngenlik» yaklaşımı Çubuk ve kafes elemanlar 2-B ve 3-B uzayda çubuk elemanlar Kiriş eleman Çerçeve sistemlerinin SE analizi SE analizinde «Enerji» yaklaşımı 2 Boyutlu problemler Sonlu eleman modellemesi ve çözüm teknikleri Plak ve kabuk elemanlar 3 Boyutlu katı elemanlar Isıl gerilme problemleri Celal Bayar Üniversitesi Makine Mühendisliği Bölümü

Finite Element Analysis Sonlu Eleman Analizi Finite Element Analysis Celal Bayar Üniversitesi Makine Mühendisliği Bölümü

Celal Bayar Üniversitesi Makine Mühendisliği Bölümü Sonlu Eleman Analizi Cantilever plate in plane strain uniform loading Fixed boundary Problem: Levhadaki gerilmeleri ve şekil değiştirmeleri bulunuz. Approximate method (Yaklaşık yöntem) Geometrik model Node (Düğüm noktası) Element (Eleman) Mesh (Ağ) Discretization (Ayrıklaştırma) Celal Bayar Üniversitesi Makine Mühendisliği Bölümü

Sonlu Elemanlar Yöntemi Çeşitli mühendislik problemlerine kabul edilebilir bir yaklaşımla çözüm arayan bir sayısal çözüm yöntemidir. Çok güçlü bir sayısal hesaplama yöntemidir. Son 50 yılda bilgisayarların hızlı gelişimine paralel olarak gelişen sayısal hesap yöntemleri içinde çok önemli bir yer tutmaktadır.

Sonlu Elemanlar Yönteminin Tarihçesi İlk kez 1940’lı yıllarda inşaat mühendisliğinde çubuk ve kiriş elemanlar için kullanıldı. 1950’li yıllarda uçak sanayiinde kullanılmaya başlandı. İlk kez 1956’da Turner ve arkadaşları tarafından doğrudan direngenlik yöntemi ile kafes elemanlar, kiriş elemanlar, ve iki-boyutlu üçgen ve dörtgen düzlem elemanlar kullanılmaya başlandı. Sonlu eleman ifadesi ilk kez Clough tarafından 1960 yılında kullanıldı. Bilgisayarların gelişmesi (*) ile birlikte bu konuda çalışanların sayısı ve yöntemin kullanımı artmaya başladı; sürekli geliştirilmeye devam edilmektedir.

Sonlu Elemanlar Yönteminin Kullanımı Sonlu Elemanlar Yöntemi günümüzde neredeyse mühendisliğin tüm alanlarında kullanılmaktadır: Mekanik problemleri (statik/dinamik, lineer/nonlineer) Akışkanlar mekaniği Uzay ve uçak mühendisliği Otomotiv mühendisliği Isı transferi İnşaat mühendisliği Elektrik mühendisliği, elektromanyetik ………

Sonlu Elemanlar Yönteminin Özellikleri Sonlu elemanlar analizi fiziksel bir sistemin matematik olarak ifade edilmesidir. Sistem malzeme özelliklerine ve uygulanabilir sınır şartlarına sahip olup alt parçalara ayrılmaktadır. Bu parçalara ait matris denklemler oluşturulmakta ve matrisler bilgisayarla çözülmektedir. Düzensiz ve çok karmaşık geometriye sahip sistemlerin incelenmesine olanak sağlar. (CAD/CAM uygulamalarına kolayca entegre edilebilir.) Değişik ve karmaşık malzeme özellikleri olan sistemlere uygulanabilir. Örneğin, heterojen, anizotropik, nonlineer malzemeler, vb. Karışık ve süreksiz sınır şartlarının, düzensiz yükleme durumlarının, süreksiz ve tekil yüklerin, vb. nin sisteme uygulanması mümkündür.

Yaygın olarak kullanılan SEM yazılımları ANSYS ABAQUS ADINA COMSOL Multiphysics FEFLOW JMAG LS-DYNA LUSAS NASTRAN SAP2000 …

Sonlu Eleman Nedir ?

Analiz için Modelleme İşlemi

Hiyerarşik modelleme Doğayı, daha yüksek bir hassasiyetle simule etmek için gittikçe daha karmaşık modelleri kullanmak demektir. Kabuller: Yay, çubuk, kafes eleman Kiriş, mil 2-B katı eleman Plak Kabuk Tamamen üç boyutlu Dinamik etkiler Nonlineer etkiler DOĞA Gittikçe daha karmaşık modeller

Matematiksel model: Düzlem Gerilme Elle çözümü zor !

Mühendislik Tasarımı PREPROCESSING 1. Bir geometrik model oluşturun 2. Sonlu eleman modelini geliştirin How do we perform FEM modeling? We first generate a solid model of the bracket using a commercial package such as Solidworks/ ProE. The next step is to develop the “finite element” model. Katı model Sonlu eleman modeli

Mühendislik Tasarımı FEM analysis scheme Step 1: Divide the problem domain into non overlapping regions (“elements”) connected to each other through special points (“nodes”) The FEM analysis scheme can be broken down into 3 steps (we will use these 3 steps throughout the course). Step 1: We divide the solid model up into non-overlapping regions called “elements”. The elements are connected to each other through special points called “nodes”. The solution, in this case the displacement field, is approximated using piece-wise polynomials in each element. This process is called “mesh generation”. This way we discretize a continuous problem, having infinite degrees of freedom to a discrete problem having a finite number of degrees of freedom. Sonlu eleman modeli

Mühendislik Tasarımı FEM analysis scheme Step 2: Describe the behavior of each element Step 3: Describe the behavior of the entire body by putting together the behavior of each of the elements (this is a process known as “assembly”) Step 2: We then describe the behavior of each element in terms of its nodes Step 3: We then describe the behavior of the entire structure by putting together the behavior of of each of these elements. In this process we are able to compute the displacements at the nodal points. Are we done?

Mühendislik Tasarımı POSTPROCESSING Compute moment at section AA To compute the moment, we have to do a bit of extra work and this is known as “postprocessing”.

Mühendislik Tasarımı Preprocessing Analysis Postprocessing Step 1 Remember that a complete FEM analysis consists of Preprocessing Analysis Postprocessing The Analysis phase alone has 3 steps (which we will be most interested in the rest of this course) Analysis Step 2 Step 3 Postprocessing

Mühendislik Tasarımı The selection of the mathematical model depends on the response to be predicted. The most effective mathematical model is the one that delivers the answers to the questions in reliable manner with least effort. The numerical solution is only as accurate as the mathematical model.

SEM’in kritik değerlendirmesi Güvenilirlik: For a well-posed mathematical problem the numerical technique should always, for a reasonable discretization, give a reasonable solution which must converge to the accurate solution as the discretization is refined. Sağlamlık: The performance of the numerical method should not be unduly sensitive to the material data, the boundary conditions, and the loading conditions used. Verimlilik:

Örnekler Boeing 777 Kaynak: Boeing Web site (http://www.boeing.com/companyoffices/gallery/images/commercial/).

Uçaklarda drag force (sürüklenme kuvveti) analizi Örnekler Uçaklarda drag force (sürüklenme kuvveti) analizi Soru Uçak üzerinde sürüklenme kuvveti dağılımı nasıldır? Çözüm Navier-Stokes Kısmi Diferansiyel Denklemleri Son Gelişmeler: Multigrid Methods for Unstructured Grids

San Francisco Oakland Bay Köprüsü Örnekler San Francisco Oakland Bay Köprüsü Köprüyü sismik yükler altında analiz etmek için hazırlanan sonlu eleman modeli

Örnekler Motor Termal Analizi Picture from http://www.adina.com Soru Motor bloğunda sıcaklık dağılımı nasıldır? Çözüm Poisson Kısmi Diferansiyel Denklemi. Son Gelişmeler - Fast Integral Equation Solvers, Monte-Carlo Methods

Mikromotor Cihazı Performans Analizi Örnekler Mikromotor Cihazı Performans Analizi From www.memscap.com Denklemler Elastomechanics, Electrostatics, Stokes Flow. Recent Developments Fast Integral Equation Solvers, Matrix-Implicit Multi-level Newton Methods for coupled domain problems.

Akciğer Kanserinde Radyasyon Tedavisi http://www.simulia.com/academics/research_lung.html

Örnekler 2010 Toyota Yaris Sonlu Eleman Modeli

Lineer Cebir – Genel Tekrar Celal Bayar Üniversitesi Makine Mühendisliği Bölümü

What is a matrix? (Matris nedir?) A rectangular array of numbers (we will concentrate on real numbers). A nxm matrix has ‘n’ rows and ‘m’ columns First row Second row Third row First column Second column Third column Fourth column Row number (Satır sayısı) Column number (Sütun sayısı)

What is a vector? A vector is an array of ‘n’ numbers A row vector of length ‘n’ is a 1xn matrix A column vector of length ‘m’ is a mx1 matrix

Linear System of Algebraic Equations

Solution Techniques for Linear Systems of Equations Gauss elimination methods Iterative methods

Special matrices (Özel Matrisler) Zero (Sıfır) matrix : A matrix all of whose entries are zero Identity (Birim) matrix: A square matrix which has ‘1’ s on the diagonal and zeros everywhere else.

(Matrislerin eşitliği) Matrix operations Equality of matrices (Matrislerin eşitliği) If A and B are two matrices of the same size, then they are “equal” if each and every entry of one matrix equals the corresponding entry of the other.

Addition of two matrices (İki matrisin toplanması) Matrix operations If A and B are two matrices of the same size, then the sum of the matrices is a matrix C=A+B whose entries are the sums of the corresponding entries of A and B

Addition of of matrices Matrix operations Properties Properties of matrix addition: Matrix addition is commutative (order of addition does not matter) Matrix addition is associative Addition of the zero matrix

Multiplication by a scalar Matrix operations If A is a matrix and c is a scalar, then the product cA is a matrix whose entries are obtained by multiplying each of the entries of A by c

Multiplication by a scalar (Bir skaler ile çarpım) Matrix operations Special case If A is a matrix and c =-1 is a scalar, then the product (-1)A =-A is a matrix whose entries are obtained by multiplying each of the entries of A by -1

Matrix operations Subtraction (Çıkarma) If A and B are two square matrices of the same size, then A-B is defined as the sum A+(-1)B

Special operations Transpose (Devrik) If A is a mxn matrix, then the transpose of A is the nxm matrix whose first column is the first row of A, whose second column is the second column of A and so on.

Special operations Transpose (Devrik) If A is a square matrix (mxm), it is called symmetric if

Scalar (dot) product of two vectors İki vektörün skaler çarpımı Matrix operations Scalar (dot) product of two vectors İki vektörün skaler çarpımı If a and b are two vectors of the same size The scalar (dot) product of a and b is a scalar obtained by adding the products of corresponding entries of the two vectors

Matrix multiplication Matrix operations Matrix multiplication (Matris çarpımı) For a product to be defined, the number of columns of A must be equal to the number of rows of B. A B = AB m x r r x n m x n inside outside

Matrix multiplication Matrix operations Matrix multiplication (Matris çarpımı) If A is a mxr matrix and B is a rxn matrix, then the product C=AB is a mxn matrix whose entries are obtained as follows. The entry corresponding to row ‘i’ and column ‘j’ of C is the dot product of the vectors formed by the row ‘i’ of A and column ‘j’ of B

Multiplication of matrices Matrix operations Properties Properties of matrix multiplication: Matrix multiplication is noncommutative (order of addition does matter) It may be that the product AB exists but BA does not (e.g. in the previous example C=AB is a 3x2 matrix, but BA does not exist) Even if the product exists, the products AB and BA are not generally the same

Multiplication of matrices (Matrislerin çarpımı) Matrix operations Özellikler 2. Matrix multiplication is associative 3. Distributive law 4. Multiplication by identity matrix 5. Multiplication by zero matrix 6.

Miscellaneous properties Matrix operations If A , B and C are square matrices of the same size, and then does not necessarily mean that 2. does not necessarily imply that either A or B is zero

Inverse of a matrix (Bir matrisin tersi) Definition (Tanım) Inverse of a matrix (Bir matrisin tersi) If A is any square matrix and B is another square matrix satisfying the conditions Then The matrix A is called invertible, and the matrix B is the inverse of A and is denoted as A-1. The inverse of a matrix is unique

Inverse of a matrix (Bir matrisin tersi) Uniqueness (Teklik) Inverse of a matrix (Bir matrisin tersi) The inverse of a matrix is unique Assume that B and C both are inverses of A Hence a matrix cannot have two or more inverses.

Inverse of a matrix (Bir matrisin tersi) Some properties Inverse of a matrix (Bir matrisin tersi) Property 1: If A is any invertible square matrix the inverse of its inverse is the matrix A itself Property 2: If A is any invertible square matrix and k is any scalar then

Inverse of a matrix (Bir matrisin tersi) Properties Inverse of a matrix (Bir matrisin tersi) Property 3: If A and B are invertible square matrices then

What is a determinant? (Determinant nedir?) The determinant of a square matrix is a number obtained in a specific manner from the matrix. For a 1x1 matrix: For a 2x2 matrix: Product along red arrow minus product along blue arrow

Example Consider the matrix Notice (1) A matrix is an array of numbers (2) A matrix is enclosed by square brackets Notice (1) The determinant of a matrix is a number (2) The symbol for the determinant of a matrix is a pair of parallel lines Computation of larger matrices is more difficult

Duplicate column method for 3x3 matrix For ONLY a 3x3 matrix write down the first two columns after the third column Sum of products along red arrow minus sum of products along blue arrow This technique works only for 3x3 matrices

Example 32 3 -8 8 Sum of red terms = 0 + 32 + 3 = 35 32 3 -8 8 Sum of red terms = 0 + 32 + 3 = 35 Sum of blue terms = 0 – 8 + 8 = 0 Determinant of matrix A= det(A) = 35 – 0 = 35

Finding determinant using inspection Special case. If two rows or two columns are proportional (i.e. multiples of each other), then the determinant of the matrix is zero because rows 1 and 3 are proportional to each other If the determinant of a matrix is zero, it is called a singular matrix Eğer bir matrisin determinantı sıfır ise, o matrise tekil matris denir.

Cofactor method If A is a square matrix What is a cofactor? The minor, Mij, of entry aij is the determinant of the submatrix that remains after the ith row and jth column are deleted from A. The cofactor of entry aij is Cij=(-1)(i+j) Mij

What is a cofactor? Sign of cofactor Find the minor and cofactor of a33 Minor Cofactor

Cofactor method of obtaining the determinant of a matrix Matrisin determinantının kofaktör yöntemiyle bulunması The determinant of a n x n matrix A can be computed by multiplying ALL the entries in ANY row (or column) by their cofactors and adding the resulting products. That is, for each and Cofactor expansion along the jth column Cofactor expansion along the ith row

det(A)=a13C13 +a23C23+a33C33 Example : evaluate det(A)= 5 1 0 3 -1 -3 1 0 3 -1 -3 2 By a cofactor along the third column det(A)=a13C13 +a23C23+a33C33 det(A)= 1 0 3 -1 -3* (-1)4 1 5 3 -1 +2*(-1)5 1 5 1 0 +2*(-1)6 = det(A)= -3(-1-0)+2(-1)5(-1-15)+2(0-5)=25

Finding Inverse of a 3x3 Matrix - 1

Finding Inverse of a 3x3 Matrix - 2

Finding Inverse of a 3x3 Matrix - 3

Finding Inverse of a 3x3 Matrix - 4

Finding Inverse of a 3x3 Matrix - 5

Finding Inverse of a 3x3 Matrix - 6

Finding Inverse of a 3x3 Matrix – Gauss Elimination Method

Quadratic form The scalar is known as a quadratic form If U>0: Matrix k is known as positive definite If U≥0: Matrix k is known as positive semidefinite

Quadratic form Let Symmetric matrix Then

Differentiation of quadratic form Differentiate U wrt d1 Differentiate U wrt d2

Differentiation of quadratic form Hence

Types of Finite Elements

Konu: YAY ELEMAN Haftaya görüşürüz  Haftaya QUIZ: Lineer Cebir Tekrarı (3x3 matrisin tersinin bulunması) Konu: YAY ELEMAN